LA GOMTRIE EN VERS TECHNIQUES, Par DESROIS, ancien Doyen de Mortain. Rien n'est beau que le vrai; le vrai seul est aimable. A PARIS, Chez l'AUTEUR, rue de la Loi, maison du Citoyen DARESTE, n 74, prs la rue Faydeau. An IX.--1801. AVIS. On est prvenu que tout ce qui ne se vendra pas chez l'Auteur sera contrefait. PITRE DDICATOIRE A MES COLIERS. Chers Gomtres de Juilly, Pour qui mon coeur est tout rempli De bienveillance et de tendresse, C'est vous que ceci s'adresse; C'est vous que j'offre mes vers. Ils ne vous rendront point pervers: La rime en est quelquefois dure, Mais la vrit toujours pure; C'est-l leur seule qualit; C'est-l leur unique beaut. Il vous faudra quelque courage, Pour apprendre un pareil ouvrage. Mais enfin vous l'avez promis: Souvenez-vous en mes amis. Vous, dont la gloire m'intresse, Ah! faites trve la paresse. La paresse a bien des appas; Mais, sans gloire on n'existe pas: Le dsir ardent de l'estime Nous fait faire un effort sublime. Cette estime, objet de vos voeux, Le besoin des coeurs gnreux, Vous savez qu'on lui sacrifie Souvent jusqu' sa propre vie: C'est-l le destin des hros; Elle sait payer les travaux De Bonaparte et d'Alexandre. Mais, bien plus, je dois vous apprendre Que le plaisir mme, ici bas, Sans le travail ne s'obtient pas. C'est une vrit constante: Le reste trompe notre attente; Mais le travail a des douceurs Qui font oublier les rigueurs De la fortune et de l'envie; C'est le soutien de notre vie. Est-il besoin de vous montrer Tous les fruits qu'on en peut tirer? tre satisfait de soi-mme, Repousser la pauvret blme, Aux premiers emplois tre mis, Recevoir chez soi ses amis, lever, tablir un frre, Venir au secours d'une mre; Tels sont ses fruits doux et charmans, Et tels sont, mes chers enfans, Les nobles plaisirs de la vie: Les autres ne sont que folie. PRFACE. La Gomtrie est si cultive de nos jours, qu'il n'est presque plus permis d'en ignorer les principes. Nos ouvrages modernes les prsentent avec une nettet et une prcision qui ne laisse rien dsirer. Mais plus ils sont conus aisment, moins ils se gravent dans la mmoire; et quelques annes de distraction, ou d'une tude trangre, suffisent ordinairement pour les faire oublier. C'est cet inconvnient que j'ai voulu remdier[1]. Attach une maison d'tude, o, conjointement avec les plus solides instructions, l'art des vers est si heureusement cultiv[2], j'ai bien os appeler cet art au secours de la Gomtrie; et, force de lutter contre le plus rebelle de tous les sujets, je suis parvenu exprimer assez clairement les principes les plus lmentaires. Heureux si l'utile se trouve o l'agrable ne saurait tre. [1] Sans doute, il y a de la folie une pareille entreprise; mais si mes vers n'apprennent pas beaucoup de Gomtrie nos jeunes Franais, peut-tre apprendront-ils un peu de franais nos jeunes Gomtres: car on les accuse de ngliger cette partie que nous regardions autrefois comme essentielle, et dont on fait encore beaucoup de cas Juilly. [2] Nous avons vu cette anne des Rhtoriciens de quinze ans mettre Virgile en vers franais, dont nos Potes les plus consomms se feraient honneur. De tels Elves font assez l'loge du Collge de Juilly. Mais la plus grande gloire de cette maison clbre, c'est d'avoir t de tous temps l'cole des bonnes moeurs, et de ces principes salutaires qui sont les seuls garans incorruptibles de toute sagesse et de toute vertu. LA GOMTRIE EN VERS TECHNIQUES. Sans surface est le point, le plan sans paisseur; La ligne droite ou courbe est longue sans largeur: La raison le condamne, et la raison l'exige. La ligne droite au but constamment se dirige; Et c'est, par consquent, devant tous les humains Entre deux points donns le plus court des chemins. La courbe est, au contraire, une route incertaine, Qui vers le point quitt bien souvent me ramne; Mais elle a des vertus qui par-tout font du bruit: C'est le cercle d'abord qui me plat et m'instruit. Voyez l'astre du jour en sa vaste carrire; Il promne avec pompe un cercle de lumire, Forme parfaite aux yeux, dont l'art du Crateur Sur nos savans esprits revendique l'honneur. J'tablirai d'abord, comme lois gnrales, Que les arcques[3] gaux ont des cordes gales, Et que les plus grands arcs sont toujours sous-tendus Par les cordes aussi qui s'tendent le plus. L'angle, au centre plac par sa propre nature, Dans les degrs du cercle a trouv sa mesure: L'aigu, l'obtus, le droit qui n'a point de rivaux; Opposs au sommets, ils sont toujours gaux. [3] C'est une licence que je prends l'exemple des anciens potes, qui crivaient _avecque_. Je prends encore celle de faire rimer les drivs _angles_, _triangles_; _internes_, _externes_, &c. La perpendiculaire a confondu l'oblique; Je la dmontrerai plus courte sans rplique, Et que chacun des points, mesur dans son lieu, Des deux extrmits tient le juste milieu. A l'abri de l'envie, en compagnes fidles, On voit marcher de front deux lignes parallles; Mais l'oblique scante, aussitt survenant Va nous faire observer l'angle correspondant. Il sert comparer les alternes internes, Egaux entre eux ainsi qu'entre eux sont les externes. Deux cercles se touchant en un point, quel qu'il soit, Leurs centres et le point sont sur un chemin droit. Si la corde au rayon est perpendiculaire, Elle est coupe en deux, et la part circulaire. Parallles tant deux cordes, j'en conclus Que deux arcques gaux y seront contenus, Et que toute tangente corde parallle, Touche au milieu de l'arc sous-tendu par icelle. L'angle dont le sommet la courbe se rend, A moiti des degrs de l'arcque qu'il comprend, Lorsqu'il est au dehors, le cas devient complexe, Du concave moiti, moins moiti du convexe; S'il est entre le centre et la courbe compris, Des moitis des deux arcs les degrs seront pris. Avanant pas--pas, par des rgles austres Des triangles gaux traons les caractres. 1 Entre cts gaux un angle intercept; 2 Les deux angles gaux sur un gal ct; 3 Les trois cts enfin tous gaux l'un l'autre, Satisfont sur cela mon esprit et le vtre. Ces trois rgles qui sont faciles montrer, Dans d'autres vrits sauront nous faire entrer. Parallles gissant entre deux parallles, S'offrent par la seconde tre gales entre elles. POLYGONES Le nombre des cts dtermine le nom De chaque polygone ou rgulier ou non. Il est, dans tous les cas, divisible en triangles: Comptez-en deux de moins que vous ne comptez d'angles; Et, prenant pour chacun cent quatre-vingt degrs, Vous en ferez la somme et la diviserez. Chaque ligue en un sens se trouvant prolonge, De tous leurs supplmens la figure est charge. La somme de ceux-ci vaudra trois cent soixante, Entre eux et le total diffrence constante. Ensemble tant gaux les angles et cts, Les polygones sont rguliers rputs. Dans le cercle toujours un tel polygone entre, Soit l'angle intrieur, soit l'angle dit au centre Est par ce que j'ai dit, aisment supput, Rayon dans l'exagone est gal au ct. Veut-on un polygone forme rgulire, Qui, rpt, recouvre une surface entire? Que du cercle complet l'angle soit diviseur. A l'heureux exagone accordez-en l'honneur. L'abeille l'a choisi: voyez-la qui dispose La case o se rendra le tribut de la rose; Elle vous instruit mieux que ma triste leon. Quand pourrai-je en avoir autour de ma maison; Et, cultivant en paix mon coin de la Champagne, De leurs essaims nombreux enrichir ma campagne? Mais d'autres travaux je me vois condamn. Rimons en attendant ce destin fortun. LIGNES PROPORTIONNELLES Coupant l'un des cts d'un angle rectiligne En gales longueurs que le compas dsigne, Et de chacun des points o l'on s'est arrt Parallles menant jusqu' l'autre ct, Je soutiens celui-ci coup depuis le fate En parts qui sont aussi d'galit parfaite. Si l'on prend nombre gal de ces gales parts, L'on aura sur chacun ou des tiers ou des quarts; Et divisant l'un d'eux au gr de son envie, Sur l'autre l'on aura la semblable partie: Le rapport que je cherche ainsi sera trouv, Et je construis l'chelle au plan que j'ai lev. De-l nous passons droit aux triangles semblables Dont les proprits sont inapprciables. On peut les reconnatre trois signes certains 1 Deux cts comprenant mme angle dans leurs seins, Et de qui les longueurs sont proportionnelles; 2 Les trois faces ayant mme rapport entre elles; 3 Les trois angles gaux que l'on rduit deux, Tels sont de leurs vertus les symptmes heureux. Je vais, par leur secours, bravant toute dfense, D'inaccessibles lieux mesurer la distance; Je vais sans y monter vous dire avec rigueur Combien votre clocher peut avoir de hauteur. Ces jeux n'tonnent plus que les yeux de l'enfance: Nous avons des secrets de toute autre importance; Mais pour y pntrer, il faut que vos esprits Du dsir de savoir soient vivement pris. Le triangle rectangle et son hypothnuse Ont des proprits que pas un ne rcuse; La perpendiculaire allant l'angle droit De nous les dmontrer aura bientt le droit. En deux extrmes parts coupant l'hypothnuse C'est un terme moyen dont au besoin l'on use. Les deux cts de plus sont moyens en tout temps Entre l'hypothnuse et chacun des segmens. Les cordes ont reu le don non quivoque De se couper toujours en raison rciproque. Scantes qui font angle en un point mitoyen, Font chacune un extrme et chacune un moyen, Ou rciproques sont aux parts extrieures. Les plus claires raisons sont toujours les meilleures. La perpendiculaire, au diamtre allant, Est moyenne aux deux parts, je le prouve l'instant. De pareille vertu s'honore la tangente Entre un ct sortant et l'entire scante. Deux figures tant semblables, sous sentez Que leurs contours entiers sont comme leurs cts, Et qu'un mme rapport rgne sans diffrences Entre divers rayons et leurs circonfrences. LES SURFACES. Amour universel de la proprit, C'est par toi que notre art un jour fut invent; Mais il n'est rien de bon o l'abus ne se glisse, Et souvent dans nos coeurs tu deviens avarice. Que ce vilain dfaut chez nous soit ignor. Pour commune mesure adoptons un quarr: Son ct, tour--tour plac sur chaque face, Du rectangle aisment nous produit la surface. Le paralllogramme au rectangle quivaut, Quand il est aussi large et qu'il n'est pas plus haut. Vous multiplierez donc la hauteur par la base; Oprez lestement, dmontrez sans emphase, Et prenant simplement la moiti du produit, Au triangle dj vous vous trouvez conduit: Puisqu'il est la moiti du paralllogramme, A mon secours, par-tout, c'est lui que je rclame. Le trapze en a deux plus ou moins ingaux; Vous prendrez un moyen aux deux cts rivaux: L'exagone en a quatre ou six en son enceinte, Et la surface courbe elle-mme est atteinte. Le cercle est compos de triangles aigus, Entre un double rayon tout autour contenus. Vous pouvez, pour facteurs, prendre en toute assurance La moiti du rayon et la circonfrence; Mais, hlas! l'on n'a pu trouver par nul effort De la courbe au rayon l'introuvable rapport. N'esprons pas qu'ici notre ignorance fasse Ce que n'ont pas pu faire et _Lagrange_ et _Laplace_: D'ailleurs nous avons l'art d'en approcher si bien Qu'un rapport plus parfait ne servirait rien. Il suffit qu' prsent votre tte possde Celui qu'avait trouv notre matre Archimde. IL en est un plus sr, mais aussi moins succinct; C'est celui de cent treize trois cent cinquant'-cinq: Il approche du but des millionnimes. L'autre, vous le savez, est les vingt-deux septimes; Multipliez par lui le quarr du rayon, Vous aurez, sur-le-champ, tout cercle en question. Vous savez comment sont deux semblables surfaces: Leur rapport est celui des quarrs de leurs faces. Les cercles suivent donc les quarrs des rayons: L'on abrge par l les oprations. C'est un simple calcul dont tous les jours on use, Ainsi que du quarr fait sur l'hypothnuse, Qui vaut les deux quarrs construits sur l'angle droit, Proprit chez nous renomme bon droit. Maints problmes jolis sont rsolus par elle; Par elle, j'ai de deux la racine fidelle. DES PLANS. Il est de la nature et l'essence des plans Que la droite sur eux s'applique en tous les sens: D'o s'en suit que deux plans forment un plan unique, Lorsque l'un par trois points l'autre communique; Je veux dire trois points sur deux lignes placs. Pour toute section une ligne est assez: Mme on peut (mais le cas est rare et difficile) Par une mme ligne en faire passer mille. Cette exiguit fait peine concevoir; Mais avec la chicane il n'est point de savoir. Sur un plan une ligne est perpendiculaire, Lorsque deux angles droits son pied l'on repaire: Et si par elle tait un nouveau plan conduit, Droit serait l'angle plan que l'on aurait produit. Par-l nous dcouvrons les moyens ncessaires Pour faire que les plans soient perpendiculaires. Quant aux angles divers, par leur concours forms, C'est sur la section qu'ils seront estims. Lorsqu'un tiers plan survient sur deux plans parallles, Il fait deux sections parallles entre elles; Et l'on retrouve ici les angles diffrens Que l'on dmontre gaux par les correspondans. SOLIDES. Les plans incessamment sont lis aux solides. Quand des plans de niveau coupent deux pyramides, On a des sections qui, semblables d'ailleurs, Marchent dans le rapport des quarrs des hauteurs. Si donc mme hauteur rgne entre deux d'entre elles, Toutes ces sections sont proportionnelles, Et des bases ds-lors dpend l'galit, En volume total ou bien solidit: Car gale trouvant une base premire, gale aussi sera la tranche lmentaire, Dont on peut concevoir ces deux corps composs; Tels Lafre on voit les boulets entasss. Mais vous m'interrompez: au nom de pyramide, Votre esprit a dj franchi la plage humide; Il s'gare dj dans ces clbres lieux, Dont le sol a nourri tant d'hommes et de dieux; Dont le premier Consul, par plus d'une victoire, Aprs quatre mille ans ressuscita la gloire. Dj vous prtendez mesurer de vos mains Ces tombeaux respects du temps et des Romains. Mais par cuber le prisme il faut que l'on procde; Il en est un nomm paralllipipde, Dont la solidit facilement se voit: La figure en relief la fait toucher au doigt. Il faut multiplier le ct par la base: Dans cette rgle-ci, le prisme droit se case; Et quant au prisme oblique, on le dit bon droit Ayant mme hauteur, gale au prisme droit. D'ailleurs tout prisme en lui contient trois pyramides: Ainsi, pour revenir ces derniers solides, Prenez avec la base un tiers de la hauteur, Et faites le produit de ce double facteur. Par base de solide, on entend la surface Du plan horizontal sur qui le corps se place. Il en est o la base est bonne en tous les sens, La pyramide quatre, et le prisme six plans. Plus nombreux en cts, ces deux-ci vont nous peindre La pyramide un cne et le prisme un cylindre. Semblablement la sphre a su se convertir En cent cnes allant son centre aboutir, Et qui trouvent chacun leur base sa surface: Cette surface seule est ce qui m'embarrasse; Mais un dtour permis en ces sortes de cas, Par le cne tronqu me tire d'embarras, Et me fait voir qu'il faut prendre le prymtre, Et le multiplier par le seul diamtre. Pour la sphre on a donc triple dimension, Axe, circonfrence, et le tiers du rayon. Par ce tiers, du secteur multipliez la zone, Et pour faire un segment, retranchez-en le cne. Le rapport de la sphre son axe cub Sur onze et vingt-et-un est -peu-prs tomb. Quatre cercles facteurs du sixime de l'axe Aux deux tiers du cylindre en rduisent la taxe: Et ce qui paratra surprenant en ceci, C'est qu'on a ce rapport aux surfaces aussi. Le cne inscrit en eux, pour un tiers intercde; C'est ce qu'a le premier dcouvert Archimde: Aux traces qu'en portait un informe carreau, Cicron transport reconnut son tombeau. Quel beau secret encore Archimde nous donne, Lorsque dans le fluide il plonge sa couronne: L'on peut cuber ainsi tout corps irrgulier, Et sachant de chacun le poids particulier, Des mtaux confondus connatre l'alliage, En faire le dpart sans altrer l'ouvrage. Pour termes de rapport dans les solidits, Prenez les cubes faits des semblables cts. Le vulgaire souvent, tromp par l'apparence, Dans ces sortes de cas montre son ignorance, Prenant la ligne au lieu du cube ou du quarr; Et dans de faux calculs il se trouve gar. Si cette erreur, par fois, n'est pas fort dangereuse, Du moins pour l'homme instruit elle est toujours honteuse. N'allez pas hsiter sur un pareil sujet. Mille autres vrits seraient de mon objet; Mais je m'arrte ici, content pour toute gloire, Si mes vers quelquefois aident votre mmoire. De plaire et de charmer ils n'ont pas l'heureux don: Notre langue n'est pas la langue d'Apollon. Mais, sans que le compas sur la lyre anticipe, La rime peut servir graver le principe Indispensable clef qui seule peut ouvrir Cette noble carrire o vous voulez courir. Puissiez-vous quelque jour avec gloire y paratre! Puissiez-vous de bien loin devancer votre matre! Aidez-vous de Bossut, de Monge et de Lacroix; Et sans cesse tendant vos plaisirs et vos droits, Atteignez, s'il se peut, ce sublime ouvrage Qui fait le dsespoir des savans de notre ge. L'esprit s'aiguise encore de l'obstacle irrit: Par un adolescent[4] Laplace est comment. [4] Byot, examinateur de l'cole polytechnique. Mais lorsque vous suivrez les astres dans les cieux, N'en jetez pas sur nous un regard ddaigneux: Simples dans vos discours, sages dans vos systmes, Dfiez-vous toujours et d'eux et de vous-mmes. NOTES DE L'AUTEUR. Que du cercle complet l'angle soit diviseur. A l'heureux exagone accordez-en l'honneur. Pour qu'on puisse couvrir une surface _exactement_ avec des polygones rguliers de mme espce, il faut que l'angle intrieur soit tel, que, rpt un certain nombre de fois, il fasse 360 degrs. Ainsi l'angle du quarr tant de 90 degrs, quatre quarrs se rangeront autour d'un mme point sans laisser aucun intervalle. L'angle du triangle quilatral tant de 60 degrs, six triangles quilatraux se rangeront aussi _exactement_ autour d'un mme point. Ces deux figures sont donc propres couvrir une surface. Mais quoiqu'elles soient et l'autre comprises dans la dnomination gnrique de polygone, cependant ce nom se donne plus particulirement aux figures qui ont plus de quatre cts. Or, de toutes ces figures, l'exagone est la seule qui satisfasse la condition; car, entre 90 et 120, il n'y a aucun diviseur exact de 360, et il n'y en a aucun non plus de 120 180. Le cercle est compos de triangles aigus, Entre un double rayon tout autour contenus. Une analogie directe nous conduit juger le cercle de mme condition que les polygones, et regarder sa surface comme un compos de triangles, ou comme un seul triangle qui a la circonfrence pour base et le rayon pour hauteur. Cependant cette manire de considrer le cercle, qui remonte jusqu' la naissance du l'art, t juge insuffisante par les grands matres de ce sicle, et ce n'est pas sans raison. Ils veulent nous apprendre ne pas nous contenter en gomtrie des preuves d'analogie et de sentiment, et tout soumettre, autant qu'il est possible, la rigueur du calcul. D'ailleurs les mthodes qu'ils emploient dans ce cas-ci et dans ceux qui en dpendent, n'excluent jamais entirement l'ide d'infini, et ne sont, en quelque sorte, que des vrifications, puisqu'on est toujours oblig de supposer et de mettre en avant l'expression que l'on est cens chercher. Nous avons l'art d'en approcher si bien, Qu'un rapport plus parfait ne servirait de rien. En effet le rapport de 113 355, d'Adrien Mtius, ayant un quotient vrai jusqu'au septime chiffre dcimal, donne celui de 1:3,1415926, ou celui de 10000000:31415926. C'est--dire, qu'il faudrait un cercle dont le rayon et plus de dix millions de pieds ou de 666 lieues de diamtre, pour qu'il y et un pied d'erreur dans la circonfrence calcule sur le rapport. Mais l'on pousse quand on veut l'approximation encore plus loin, et presque l'infini, puisqu'on a dtermin jusqu'au vingt-septime chiffre dcimal. ERRATA. pitre Ddicatoire, vers 18, sans la gloire; _lisez:_ sans gloire. _Idem_, vers 39, tre content; _lisez:_ tre satisfait. Page 14, aprs le vers 26, on a omis ces deux-ci: Il en est o la base est bonne en tous les sens, La pyramide quatre, et le prisme six plans. Il est inutile d'observer que, pour entendre ces sortes de vers, il faut tre dj un peu gomtre. Il s'agit ici de la pyramide triangulaire et du prisme quarr, dans lesquels on prend pour base une quelconque des faces, indiffremment. L'Auteur donne actuellement des Leons Paris, chez lui et en ville. --------------------- NOTE DU TRANSCRIPTEUR On a effectu les corrections signales dans les errata. L'orthographe est conforme l'original. End of Project Gutenberg's La gomtrie en vers techniques, by Lyon Des Roys License: Share Alike