Produced by Laurent Vogel, Susan Skinner, Christine P. Travers and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (The original copy of this book was generously made available for scanning by the Department of Mathematics at the University of Glasgow.) MATHMATIQUES ET MATHMATICIENS DU MME AUTEUR LA MME LIBRAIRIE LES FEMMES DANS LA SCIENCE Un beau vol. in-8, IX-362 pp., orn de portraits, autographes et fac-simile 5 fr. MATHMATIQUES ET MATHMATICIENS PENSES ET CURIOSITS Recueillies Par A. REBIRE TROISIME DITION AMLIORE PARIS LIBRAIRIE NONY & Cie 17, RUE DES COLES, 17 1898 (Tous droits rservs) _Nous n'avons pas voulu grossir encore un volume dj trop gros. Nous nous sommes borns amliorer l'dition prcdente, par la mthode des substitutions. Les lecteurs trouveront ainsi des parties nouvelles aux pages 14, 22, 166, 228, 261, 289, 302, 362, 418, 422, etc., etc._ _M. de Tilly a dit: Les Mathmatiques rgissent le monde, mais elles le rgissent sans l'amuser. Stendhal l'avait dj dclar: C'est la patrie du billement et du raisonnement triste. Nous nous sommes permis quand mme, sur un sujet austre, quelques sourires mesurs._ _Nous venons de donner notre livre un frre, ou plutt une soeur, qui s'appelle_ Les femmes dans la science. _Voulez-vous connatre les mathmaticiennes et autres savantes? Aimez-vous les portraits et les autographes?_ _Paris, le 15 mars 1897._ MORCEAUX CHOISIS ET PENSES Les gnralits qui suivent se rapportent aux principes, aux mthodes, la classification, l'enseignement et l'histoire des Mathmatiques. Nous les avons puises bonne source, dans les savants et les penseurs anciens et modernes. OBJET ET CARACTRE DES MATHMATIQUES De quoi s'occupent les mathmatiques, si ce n'est de la proportion et de l'ordre? ARISTOTE. Je me demandai d'abord ce que tout le monde entendait prcisment par ce mot (mathmatiques), et pourquoi on regardait comme faisant partie des mathmatiques, non seulement l'arithmtique et la gomtrie, mais encore l'astronomie, la musique, l'optique, la mcanique et plusieurs autres sciences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il n'est personne, pour peu qu'il ait touch seulement le seuil des coles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se prsentent lui, ceux qui se rattachent aux mathmatiques, et ceux qui appartiennent aux autres sciences. En rflchissant cela, je dcouvris enfin qu'on ne devrait rapporter aux mathmatiques que toutes les choses dans lesquelles on examine l'ordre ou la mesure, et qu'il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons ou dans tout autre objet qu'on cherche cette mesure. DESCARTES. Les spculations mathmatiques ont pour caractre commun et essentiel de se rattacher deux ides ou catgories fondamentales: l'ide d'_ordre_ sous laquelle il est permis de ranger... les ides de situation, de configuration, de forme et de combinaison; et l'ide de _grandeur_ qui implique celles de quantit, de proportion et de mesure. COURNOT. La validit de l'analyse algbrique dpend, non de l'interprtation des symboles employs, mais uniquement des lois de leurs combinaisons... La mathmatique abstraite et gnrale n'a pas seulement pour objet des notions de quantits numriques, gomtriques ou mcaniques: elle traite des oprations en elles-mmes, indpendamment des matires diverses auxquelles elles peuvent tre appliques. LIARD. Nous sommes donc parvenus maintenant dfinir avec exactitude la science mathmatique, en lui assignant pour but la mesure _indirecte_ des grandeurs et en disant qu'on s'y propose constamment de _dterminer les grandeurs les unes par les autres, d'aprs les relations prcises qui existent entre elles_. Cet nonc, au lieu de donner l'ide d'un _art_, caractrise immdiatement une vritable _science_, et la montre sur-le-champ compose d'un immense enchanement d'oprations intellectuelles qui pourront videmment devenir trs compliques, raison de la suite d'intermdiaires qu'il faudra tablir entre les quantits inconnues et celles qui comportent une mesure directe... D'aprs cette dfinition, l'esprit mathmatique consiste regarder toujours comme lies entre elles, toutes les quantits que peut prsenter un phnomne quelconque, dans la vue de les dduire les unes des autres. AUG. COMTE. ------ propos de cette citation, Hoppe, de Berlin, fait remarquer qu'il s'agit aussi en Mathmatiques de l'quivalence des oprations. La dfinition la plus gnralement reue des mathmatiques est celle-ci: les mathmatiques sont la _science des grandeurs_. Cette dfinition est vraie au fond, mais elle est superficielle et demande explication. De quelles grandeurs s'agit-il en mathmatiques? Est-ce de toute grandeur en gnral? Non, car alors tout serait objet des mathmatiques, puisque tout est grandeur, si du moins on se contente de dfinir la grandeur comme on le fait d'ordinaire: ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution; car cela s'applique tout; une chose peut tre _plus ou moins_ belle, une action _plus ou moins_ bonne, un plaisir _plus ou moins_ vif, un homme _plus ou moins_ spirituel; ce ne sont pas l des grandeurs mathmatiques. Pourquoi? Parce que ce ne sont pas l des grandeurs _mesurables_. Qu'est-ce qu'une grandeur mesurable et, en gnral, qu'est-ce que mesurer? C'est comparer une grandeur quelconque une grandeur donne prise pour unit. Mesurer une route, c'est comparer la longueur de la route une unit de longueur qu'on appelle le _mtre_, et dire combien de fois elle comprend cette unit. Mais qui pourra dire, par exemple, combien de fois le talent de Catulle est contenu dans le gnie d'Homre? Il n'y a donc que les grandeurs mesurables qui soient l'objet des mathmatiques. De l cette nouvelle dfinition: c'est la science _de la mesure des grandeurs_. Cette dfinition est plus juste que la prcdente; mais elle est encore superficielle. En effet, mesurer ne semble gure en ralit qu'une opration purement mcanique. Or c'est l l'objet d'un _art_ et non d'une _science_. L'arpentage n'est pas la gomtrie. C'est l'arpenteur qui mesure, c'est le gomtre qui fournit les moyens de mesurer. La mesure n'est donc pas l'objet immdiat de la science. Elle n'en est que l'objet indirect et loign. Voyons comment elle peut devenir un objet vraiment scientifique. La comparaison directe et immdiate d'une grandeur quelconque l'unit est, la plupart du temps, impossible. Par exemple, si je demande combien il y a d'arbres dans une fort, je ne puis le savoir qu'en comptant les arbres un un, ce qui demanderait un temps infini. Il en est de mme dans la plupart des cas. Prenons le plus facile: la mesure d'une ligne droite par la superposition d'une de ses parties. Cela suppose: 1 que nous pouvons parcourir la ligne, ce qui exclut les longueurs inaccessibles (par exemple la distance des corps clestes); 2 que la ligne ne soit ni trop grande, ni trop petite, qu'elle soit convenablement situe: par exemple horizontale, non verticale. Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai plus forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et plus forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces quantits peuvent-elles tre mesures? C'est l le problme qui rend ncessaire les mathmatiques. Les mathmatiques, dans leur essence mme, ont donc pour objet de ramener les grandeurs non immdiatement mesurables des grandeurs immdiatement mesurables. C'est par l qu'elles sont une science. En effet, l'intervalle qui spare une grandeur mesurer de la grandeur immdiatement mesurable peut tre plus ou moins grand. De l une srie de rductions, depuis la grandeur la plus loigne jusqu' la plus prochaine; et c'est la rduction de ces grandeurs les unes aux autres qui constitue la science; soit, par exemple, mesurer la chute verticale d'un corps pesant. Il y a ici deux quantits distinctes: la hauteur d'o le corps est tomb, et le temps de la chute. Or ces deux quantits sont lies l'une l'autre; elles sont, comme on dit en mathmatique, _fonction_ l'une de l'autre. D'o il suit que l'on peut mesurer l'une par l'autre; par exemple dans le cas d'un corps tombant dans un prcipice, on mesure la hauteur de la chute par le temps qu'il met tomber; en d'autres cas, au contraire, le temps n'tant pas directement observable, sera dduit de la hauteur. Si donc on trouve une loi qui lie ces deux quantits et qui permette de conclure de l'une l'autre, on aura rduit une grandeur non mesurable directement une autre qui peut l'tre. C'est l un problme mathmatique. Autre exemple. Comment mesurer la distance des corps clestes qui sont inaccessibles? On regardera cette distance comme faisant partie d'un triangle, dont on connatra un ct et deux angles. Or, la gomtrie nous apprend dans ce cas dcouvrir les deux cts du triangle, et par consquent nous donne le moyen de construire le triangle dans lequel il suffira de tirer une ligne du sommet la base pour avoir la distance relle. Maintenant, la distance tant connue, on peut, du diamtre apparent conclure le diamtre rel, passer de l au volume et mme au poids, en y ajoutant d'autres lments. PAUL JANET. ------ Le mathmaticien prpare d'avance des moules que le physicien viendra plus tard remplir. TAINE. ------ En d'autres termes, l'ordre mathmatique inspire la conception de l'ordre physique. Les mathmatiques offrent ce caractre particulier et bien remarquable que tout s'y dmontre par le raisonnement seul, sans qu'on ait besoin de faire aucun emprunt l'exprience, et que nanmoins tous les rsultats obtenus sont susceptibles d'tre confirms par l'exprience, dans les limites d'exactitude que l'exprience comporte. Par l, les mathmatiques runissent au caractre de science rationnelle, celui de science positive, dans le sens que la langue moderne donne ce mot. COURNOT. Les mathmatiques forment pour ainsi dire un pont entre la mtaphysique et la physique. KANT. D'aprs Leibniz, il n'y a de mesure que l o il y a antrieurement de l'ordre. On peut dire, par suite, que les mathmatiques sont _la science de l'ordre_. Quelques-uns ont prtendu que toute la partie des mathmatiques qui n'est susceptible d'aucune vrification exprimentale devrait tre transporte dans la philosophie. Tels seraient les nombres incommensurables et, plus forte raison, les nombres ngatifs et imaginaires. Mais on est arriv interprter ces symboles d'une faon concrte, et du reste cette limitation si troite et si arbitraire des mathmatiques les restreindrait presque rien. Les vrits gomtriques sont en quelque sorte l'_asymptote_ des vrits physiques, c'est--dire le terme dont celles-ci peuvent indfiniment approcher, sans jamais y arriver exactement. D'ALEMBERT. Les figures gomtriques sont de pures conceptions de l'esprit et cependant la gomtrie n'est pas seulement une science spculative trs propre dvelopper les facults intellectuelles.....; mais elle est encore utile par ses nombreuses applications aux arts. Cela tient ce que les volumes de certains corps, leurs surfaces, les portions communes deux portions de ces surfaces peuvent tre regards comme tant _sensiblement_ des volumes, des surfaces et des lignes gomtriques. COMPAGNON. Avec des dfinitions prcises et des axiomes certains, la Mathmatique tablit des dductions sres tant que le raisonnement se maintient dans les voies de l'vidence logique. C'est pourquoi la science des grandeurs porte, l'exclusion de toute autre, le titre glorieux d'exacte. Cela signifie surtout que, moins qu'aucune autre, elle est sujette l'erreur. La perception a ses mprises, la conception ses lacunes, l'induction ses tmrits, l'opinion ses dissidences, l'observation ses mcomptes, l'exprience ses garements. Seule, la dduction ne trompe point, quand elle suit la loi du raisonnement. La science qu'elle tablit progresse avec plus ou moins de lenteur; mais ses vrits une fois dmontres, sont parfaites, dfinitives, et ne changent plus. La thorie des grandeurs est l'unique exemple d'une construction scientifique ne laissant rien dsirer..... ce titre, elle mritait le nom de science par excellence (_mathsis_) que les Grecs lui avaient donn. Elle est la science type, l'idal de connaissance certaine propos pour modle toutes les sciences de fait, mais dont celles-ci ne se rapprochent qu'en lui empruntant sa mthode et en subordonnant leurs mensurations ses lois. BOURDEAU. ------ Dire que les mathmatiques ne laissent rien dsirer, c'est trop dire. L aussi, il reste encore des questions lucider. Ce qui est acquis dans les sciences de dmonstration, dans les mathmatiques, par exemple, est absolument parfait; ce qui est acquis dans les sciences d'observation est indfiniment perfectible et consquemment variable, ou du moins conserve ce caractre jusqu'au moment o la dmonstration devient possible. DUVAL-JOUVE. Les mathmatiques ont des inventions trs subtiles et qui peuvent beaucoup servir, tant contenter les curieux qu' faciliter tous les arts et diminuer le travail des hommes. DESCARTES. Les objets de la Gomtrie, disent-ils, n'ont aucune ralit et ne peuvent exister; des lignes sans largeur, des surfaces sans profondeur, un point mathmatique, c'est--dire sans longueur, largeur, ni paisseur, sont des tres de raison, de pures chimres. Il en est de mme des figures dont la Gomtrie dmontre les proprits; il n'y a et il ne saurait y avoir aucun cercle parfait, aucune sphre parfaite: ainsi, concluent-ils, cette science ne s'occupe que d'objets chimriques et impossibles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Il importe peu aux gomtres qu'il existe physiquement une sphre parfaite, un plan parfait; ces figures ne sont que les limites intellectuelles des grandeurs matrielles qu'ils considrent, et ce qu'ils dmontrent l'gard de ces limites est d'autant plus vrai pour les corps matriels, qu'ils en approchent davantage... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Mais insistera-t-on peut-tre... demandera-t-on si ces corps dous de figures parfaites sont possibles?... ... Il suffit aux Gomtres que l'ide mtaphysique de ces figures soit claire et vidente pour servir de fondement leurs recherches, et pour que leurs consquences jouissent de la mme vidence et de la mme clart. MONTUCLA. Les ennemis de la Gomtrie, ceux qui ne la connaissent qu'imparfaitement, regardent les problmes thoriques, qui en forment la partie la plus difficile, comme des jeux d'esprit qui absorbent un temps et des mditations qu'on pourrait mieux employer; opinion fausse et trs nuisible au progrs des sciences, si elle pouvait s'accrditer. Mais, outre que les propositions spculatives, d'abord striles en apparence, finissent souvent par s'appliquer des objets d'utilit publique, elles subsisteront toujours comme un des moyens les plus propres dvelopper et faire connatre toutes les forces de l'intelligence humaine. BOSSUT. La science des grandeurs, considre dans son ensemble, a une parfaite unit que le mot Mathmatiques (au pluriel) parat mconnatre, en faisant prsumer un groupe de sciences plutt qu'une science unique. Il serait prfrable, comme l'avait propos Condorcet, et comme Auguste Comte en donne l'exemple, de dire la Mathmatique, afin de mieux marquer l'unit gnrale de la science des grandeurs. Il est d'ailleurs noter que cette rforme nous remet dans le vrai courant de la langue. Le terme Mathmatique tait usit au XVIIe sicle et se lit trois fois dans une page de la notice sur Pascal, par Mme Prier, sa soeur. La Mathmatique n'est pas seulement _une_ science, mais _la science_; et son nom ne signifie que cela; car pour les Grecs c'tait la seule science. Le matelot qu'une exacte observation de la longitude prserve du naufrage, doit la vie une thorie conue, deux mille ans auparavant[1], par les hommes qui avaient en vue de simples spculations gomtriques. CONDORCET. [Note 1: Il s'agit des courbes appeles _coniques_, dj tudies par les Grecs.] C'est par les sciences mathmatiques qu'il convient de commencer la srie des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent pour point de dpart et qui ont pour objet un plus petit nombre d'ides. De plus, on peut tudier les vrits dont elles se composent sans recourir aux autres branches de nos connaissances, et celles-ci leur empruntent, au contraire, de nombreux secours, tels par exemple que les thormes et les calculs sur lesquels s'appuient les sciences physiques et industrielles; la mesure des champs et le calendrier, si ncessaires l'agriculture; la mesure prcise des diffrents degrs de probabilit de celles de nos connaissances qui ne sont pas susceptibles d'une certitude complte, et les exemples les plus frappants de la diversit des mthodes que la philosophie doit examiner; la dtermination des lieux et des temps, bases de la gographie et de l'histoire; et, parmi les sciences politiques, o leurs applications sont si nombreuses, quels indispensables secours ne prtent-elles pas surtout toutes les parties de l'art militaire? AMPRE. NOTIONS PRIMITIVES On trouvera peut-tre trange que la gomtrie[2] ne puisse dfinir aucune des choses qu'elle a pour principaux objets; car elle ne dfinit ni le mouvement, ni le nombre, ni l'espace; et cependant ces trois choses sont celles qu'elle considre particulirement... Mais on n'en sera pas surpris, si l'on remarque que cette admirable science ne s'attachant qu'aux choses les plus simples, cette mme qualit qui les rend dignes d'tre ses objets, les rend incapables d'tre dfinies; de sorte que le manque de dfinition est plutt une perfection qu'un dfaut, parce qu'il ne vient pas de leur obscurit, mais au contraire de leur extrme vidence... [Note 2: Le mot est pris ici dans le sens gnral de mathmatiques; on dit de mme gomtre pour mathmaticien.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Quand elle (la gomtrie) est arrive aux premires vrits connues, elle s'arrte l et demande qu'on les accorde, n'ayant rien de plus clair pour les prouver; de sorte que tout ce que la gomtrie propose est parfaitement dmontr, ou par la lumire naturelle, ou par les preuves. De l vient que si cette science ne dfinit et ne dmontre pas toutes choses, c'est par cette seule raison que cela nous est impossible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Se tenir dans ce milieu de ne point dfinir les choses claires et entendues de tous les hommes et de dfinir toutes les autres; et de ne point prouver toutes les choses connues des hommes, et de prouver toutes les autres. Contre cet ordre pchent galement ceux qui entreprennent de tout dfinir et de tout prouver, et ceux qui ngligent de le faire dans les choses qui ne sont pas videntes d'elles-mmes. PASCAL. Il est des notions premires qu'on est en droit de supposer aux lves. Elles serviront leur donner d'autres connaissances. Nous ne chercherons pas les claircir elles-mmes, parce que les explications n'ont pour but que de ramener ce que l'on ne connat pas ce que l'on connat et qu'il faut par consquent admettre _a priori_ certaines notions, certaines ides par leur simple nonc, ou par la simple dnomination par laquelle on les a dsignes. DUHAMEL. La figure est inhrente l'objet, le nombre dpend de l'unit. C'est dans la sphre propre de l'esprit, et bien au del des rsultats de l'observation, non dans ces rsultats eux-mmes, qu'il faut chercher la vritable source des ides gomtriques, quoique leur point d'application soit plus bas, dans la sphre exprimentale, l o la matire et l'esprit se joignent et o les ides, prenant corps, nous deviennent en quelque sorte palpables. Le monde idal a son autonomie, ses lois distinctes, comme le monde physique. Mais ils s'appellent l'un l'autre, l'harmonie rgne entre eux, jusqu' un haut degr d'approximation qui d'ailleurs nous chappe. BOUSSINESQ. L'origine des notions mathmatiques a donn lieu des controverses encore pendantes parmi les philosophes. Pour les uns, nombres et figures sont des types crs de toutes pices par l'esprit, et qui s'imposent aux choses de l'exprience, en vertu d'une mystrieuse concordance entre la pense et la ralit extrieure. Pour les autres, au contraire, nombres et figures ne font pas exception cette loi gnrale d'aprs laquelle toute connaissance driverait, soit directement, soit indirectement, de l'exprience sensible. Dans un cas, les notions mathmatiques seraient des modles; dans l'autre, elles seraient des copies. Ce n'est pas le lieu d'entrer dans cette controverse et de peser les raisons invoques de part et d'autre. Il nous suffira de constater deux faits: en premier lieu, quelque opinion qu'on professe sur l'origine des notions mathmatiques, on ne contestera pas qu'elles ne sont pas des reprsentations absolument exactes des ralits extrieures. L'unit est divisible en parties rigoureusement gales; il n'en est pas ainsi d'un objet rel; jamais la moiti, le quart, le dixime de cet objet ne sera rigoureusement gal l'autre moiti, chacun des trois autres quarts, chacun des neuf autres diximes, et mme plus les subdivisions se multiplieront, plus l'ingalit relle des parties augmentera. Le cercle des gomtres a des rayons absolument gaux; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'un cercle rel; tous les points d'une surface sphrique sont quidistants du centre; jamais il n'en sera ainsi des rayons d'une sphre matrielle. En second lieu, le mathmaticien considre souvent des nombres et des figures dont il n'a jamais trouv les modles dans la ralit. Toute division d'un objet rel en parties gales a une limite que nos sens et nos instruments de prcision, mme les plus perfectionns, sont impuissants franchir; cette limite, la pense du mathmaticien la franchit aisment, et au del des plus petites divisions possibles d'un objet, il conoit d'autres divisions encore et toujours l'infini; de mme il est des limites l'addition des objets; il n'en est pas celle des units mathmatiques; la nature a bien vite cess de fournir; la numration ne s'arrte jamais. De mme en gomtrie, si varies que soient les formes ralises dans la nature, il en est dont le gomtre tudie les proprits, sans les avoir jamais rencontres dans le monde extrieur. Qui a vu un polygone rgulier d'un millier de cts? Il rsulte de ce double fait que, mme dans le cas o l'esprit tirerait de l'exprience les premiers lments dont il compose les notions mathmatiques, il les labore, les transforme, et ne tarde pas s'affranchir des suggestions exprimentales. Il procde alors comme s'il les tirait de son propre fonds. Aussi, sans prendre ici part dans ce conflit de doctrines sur l'origine premire des notions mathmatiques, on peut et on doit considrer ces notions comme des _constructions_ faites par l'esprit suivant des lois qu'il pose, constructions qui sont en partie, mais en partie seulement et imparfaitement reproduites par la ralit sensible. LIARD. L'tendue n'existe qu'avec trois dimensions; mais, pour la considrer suivant la mthode analytique, on commence par la dpouiller de deux de ses dimensions et en la rduisant ainsi une seule, on a l'ide de _la ligne_. Si, dans cette ide, on carte tout rapport avec deux dimensions, on a l'ide de _la ligne droite_; car, quoiqu'une ligne courbe n'ait qu'une dimension, cependant l'ide de courbure suppose ncessairement la considration de deux dimensions. L'extrmit de la ligne forme le _point_, qui est la dernire abstraction de l'entendement dans la considration de l'tendue. La _surface_ est l'tendue envisage avec deux dimensions et si, dans cette ide, on fait entirement abstraction de la troisime, on a l'ide du _plan_. Enfin l'tendue avec ses trois dimensions forme le _solide_. LAPLACE. L'espace tant ncessairement homogne, il suit qu'on peut le concevoir divis en deux parties telles qu'on ne puisse rien dire de l'une qui ne puisse se dire galement de l'autre; telles, de plus, que leur limite commune ait chacune d'elles les mmes rapports, soit qu'on la considre en son entier, soit qu'on n'en considre qu'une partie. C'est cette limite qu'on appelle _plan_, et le plan, comme l'espace, peut tre conu divis en deux parties telles, qu'on ne puisse rien dire de l'une qui ne puisse se dire galement de l'autre; telles, de plus, que leur limite commune ait chacune d'elles les mmes rapports, soit qu'on la considre en son entier, soit qu'on n'en considre qu'une partie... BERTRAND, de Genve. La srie des axiomes gomtriques habituellement adopte est la fois insuffisante et surabondante. Elle est insuffisante parce que, en ralit, on suppose plusieurs faits non noncs; mais elle est en mme temps surabondante, parce qu'on y admet des faits qui peuvent tre rigoureusement dmontrs au moyen de ceux qu'il faut admettre comme axiomes.... Les axiomes de la gomtrie peuvent se rduire _trois_, savoir: celui de la distance et de ses proprits essentielles, celui de l'augmentation indfinie de la distance et celui de la parallle unique. DE TILLY. L'tude de la mcanique, succdant la gomtrie, peut tre considre comme le dveloppement de trois ides fondamentales, qui existent dans l'esprit humain antrieurement tout enseignement scientifique: ce sont les ides de force, de temps et de masse. Ces ides sont irrductibles et on ne peut pas plus dfinir la force, le temps ou la masse qu'on ne peut dfinir l'tendue. CH. SIMON. Quelque objet que les mathmatiques considrent, elles le dpouillent de toutes ses qualits sensibles, de toutes ses proprits individuelles; bientt il n'est plus qu'un rapport abstrait de nombre ou de grandeur: on dsigne ce rapport par une lettre ou une ligne; l'objet lui-mme est alors oubli, il cesse d'exister pour les mathmatiques. Ces signes, arbitraires en apparence, sont l'unique objet de leurs mditations; c'est sur eux seuls qu'elles oprent, et ce n'est qu'aprs tre parvenu au dernier rsultat que revenant sur leurs premires oprations, elles appliquent ce rsultat l'objet rel dont elles avaient cess de s'occuper. Les vrits certaines, trouves par cette mthode, paraissent au premier coup d'oeil n'tre que des vrits intellectuelles et abstraites: on a pu les prendre pour des propositions identiques, en oubliant que les combinaisons diverses des mmes lments ne sont pas une mme chose. On serait encore plus tent de croire qu'elles n'appartiennent point la nature relle. Mais ce serait une erreur: car elles sont des vrits relles, si l'objet auquel vous les avez appliques existe dans la nature tel que vous l'avez suppos. CONDORCET. MTHODES 1 N'entreprendre de dfinir aucune des choses tellement connues d'elles-mmes, qu'on n'ait point de termes plus clairs pour les exprimer. 2 N'admettre aucun des termes un peu obscurs ou quivoques, sans dfinition. 3 N'employer dans les dfinitions que des termes parfaitement connus ou dj expliqus. 4 N'omettre aucun des principes ncessaires, sans avoir demand si on l'accorde, quelque clair et vident qu'il puisse tre. 5 Ne demander en axiomes que des choses parfaitement videntes d'elles-mmes. 6 N'entreprendre de dmontrer aucune des choses qui sont tellement videntes d'elles-mmes, qu'on n'ait rien de plus clair pour les prouver. 7 Prouver toutes les propositions un peu obscures, en n'employant leur preuve que des axiomes trs vidents d'eux-mmes ou des propositions dj dmontres ou accordes. 8 N'abuser jamais de l'quivoque des termes, en manquant de substituer mentalement les dfinitions qui les restreignent et les expliquent. PASCAL. Lorsque l'on aura trouver la dmonstration d'une proposition nonce, on cherchera d'abord si elle peut se dduire comme une consquence ncessaire de propositions admises, auquel cas, elle devra tre admise elle-mme, et sera par consquent dmontre. Si l'on n'aperoit pas de quelles propositions connues elle pourrait tre dduite, on cherchera de quelle proposition non admise elle pourra l'tre, et alors la question sera ramene dmontrer la vrit de cette dernire. Si celle-ci peut se dduire de propositions admises, elle sera reconnue vraie, et par suite la propose; sinon, on cherchera de quelle proposition non encore admise elle pourrait tre dduite, et la question serait ramene dmontrer la vrit de cette dernire. On continuera ainsi jusqu' ce que l'on parvienne une proposition reconnue vraie: et alors la vrit de la propose sera dmontre. On voit que cette mthode, que l'on appelle _analyse_, consiste tablir une chane de propositions commenant celle qu'on veut dmontrer, finissant une proposition connue et telle qu'en partant de la premire, chacune soit une consquence ncessaire de celle qui la suit; d'o il rsulte que la premire est une consquence de la dernire, et, par consquent, vraie comme elle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La _mthode synthtique_ consiste partir de propositions reconnues vraies, en dduire d'autres comme consquences ncessaires, de celles-ci de nouvelles, jusqu' ce qu'on parvienne la propose, qui se trouve alors reconnue elle-mme comme vraie. Elle n'est donc qu'une mthode de dduction. D'o l'on voit que, si l'on connaissait la dmonstration analytique d'un thorme, on en obtiendrait immdiatement la dmonstration synthtique en renversant l'ordre des propositions. DUHAMEL. Il est en mathmatiques une mthode pour la recherche de la vrit, que Platon passe pour avoir invente, que Thon a nomme analyse et qu'il a dfinie ainsi: _Regarder la chose cherche, comme si elle tait donne, et marcher de consquences en consquences, jusqu' ce que l'on reconnaisse comme vraie la chose cherche._ Au contraire, la synthse se dfinit: _Partir d'une chose donne, pour arriver, de consquences en consquences, trouver une chose cherche._ VITE. On peut remarquer que la mthode analytique qui est une mthode rigoureuse par _rduction_, en ralit identique la mthode synthtique par _dduction_, n'est pas la mme que l'analyse des Anciens, qui tait dductive et tait une sorte d'exprimentation sur la vrit dmontrer. Aujourd'hui nous ne faisons plus de synthse, parce qu'il est de rgle de ne procder en analyse que par conclusions immdiatement rversibles. Si A est vrai, B est vrai n'est employ que si l'on peut dire: B est vrai, donc A est vrai. Il est rare que les Anciens aient t assez assurs de la pratique de leurs procds pour se croire dispenss de la contre-preuve, la synthse aprs l'analyse. P. TANNERY. Si vous substituez une proposition ou une question, une proposition ou une question plus gnrale, vous pouvez trouver des solutions en plus, des solutions trangres. Par contre, si la nouvelle proposition ou la nouvelle question est moins gnrale, vous pouvez perdre des solutions. Voici, d'aprs la _Logique de Port-Royal_, quelques dfauts qui se rencontrent dans la mthode des gomtres: 1 Avoir plus de soin de la certitude que de l'vidence, et de convaincre l'esprit que de l'clairer. 2 Dmonstration par l'impossible. 3 Dmonstrations tires par des voies trop longues. 4 N'avoir aucun soin du vrai ordre de la nature. 5 Ne point se servir de divisions et de partitions. Il serait dsirer qu'on ne laisst pas autant dans l'oubli certains rsultats des travaux des gomtres des sicles passs, et qu'on revnt un peu sur les principes presque toujours faciles et souvent ingnieux l'aide desquels les grands hommes de ces temps-l y taient parvenus; car ce ne sont pas tant les vrits particulires que les mthodes qu'il ne faut pas laisser prir. PONCELET. Pour bien faire sentir la diffrence entre les rsultats de la mthode exprimentale et inductive et les rsultats de la mthode mathmatique, supposons qu'un malin gnie..... se plaise nous embrouiller dans nos oprations, crer ou annihiler un objet entre nos doigts, au moment o nous comptons quel nombre d'objets font deux groupes de cinq objets, faire varier les angles du triangle que nous mesurons, ou les angles du rapporteur qui nous sert d'unit de mesure; nous n'aurons aucun moyen de dcouvrir la supercherie, nous enregistrerons ingnument les divers rsultats obtenus, et nous conclurons en toute scurit de conscience, que les angles d'un triangle valent tantt deux droits, tantt plus, tantt moins; et que cinq et cinq font, suivant le cas, dix, douze ou tout autre nombre. Mais si nous avons une fois _dmontr_ rationnellement que cinq et cinq font dix, que les angles d'un triangle valent deux angles droits, alors, quand mme un malin gnie, intervenant lorsque nous voulons vrifier exprimentalement ces vrits, brouillerait nos comptes et nos mesures, nous n'en maintiendrions pas moins la vrit absolue de notre dmonstration faite dans l'abstrait, et nous en conclurions seulement que, pour des raisons nous inconnues, ces vrits se trouvent modifies dans le concret par l'association, dans les objets rels, de proprits de divers genres aux proprits mathmatiques. RABIER. Les questions aises doivent tre traites par des moyens galement faciles; il faut rserver l'analyse savante pour les questions qui exigent les grands moyens et il ne faut pas ressembler ce personnage de la Fable, qui, pour se dlivrer d'une puce, voulait emprunter Jupiter sa foudre ou Hercule sa massue. DELAMBRE. C'est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches mathmatiques: ces quantits auxiliaires, ces calculs longs et difficiles o l'on se trouve entran, y sont presque toujours la preuve que notre esprit n'a point, ds le commencement, considr les choses en elles-mmes et d'une vue assez directe, puisqu'il nous faut tant d'artifices et de dtours pour y arriver; tandis que tout s'abrge et se simplifie, sitt que l'on se place au vrai point de vue. POINSOT. Les dfinitions gomtriques ne prcdent jamais l'apparition des figures qu'il s'agit d'tudier; elles les suivent, au contraire, et les fixent. Ce n'est qu'aprs avoir dmontr qu'une figure est _possible_ et _unique_, qu'il est permis de rsumer par un mot, le rsultat de cette dmonstration, et de regarder conventionnellement ce mot comme l'quivalent ou comme la dfinition de la figure. J. F. BONNEL. Il semble que dans l'tat actuel des sciences mathmatiques, le seul moyen d'empcher que leur domaine devienne trop vaste pour notre intelligence, c'est de gnraliser de plus en plus les thories que ces sciences embrassent, afin qu'un petit nombre de vrits gnrales et fcondes soit, dans la tte des hommes, l'expression abrge de la plus grande varit de faits particuliers. CHARLES DUPIN. L'tendue et les progrs de la gomtrie sont tels que, plutt que de se refuser toute tude des nouvelles mthodes, il faudra peut-tre avant peu tenir compte seulement des mthodes gnrales, afin d'avoir en sa possession un plus grand nombre de moyens pour arriver la connaissance des vrits dont on a besoin. Il est effectivement impossible dsormais d'avoir prsentes l'esprit toutes les vrits qui sont dcouvertes. BELLAVITIS. Voulant rsoudre quelque problme, on doit d'abord le considrer comme dj fait, et donner des noms toutes les lignes qui semblent ncessaires pour le construire, aussi bien celles qui sont inconnues qu'aux autres. Puis, sans considrer aucune diffrence entre ces lignes connues et inconnues..... on cherche exprimer une mme quantit en deux faons, ce qui se nomme une quation..... On doit trouver autant de telles quations qu'on a suppos de lignes qui taient inconnues. DESCARTES. Certaines parties d'une figure, considres dans un tat gnral de construction, peuvent tre indiffremment relles ou imaginaires. Or il arrive souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de la ralit, la dmonstration d'un thorme, et que cette dmonstration n'a plus lieu quand ces mmes parties deviennent imaginaires. Alors on dit qu'en vertu du _principe de continuit_ le thorme dmontr dans le premier cas s'tend au second, et on l'nonce d'une manire gnrale. Quelquefois le contraire a lieu, et c'est quand certaines parties d'une figure sont imaginaires, que l'on y trouve les lments d'une dmonstration facile, dont on applique les consquences, en vertu du _principe de continuit_, au cas o ces mmes parties sont relles et o la dmonstration n'existe plus. CHASLES. Un jour qu'il prsidait un concours d'agrgation, Poisson, oubliant un instant le candidat qu'il avait juger, prit la parole et dveloppa ceci: qu'il y a en gomtrie quatre mthodes: mthode de superposition; mthode de rduction l'absurde; mthode des limites; mthode infinitsimale. La superposition, disait-il, n'est applicable que dans trs peu de cas; la rduction l'absurde suppose la vrit connue, et prouve alors qu'il ne peut pas en tre autrement, mais sans montrer pourquoi. La mthode des limites, plus gnralement applicable que les deux autres, suppose la vrit connue, et ce n'est, par consquent, pas davantage une mthode d'investigation; ce sont trois mthodes de dmonstration applicables chacune, dans certains cas, aux vrits dj connues. Au contraire, la mthode des _infiniment petits_ se trouve tre la fois une mthode, gnrale et toujours applicable, et de dmonstration et d'investigation. GRATRY. On peut tablir dans les Mathmatiques une autre classification, fonde non plus sur l'objet de la science, mais sur ses mthodes. ce nouveau point de vue, nous aurions distinguer deux sortes d'Analyse: 1 Celle des quantits discontinues; 2 Celle des quantits continues. Dans la premire, on cherche les relations qui existent entre certaines quantits fixes donnes _a priori_. Cette mthode est employe dans les parties lmentaires des Mathmatiques, et plus spcialement en Arithmtique et au dbut de la Gomtrie, sauf pour un petit nombre de thormes fondamentaux, dont la dmonstration exige la notion des quantits incommensurables. Dans l'Analyse des quantits continues, on considre au contraire les lments de la question propose comme susceptibles de varier par degrs insensibles et l'on cherche dterminer les lois qui rgissent leurs variations simultanes. Cette mthode dont Euclide et Archimde avaient donn autrefois de remarquables exemples, tait tombe en oubli pendant plusieurs sicles, lorsque la mmorable dcouverte de Descartes sur l'application de l'Algbre la thorie des courbes obligea les gomtres y revenir, pour rsoudre les deux questions qui s'imposaient eux, le problme des tangentes et celui des quadratures. JORDAN. GOMTRIE ET ANALYSE On a dit que la gomtrie tait l'art _de raisonner juste sur des figures fausses_. Une figure grossire n'est trace que pour soutenir l'attention et on raisonne en ralit sur la figure idale et parfaite. Celui-l est indigne du nom d'homme, a dit Platon, qui ignore que la diagonale du carr est incommensurable avec son ct. L'algbre n'est qu'une gomtrie crite, la gomtrie n'est qu'une algbre figure. SOPHIE GERMAIN. L'Algbre emploie des signes abstraits, elle reprsente les grandeurs absolues par des caractres qui n'ont aucune valeur par eux-mmes, et qui laissent ces grandeurs toute l'indtermination possible; par suite elle opre et raisonne forcment sur les signes de non-existence comme sur des quantits toujours absolues, toujours relles: _a_ et _b_ par exemple, reprsentant deux quantits quelconques, il est impossible, dans le cours des calculs, de se rappeler et de reconnatre quel est l'ordre de leurs grandeurs numriques; l'on est, malgr soi, entran raisonner sur les expressions _a-b_, _[[V]a-b]_, etc., comme si c'taient des quantits toujours absolues et relles. Le rsultat doit donc lui-mme participer de cette gnralit, et s'tendre tous les cas possibles, toutes les valeurs des lettres qui y entrent; de l aussi ces formes extraordinaires, ces tres de raison, qui semblent l'apanage exclusif de l'Algbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans la Gomtrie ordinaire, qu'on nomme souvent la _synthse_, les principes sont tout autres, la marche est plus timide ou plus svre; la figure est dcrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on raisonne sur des grandeurs, des formes relles et existantes, et jamais on ne tire de consquences qui ne puissent se peindre, l'imagination ou la vue, par des objets sensibles; on s'arrte ds que ces objets cessent d'avoir une existence positive et absolue, une existence physique. La rigueur est mme pousse jusqu'au point de ne pas admettre les consquences d'un raisonnement tabli dans une certaine disposition gnrale des objets d'une figure, pour une autre disposition galement gnrale de ces objets, et qui aurait toute l'analogie possible avec la premire; en un mot, dans cette Gomtrie restreinte, on est forc de reprendre toutes la srie des raisonnements primitifs, ds l'instant o une ligne, un point ont pass de la droite la gauche d'un autre, etc. PONCELET. ------ Le clbre auteur du _Trait des proprits projectives des figures_ montre ensuite comment les modernes se sont efforcs de donner la Gomtrie la gnralit de l'Algbre. L'exactitude de toute relation entre des grandeurs concrtes quelconques est indpendante de la valeur des _units_ auxquelles on les rapporte pour les exprimer en nombres. Par exemple, la relation qui existe entre les trois cts d'un triangle rectangle a lieu, soit qu'on les value en mtres, ou en lignes, ou en pouces, etc. Il suit de cette considration gnrale, que toute opration qui exprime la loi analytique d'un phnomne quelconque doit jouir de cette proprit de n'tre nullement altre, quand on fait subir simultanment toutes les quantits qui s'y trouvent le changement qu'prouveraient leurs units respectives. Or, ce changement consiste videmment en ce que toutes les quantits de mme espce deviendraient la fois _m_ fois plus petites, si l'unit qui leur correspond devenait _m_ fois plus grande, ou rciproquement. Ainsi, toute quation qui reprsente une relation concrte quelconque, doit offrir ce caractre de demeurer la mme quand on y rend _m_ fois plus grandes toutes les quantits qu'elle contient, et qui expriment les grandeurs entre lesquelles existe la relation, en exceptant toutefois les nombres qui dsignent les _rapports_ mutuels de ces grandeurs, lesquels restent invariables dans le changement des units. C'est dans cette proprit que consiste la _loi de l'homognit_, suivant son acception la plus tendue.. AUGUSTE COMTE. C'est une simplification intressante que de rsoudre par le second livre de Gomtrie un problme, plac ordinairement dans le troisime. Citons, par exemple, la circonfrence, passant par deux points et tangente une droite. Nous voyons ainsi que l'ordre logique des propositions n'est pas aussi fix qu'on l'admet gnralement. L'Algbre plane pour ainsi dire galement sur l'Arithmtique et sur la Gomtrie: son objet n'est pas de trouver les valeurs mmes des quantits cherches, mais le systme d'oprations faire sur les quantits donnes pour en dduire les valeurs des quantits que l'on cherche. Le tableau de ces oprations, reprsentes par les caractres algbriques, est ce que l'on nomme en Algbre une _formule_. LAGRANGE. L'Algbre est gnreuse, a dit d'Alembert, elle donne souvent plus qu'on ne lui demande. On interprte alors les solutions dites trangres et qui sont celles du problme largi, gnralis. Le calcul ne tient nul compte de nos restrictions. Les extensions successives que l'on fait subir aux oprations et aux dfinitions mathmatiques doivent tre soumises au principe de la _permanence des rgles de calcul_. HANKEL. Les _formules_ sont un secours admirable pour l'esprit, elles le dispensent de toute attention pnible, il n'a qu' les suivre: elles ne le dirigent pas seulement, elles le portent. Il n'a besoin que de l'attention ncessaire pour ne pas manquer la formule et ses rgles et cette attention est presque matrielle: elle est des yeux plutt que de l'esprit. Les formules, en un mot, sont des espces de machines avec lesquelles on opre presque machinalement. CONDORCET. ------ Il faut pouvoir, au besoin, raisonner directement chaque cas particulier. On dit que l'_analyse_ mathmatique est un instrument. Cette comparaison peut tre admise, pourvu qu'on admette que cet instrument, comme le Prote de la fable, doit sans cesse changer de forme. ARAGO. L'emploi du calcul est comparable celui d'un instrument dont on connat exactement la prcision. J. FOURIER. Dans les oprations on peut distinguer le signe indiquant l'opration, le nombre, c'est--dire le sujet sur lequel on opre, et le rsultat obtenu. On peut faire abstraction des deux dernires choses, qui paraissent pourtant les plus importantes, et ne raisonner que sur les _signes indicateurs_. On a alors des thormes, de nature philosophique, qui constituent le _calcul des oprations_. Exemple: _[[mV][nV]] = [[nV][mV]] = [mnV]_ Les formules d'algbre, dans leur troite enceinte, contiennent toute la courbe dont elles sont la loi. TAINE. L'Algbre est une langue bien faite, et c'est la seule. L'analogie, qui n'chappe jamais, conduit insensiblement d'expression en expression... La simplicit du style en fait toute l'lgance. CONDILLAC. Parmi les mathmaticiens, les uns ont une prdilection exclusive pour les symboles les plus gnraux et les plus abstraits et ils vitent les interprtations gomtriques, comme imparfaites et limites; les autres, au contraire, ne jugent claires, que celles des conceptions analytiques qui sont susceptibles d'une traduction concrte. Il faut avouer que ces derniers se font une ide bien troite de la science de l'ordre. L'algbre est la plus gnrale des sciences mathmatiques, puisqu'elle tudie non pas _telle ou telle_ quantit, mais _la_ quantit. La gomtrie n'est qu'une science mathmatique particulire, puisque son objet, l'tendue, n'est qu'une sorte de quantit. L'algbre est la fois un art et une science: une science parce qu'elle se compose d'un ensemble de vrits; et un art, parce qu'elle fournit un grand nombre de rgles infaillibles pour rsoudre un grand nombre de difficults. Arriv ce point, Descartes fut naturellement amen penser que toute question de gomtrie pouvait se ramener une question d'algbre, et il conjectura justement qu' cause du caractre mthodique de l'algbre une telle substitution serait toujours ou du moins presque toujours avantageuse. Telles furent les vues la fois trs leves et trs simples qui firent concevoir Descartes le dessein d'appliquer l'algbre la gomtrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les sciences mathmatiques ne furent plus un assemblage de spculations isoles; elles formrent un corps dans lequel les parties furent dans une dpendance mutuelle et facile saisir. T. V. CHARPENTIER. En gomtrie, comme en algbre, la plupart des ides diffrentes ne sont que des transformations; les plus lumineuses et les plus fcondes sont pour nous celles qui font le mieux image et que l'esprit combine avec le plus de facilit dans le discours et dans le calcul. ------ Le calcul n'est qu'un instrument qui ne produit rien par lui-mme, et qui ne rend en quelque sorte que les ides qu'on lui confie. Si nous n'avons que des ides imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la question que d'un point de vue born, ni l'analyse, ni le calcul ne lui apporteront plus de lumire, et ne donneront nos rsultats plus de justesse ou plus d'tendue: au contraire, on peut dire que cet art de raliser en quelque sorte par le calcul de vagues conceptions n'est propre qu' rendre l'erreur plus durable, en lui donnant pour ainsi dire une consistance. ------ Sitt qu'un auteur ingnieux a su parvenir directement et simplement quelque vrit nouvelle, n'est-il pas craindre que le calculateur le plus strile ne s'empresse d'aller la chercher dans ses formules comme pour la dcouvrir une seconde fois et sa manire, qu'il dit tre la bonne et la vritable; de sorte qu'on ne s'en croit plus redevable qu' son analyse, et que l'auteur lui-mme, quelquefois peu exerc ce langage et ce symbole, sous lesquels on lui drobe ses ides, ose peine rclamer ce qui lui appartient et se retire presque confus, comme s'il avait mal invent ce qu'il a si bien dcouvert. POINSOT. Les ressources puissantes que la Gomtrie a acquises depuis une trentaine d'annes sont comparables, sous plusieurs rapports, aux mthodes analytiques, avec lesquelles cette science peut rivaliser dsormais, sans dsavantage, dans un ordre trs tendu de questions... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... Htons-nous de dire, cependant, pour viter toute interprtation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux mthodes qui se partagent le domaine des sciences mathmatiques, que notre admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallle sur tous les points, la mthode gomtrique. Mais, convaincu qu'on ne saurait avoir trop de moyens d'investigation dans la recherche des vrits mathmatiques, qui toutes peuvent devenir galement faciles et intuitives quand on a trouv et suivi la voie troite qui leur est propre et naturelle, nous avons pens qu'il ne pouvait tre qu'utile de montrer... que les doctrines de la pure Gomtrie offrent souvent, et dans une foule de questions, cette voie simple et nouvelle qui, pntrant jusqu' l'origine des vrits, met nu la chane mystrieuse qui les unit entre elles et les fait connatre individuellement de la manire la plus lumineuse et la plus complte. ------ Cette troisime branche de la Gomtrie, qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons la _Gomtrie rcente_, est exempte de calculs algbriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations numriques des figures que de leurs relations de situation; mais elle ne considre que des rapports de distance rectiligne, d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles, ni les oprations de l'Algbre. Cette Gomtrie est la continuation de l'_Analyse gomtrique_ des Anciens, sur laquelle elle offre d'immenses avantages par la gnralit, l'uniformit et l'abstraction de ses mthodes. ------ La mthode par le calcul a le merveilleux privilge de ngliger les propositions intermdiaires dont la mthode gomtrique a toujours besoin, et qu'il faut crer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage si beau et si prcieux de l'Analyse a son ct faible, comme toutes les conceptions humaines: c'est que cette marche pntrante et rapide n'claire pas toujours suffisamment l'esprit; elle laisse ignorer les vrits intermdiaires qui rattachent le point de dpart la vrit trouve, et qui doivent former avec l'un et l'autre, un ensemble complet et une vritable thorie. Car, est-ce assez dans l'tude philosophique et approfondie d'une science, de savoir qu'une chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et quelle place elle occupe dans l'ordre des vrits auquel elle appartient? CHASLES. Il est certain que l'analyse de situation est une chose qui manque l'algbre ordinaire: c'est ce dfaut qui fait qu'un problme parat souvent avoir plus de solutions qu'il n'en doit avoir dans les circonstances o on le considre. Il est vrai que cette abondance de l'algbre, qui donne ce qu'on ne lui demande pas, est admirable plusieurs gards; mais aussi elle fait souvent qu'un problme qui n'a rellement qu'une solution, en prenant son nonc la rigueur, se trouve renferm dans une quation de plusieurs dimensions et, par l, ne peut en quelque manire tre rsolu. Il serait fort souhaiter que l'on trouvt moyen de faire entrer la situation dans le calcul des problmes. D'ALEMBERT. La gomtrie et l'algbre ont entre elles des relations ncessaires sur lesquelles il importe d'tre fix. Faut-il riger en principe les vues de Pythagore sur les nombres, puis essayer d'y rattacher les vues gomtriques? Faut-il, au contraire, suivre la voie trace par Descartes et dduire les lments de l'algbre des premires donnes de la gomtrie pure? De ces deux mthodes, la seconde semble tre la plus rationnelle. En effet, si peu qu'elle interroge l'exprience, la Gomtrie n'en est pas moins une science d'observation. Elle considre les corps, leurs parois, leurs artes afin d'en abstraire les solides, les surfaces et les lignes; puis elle commence par tudier ces figures et finit par les mesurer pour en faciliter la comparaison. Descartes est donc autoris par l mme fonder l'Algbre sur la considration des droites et des oprations qu'elles comportent. Mais, ce qui fait surtout le mrite de sa mthode, c'est qu'elle se guide uniquement sur les allures de la grandeur continue pour en conclure toutes les proprits du nombre et les lois qui le rgissent; tandis qu'en suivant la loi contraire, on est bien vite rduit ne raisonner que sur de purs symboles. MOUCHOT. LES NOMBRES, LES SYMBOLES ET LES FONCTIONS L'apparition d'un nombre suppose l'existence d'une grandeur mathmatique soumise une opration simple qu'on nomme sa mesure. S'il n'y avait pas de grandeurs mathmatiques, il n'y aurait pas de nombres, tandis que les grandeurs mathmatiques existent, mme pour celui qui n'a pas l'ide de nombre. L'emploi des nombres tire principalement son utilit de ce que ceux-ci ne conservent pas la trace des grandeurs qui leur ont donn naissance; d'o il rsulte que les combinaisons qu'on peut en faire, et les consquences qu'on tire de leurs combinaisons, ont un certain degr de gnralit, qui permet de les appliquer toutes les espces de grandeurs et que ne sauraient avoir les oprations effectues directement sur les grandeurs mmes. J. F. BONNEL. Aucun nombre entier lev au carr ne donne 2, et l'on dmontre qu'aucun nombre fractionnaire ne le donne non plus. Nous rsignerons-nous conclure que 2 n'a pas de racine carre? Si nous nous bornons dire que [[V]2] est _incommensurable_, nous n'en donnerons pas une dfinition. Dirons-nous que [[V]2] est le nombre qui multipli par lui-mme produit 2? Ce serait faire un cercle vicieux, puisque pour comprendre la multiplication par [[V]2], il faut avoir pralablement dfini [[V]2]. Nous dfinissons d'abord la racine carre de 2 un dixime prs, le plus grand nombre de diximes dont le carr est contenu dans 2; nous dfinissons ensuite de mme la racine carre de 2 un centime, un millime prs, etc. La racine carre de 2 est maintenant pour nous la _limite_ de ses racines carres un dixime, un centime prs, etc. Voici la dfinition rigoureuse: La racine carre d'un nombre est la limite des nombres dont les carrs ont pour limite le nombre propos. On prouve, bien entendu, que la limite existe et qu'elle est unique. Cournot a rapproch l'extension de l'ide de multiplication aux fractions et l'extension des rgles de calcul aux nombres ngatifs. Ces deux gnralisations permettent de rendre les relations entre les grandeurs, indpendantes de l'unit et du zro-origine choisis. Les nombres incommensurables donnent dj de la gnralit l'arithmtique. Le vrai passage l'algbre se fait lorsqu'apparaissent les nombres ngatifs, permettant de gnraliser davantage les rgles et les formules. Viennent ensuite les imaginaires et les autres symboles qui tendent de plus en plus la gnralisation. Les signes + et - modifient la quantit devant laquelle ils sont placs, comme l'adjectif modifie le substantif. CAUCHY. Il convient de considrer le signe-prcdant un coefficient comme soud au coefficient. Le signe-s'explique en gomtrie en rtrogradant et les solutions par-reculent l o les solutions par + avanaient. ALBERT GIRARD, 1629. l'inverse des autres sciences, l'algbre a une manire toute spciale et bien caractristique de traiter les impossibilits; si tel problme d'algbre est impossible, si telle quation est insoluble, l'algbre, au lieu de s'arrter l pour passer une autre question, accorde droit de cit ces solutions impossibles et en enrichit son domaine au lieu de les exclure. Le moyen qu'elle emploie est le _symbole_. Ds les quations du premier degr une inconnue, au lieu de diviser les quations en deux classes, suivant les valeurs des lettres qu'elles renferment, celles qui admettent une solution et celles qui n'en admettent pas, l'algbre dit que toute quation du premier degr admet une solution, cette solution pouvant tre ngative ou infinie et tant, dans ce dernier cas, _symbolique_. Dans un grand nombre d'quations du second degr, il semblerait qu'on doit tre arrt net, l'impossibilit se manifestant d'une manire pour ainsi dire absolue; l'algbre admet pourtant ces solutions comme elle a dj fait pour le premier degr, et, toujours l'aide de symboles, elle donne droit de cit aux incommensurables et aux imaginaires. DE CAMPOU. Convenons de reprsenter l'aide du symbole (1) _ai + bj + c = a'i + b'j + c'_ la triple galit _a = a', b = b', c = c',_ sans attacher aux lettres _i_, _j_ d'autre sens que celui de sparation. Les signes _i_, _j_, qui pourraient tre en plus grand nombre, ont reu de Cauchy le nom de _clefs_. Les formules telles que (1) portent le nom d'_galits symboliques_, et l'on dit, pour abrger le langage, que _a_ et _a'_ sont les coefficients de _i_ et que _b_ et _b'_ sont les coefficients de _j_. L'ensemble des quantits qui forment le premier membre de la formule (1) s'appelle une _quantit imaginaire_. Ainsi, pour nous, une quantit imaginaire se compose de l'ensemble de plusieurs nombres qui, dans un calcul ultrieur, doivent tre respectivement gals des nombres donns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les clefs tendent s'introduire tous les jours davantage dans l'analyse; leur emploi donne beaucoup d'lgance et de simplicit au calcul. De toutes les clefs, celle qui a t le mieux tudie, celle qui est le plus anciennement connue, est celle que l'on est convenu de reprsenter par le symbole [[V]-1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hamilton est le crateur d'un systme d'imaginaires auxquelles il a donn le nom de _quaternions_; ces imaginaires contiennent trois clefs; elles sont par consquent de la forme _ai + bj + ck + d._ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autrefois, les quantits imaginaires avaient en elles quelque chose de fantastique: elles ne reprsentaient rien, elles servaient d'instrument dans les recherches; mais la suite d'une dcouverte due l'emploi des imaginaires, les gomtres amis de la rigueur rclamaient une confirmation du rsultat obtenu, par d'autres voies: c'est ce qui a valu leur nom ce genre de quantits. H. LAURENT. Je montre au dbut ce qui constitue vraiment la ligne de sparation de l'arithmtique et de l'algbre. Tant que les grandeurs ne sont considres que dans leurs _modules_, c'est--dire dans leurs rapports abstraits avec l'unit choisie, on fait de l'arithmtique ou de l'arithmologie. On tablit les rgles de calcul sur les modules ou sur les nombres; on tudie les proprits diverses des nombres entiers auxquels tous les autres se ramnent. Quand, la considration du module, on joint celle de la direction et que l'on reprsente les grandeurs directives par un symbole complexe qui donne la fois le module et l'_argument_, c'est--dire un signe marquant nettement le sens de la grandeur, on fait de l'algbre. Les grandeurs directives que l'on tudie dans les diverses branches des sciences peuvent tre classes en plusieurs groupes: 1 Les unes, et c'est le plus grand nombre, ne sont susceptibles que de deux sens opposs l'un l'autre... On pourrait les dsigner sous le nom de grandeurs _diodes_... 2 D'autres grandeurs, qu'on pourrait nommer _polyodes_, peuvent avoir toute direction, soit sur un plan, soit dans l'espace... ... On les reprsente par des droites de longueurs dtermines suivant leurs modules, portes dans certaines directions, partir d'un point-origine. Il faut distinguer particulirement les grandeurs _polyodes planes_... Ces grandeurs polyodes planes comprennent videmment les grandeurs diodes, comme cas particulier. 3 Les grandeurs absolues, dans l'tude desquelles l'ide de direction n'intervient pas, peuvent aussi tre regardes comme un cas particulier des grandeurs polyodes planes, car on peut toujours reprsenter leur module par la longueur d'une droite et porter ce module dans une mme direction, sur un axe indfini, partir d'une origine fixe. Les grandeurs absolues ainsi reprsentes pourraient tre appeles _monodes_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'algbre, comme nous l'entendons, a pour but de donner les rgles de calcul des grandeurs polyodes planes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les considrations un peu nouvelles que j'ai dveloppes... renferment implicitement les rgles du calcul des _quipollences_ de M. Bellavitis. Les ides philosophiques qui m'ont guid... me conduisaient naturellement la considration des symboles propres reprsenter les grandeurs polyodes de l'espace, c'est--dire aux _quaternions_ d'Hamilton. J. BOURGET. Ce n'est plus l'algbre qui est responsable de cette manifestation de rsultats impossibles, c'est nous-mmes qui y donnons lieu par l'introduction de certaines contradictions dans nos demandes. Cette circonstance dans laquelle l'esprit du calculateur intervient comme partie au dbat, nous parat mriter une attention toute particulire. Il est intressant d'tudier comment, dans ce cas, la raction de l'algbre cherche se mettre en quilibre avec l'action gare de notre intelligence; comment elle se maintient dans le vrai alors que nous voudrions l'entraner dans le faux, comment du moins elle refuse de nous suivre dans cette voie, et par quels moyens, toujours logique et toujours utile, tout en nous disant que nous l'avons frappe d'impuissance, elle nous indique en quoi consiste l'erreur que nous n'avions pas mme souponne. VALLS. Les difficults relatives plusieurs symboles singuliers auxquels conduisent les calculs algbriques et notamment aux expressions dites _imaginaires_, ont t, ce me semble, beaucoup exagres par suite des considrations purement mtaphysiques qu'on s'est efforc d'y introduire, au lieu d'envisager ces rsultats anormaux sous leur vrai point de vue, comme de simples faits analytiques. En les considrant ainsi, il est ais de reconnatre, en thse gnrale, que l'esprit de l'analyse mathmatique consistant considrer les grandeurs sous le seul point de vue de leurs relations, et indpendamment de toute ide de valeur dtermine, il en rsulte ncessairement pour les analystes, l'obligation constante d'admettre indiffremment toutes les sortes d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons algbriques. S'ils voulaient s'en interdire une seule raison de sa singularit apparente, comme elle est toujours susceptible de se prsenter d'aprs certaines suppositions particulires sur les valeurs des quantits considres, ils seraient contraints d'altrer la gnralit de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans chaque raisonnement, une suite de distinctions vraiment trangres, ils feraient perdre l'analyse mathmatique son principal avantage caractristique, la simplicit et l'uniformit des ides qu'elle combine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativement aux quantits _ngatives_ qui ont donn lieu tant de discussions dplaces... il faut distinguer, en considrant toujours le simple fait analytique, entre leur signification abstraite et leur interprtation concrte qu'on a presque toujours confondues jusqu' prsent. Sous le premier rapport, la thorie des quantits ngatives peut tre tablie d'une manire complte par une seule vue algbrique. Quant la ncessit d'admettre ce genre de rsultats, concurremment avec tout autre, elle drive de la considration gnrale que je viens de prsenter: et quant leur emploi comme artifice analytique pour rendre les formules plus tendues, ce mcanisme de calcul ne peut rellement donner lieu aucune difficult srieuse. Ainsi, on peut envisager la thorie abstraite des quantits ngatives comme ne laissant rien d'essentiel dsirer, mais il n'en est nullement de mme pour leur thorie concrte. AUG. COMTE. Partons de l'chelle des nombres entiers; entre deux chelons conscutifs intercalons un ou plusieurs chelons intermdiaires, puis entre ces chelons nouveaux d'autres encore et ainsi de suite indfiniment. Nous aurons ainsi un nombre illimit de termes, ce seront les nombres que l'on appelle fractionnaires, rationnels ou commensurables. Mais ce n'est pas assez encore; entre ces termes qui sont pourtant dj en nombre infini, il faut encore en intercaler d'autres, que l'on appelle irrationnels ou incommensurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On dira peut-tre que les mathmaticiens qui se contentent de cette dfinition (du continu mathmatique) sont dupes de mots, qu'il faudrait dire d'une faon prcise ce que sont chacun de ces chelons intermdiaires, expliquer comment il faut les intercaler et dmontrer qu'il est possible de le faire. Mais ce serait tort; la seule proprit de ces chelons qui intervienne dans leurs raisonnements, c'est celle de se trouver avant ou aprs tels chelons... H. POINCAR. Dans une mme question, on a souvent considrer deux sortes de grandeurs, les constantes et les variables. Une _constante_ possde une valeur fixe et dtermine; une _variable_ peut recevoir successivement diverses valeurs. Une quantit est dite _fonction_ d'une autre quantit, lorsqu'elle varie avec elle et qu'elle acquiert une ou plusieurs valeurs dtermines pour chaque valeur attribue _la variable_. La science, en tant qu'elle n'envisage que les lments isols de l'objet, peut tre nomme _statique_; en tant qu'elle compare les lments et cherche comment les variations des uns dterminent les variations des autres, elle est _dynamique_, car elle reprsente alors le mouvement mme des choses et les suit dans leur dveloppement. Cette distinction fondamentale permet de classer les connaissances humaines en deux catgories bien nettes et en montre aussi le point de contact: le _nombre_, ou rapport invariable, la _fonction_, ou rapport variable, rsument en deux mots les deux faces de la science. LAUGEL. On tudie, en mathmatiques, une fonction pour elle-mme. Peut-tre plus tard un phnomne mieux connu s'exprimera par cette fonction. Branger a dit: Combien de temps une pense, Vierge obscure, attend son poux! Les nombres imitent l'espace, qui est de nature si diffrente. PASCAL. LA LIMITE, L'INFINIMENT GRAND ET L'INFINIMENT PETIT On appelle _limite_ d'une grandeur variable, une grandeur fixe dont la grandeur variable se rapproche indfiniment, de faon pouvoir en diffrer aussi peu qu'on voudra, mais sans jamais l'atteindre. On appelle _infiniment petit_ une quantit variable qui a pour limite zro. Tout nombre est fini et assignable, toute ligne l'est de mme et les infinis ou infiniment petits ne signifient que des grandeurs qu'on peut prendre aussi grandes ou aussi petites que l'on voudra..... ..... On entend par infiniment petit l'tat de l'vanouissement ou du commencement d'une grandeur, conue l'imitation des grandeurs dj formes. LEIBNIZ. La notion de l'infini, dont il ne faut pas faire un mystre en Mathmatiques, se rduit ceci: Aprs chaque nombre entier, il y en a un autre. J. TANNERY. C'est l'lan de l'esprit au-del de ce que montre l'observation, au-del mme de tout ce qu'elle est capable de donner, qui seul a pu nous faire connatre la srie des nombres entiers, celle des grandeurs continues, et nous conduire par l aux ides d'infiniment petit, de point, de ligne, de surface, limites de quantits indfiniment dcroissantes ou d'tendues dont certaines dimensions diminuent jusqu' zro. Ces notions se prsentent donc nous comme des crations de l'intelligence dans sa recherche de la simplicit et de la perfection absolue pour ce qui concerne les grandeurs, comme des donnes que la vue des choses n'implique pas logiquement, c'est--dire dductivement, mais qu'elle suggre notre facult d'intuition idale, ou, si l'on veut, notre pouvoir de gnralisation. L'infiniment petit, notamment, n'est pas le zro pur, le zro considr isolment, mais bien le zro en tant que limite des dcroissements d'une grandeur, ou en tant que point de dpart d'une quantit qui nat et augmente. BOUSSINESQ. La continuit d'une grandeur est une proprit purement idale, en ce sens qu'il n'y a pas dans la nature de grandeur qui soit matriellement continue. Cette continuit n'existe que dans l'imagination du gomtre. J.-F. BONNEL. On est conduit l'ide des infiniment petits, lorsqu'on considre les variations successives d'une grandeur soumise la loi de continuit. Ainsi le temps crot par degrs moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les diffrents points d'un corps croissent aussi par des infiniment petits, car chaque point ne peut aller d'une position une autre sans traverser toutes les positions intermdiaires; et l'on ne saurait assigner aucune distance, aussi petite que l'on voudra, entre deux positions successives. Les infiniment petits ont une existence relle; ils ne sont pas seulement un moyen d'investigation imagin par les gomtres. POISSON. ------ Opinion isole et inexacte. La continuit d'une grandeur est une fiction de l'esprit; il n'y a pas dans la nature, de grandeur rigoureusement continue. Le cercle n'est que le compos d'une infinit de triangles dont le sommet est au centre et dont les bases forment la circonfrence; le cne est compos d'une infinit de pyramides, appuyes sur des triangles infiniment petits de la base circulaire et ayant leur sommet commun avec celui du cne, tandis que le cylindre de mme base et de mme hauteur est form d'un pareil nombre de petits prismes appuys sur les mmes bases et ayant mme hauteur qu'elles. KEPLER. Les quantits sont appeles _infinitsimales_ non point parce qu'on les regarde comme trs petites, ce qui est fort indiffrent, mais parce qu'on peut les considrer comme aussi petites que l'on voudra, sans qu'on soit oblig de rien changer la valeur des quantits, telles que les paramtres, les coordonnes, normales, sous-tangentes, rayons de courbure, etc., dont on cherche la relation. Il suit de l que toute quantit dite _infiniment petite_ peut se ngliger dans le courant du calcul, vis--vis de ces mmes quantits dont on cherche la relation, sans que le rsultat du calcul puisse en aucune manire s'en trouver affect. LAZ. CARNOT. Nous avons distingu les diffrentes manires dont les grandeurs mesurer, ou celles auxquelles on les ramne, pouvaient tre considres comme limites de variables d'une espce plus simple, et nous avons dit qu'elles pouvaient en gnral se rduire trois. La premire, employe dans quelques cas par Euclide et Archimde, consiste regarder les grandeurs comme limites de sries; la deuxime, due Archimde, comme limites de sommes de quantits infiniment petites; la troisime, comme limites de rapports d'infiniment petits. Les deux premires se sont prsentes propos de la mesure de la pyramide, de la parabole, de la spirale, de la sphre, des volumes des corps engendrs par la rvolution de sections coniques, etc. La troisime, due aux modernes, s'est prsente l'occasion du problme des tangentes, et s'applique beaucoup d'autres questions. DUHAMEL. C'est en cherchant dterminer les tangentes des courbes, que les gomtres sont parvenus au calcul diffrentiel, qu'on a prsent depuis sous des points de vue trs varis; mais quelle que soit l'origine qu'on lui assigne, il reposera toujours sur un _fait analytique_ antrieur toute hypothse, comme la chute des corps graves vers la surface de la terre est antrieure toutes les explications qu'on en a donnes; et ce fait est prcisment la proprit dont jouissent toutes les fonctions, d'admettre une limite dans les rapports que leurs accroissements ont avec ceux de la variable dont elles dpendent. Cette limite, diffrente pour chaque fonction, et toujours indpendante des valeurs absolues des accroissements, caractrise d'une manire qui lui est propre, la _marche_ de la fonction dans les divers tats par lesquels elle peut passer. LACROIX. Nous avons des ides nettes de la grandeur, nous voyons que les choses en gnral peuvent tre augmentes ou diminues, et l'ide d'une chose devenue plus grande ou plus petite, est une ide qui nous est prsente et aussi familire que celle de la chose mme; une chose quelconque nous tant donc prsente ou tant seulement imagine, nous voyons qu'il est possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrte, rien ne dtruit cette possibilit, on peut toujours concevoir la moiti de la plus petite chose et le double de la plus grande chose; on peut mme concevoir qu'elle peut devenir cent fois, mille fois, cent mille fois plus petite ou plus grande, et c'est cette proprit d'augmentation sans bornes en quoi consiste la vritable ide qu'on doit avoir de l'infini; cette ide nous vient de l'ide du fini; une chose finie est une chose qui a des termes, des bornes, une chose infinie n'est que cette mme chose finie laquelle nous tons ses termes et ses bornes; ainsi l'ide de l'infini n'est qu'une ide de privation et n'a point d'objet rel. Ce n'est pas ici le lieu de faire voir que l'espace, le temps, la dure, ne sont pas des infinis rels; il nous suffira de prouver qu'il n'y a point de nombre actuellement infini ou infiniment petit..... On ne doit donc considrer l'infini, soit en petit, soit en grand que comme une privation, un retranchement l'ide du fini, dont on peut se servir comme d'une supposition qui peut aider simplifier les ides, et doit gnraliser leurs rsultats dans la pratique des sciences. BUFFON. L'ide d'infini apparat ds le seuil des mathmatiques: il y a une infinit de nombres entiers; la ligne droite doit tre conue comme prolonge indfiniment. Au fond, les motifs des rpugnances manifestes contre les infiniment petits se rsument dans cette pense de Lagrange, qu'on a le grand inconvnient de considrer les quantits dans l'tat o elles cessent, pour ainsi dire, d'tre quantits, autrement dit, les infiniment petits n'existent pas. Il me parat qu'il y a l un malentendu. Veut-on parler des quantits _naturelles_, ou de l'objet de nos conceptions _rationnelles_? Si l'on entend que dans la nature il n'y a pas d'infiniment petits, c'est incontestable; tout ce qui existe est dtermin et par consquent fini. Mais ce point de vue, il n'y a pas non plus de quantit variable: une quantit, par cela seul qu'elle est, a une valeur actuelle prcise. Notre esprit seul cre la notion de variable, en rapprochant les grandeurs de quantits voisines et les regardant comme les valeurs successives d'une mme quantit. La notion de variable n'est pas plus lgitime que celle d'infiniment petit, et il faut les admettre ou les repousser toutes les deux. DE FREYCINET. MATHMATIQUES APPLIQUES Le vaste champ des mathmatiques embrasse, d'une part, les thories abstraites; de l'autre, leurs nombreuses applications. Par cette dernire face, ces sciences intressent au plus haut degr la gnralit des hommes; aussi les voit-on, toutes les poques, cherchant, suggrant, proposant sans cesse de nouveaux problmes, puiss dans l'observation des phnomnes naturels ou dans les besoins de la vie commune... ARAGO. L'tude approfondie de la nature est la source la plus fconde des dcouvertes mathmatiques. Non seulement cette tude, en offrant aux recherches un but dtermin, a l'avantage d'exclure les questions vagues et les calculs sans issue, elle est encore un moyen assur de former l'Analyse elle-mme, et d'en dcouvrir les lments qu'il nous importe le plus de connatre et que cette science doit toujours conserver: ces lments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels. J. FOURIER. La gomtrie et surtout l'algbre, sont la clef de toutes les recherches sur la grandeur. Ces sciences qui ne s'occupent que de rapports abstraits et d'ides simples, peuvent paratre infructueuses tant qu'elles ne sortent point, pour ainsi dire, du monde intellectuel; mais les mathmatiques mixtes, qui descendent la matire et qui considrent les mouvements des astres, l'augmentation des forces mouvantes,..... en un mot toutes les sciences qui dcouvrent des rapports particuliers de grandeurs sensibles, vont d'autant plus loin et plus srement, que l'art de dcouvrir des rapports en gnral est plus parfait. L'instrument universel ne peut devenir trop tendu, trop maniable, trop ais appliquer tout ce qu'on voudra. FONTENELLE. L'artillerie est mise ordinairement au nombre des branches des mathmatiques..... On y considre principalement le chemin dcrit par le projectile que lance le canon, et l'on conclut les rgles suivant lesquelles il faut diriger le canon pour que le boulet frappe un lieu donn. Or on suppose, dans cette recherche, que le projectile dcrit une parabole, ainsi que Galile l'a dmontr. Mais cela n'est pas conforme la vrit ds que le mouvement n'a pas lieu dans le vide. On est donc induit grandement en erreur par les rgles et les Tables fondes sur cette hypothse, leurs auteurs mmes l'avouent; ils rejettent l'erreur sur le compte de la thorie, et s'imaginent qu'elle n'a de valeur que lorsque la pratique la corrige. Or l'air nous parat tre un fluide trop subtil pour produire une rsistance sensible; et pourtant dans les mouvements trs rapides tels que ceux des boulets et des bombes, la rsistance de l'air est assez grande pour que les projectiles dcrivent une courbe trs diffrente de la parabole. Pour corriger cette erreur notable, pour suppler l'emploi inopportun de la parabole, il faut introduire la courbe vritable suivant laquelle le projectile se meut dans l'air. Newton parat avoir fait beaucoup d'efforts pour la dcouvrir, et cependant son extrme habilet dans l'analyse suprieure ne lui suffit pas pour rsoudre ce problme. Il laissa l'honneur de cette dcouverte au clbre Jean Bernoulli. Nous voyons par l combien doit tre vers dans les mathmatiques suprieures celui qui veut rsoudre les questions d'artillerie. EULER. Les _Mathmatiques pures_ se bornent spculer sur les grandeurs abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se dduit de notions primitives, d'axiomes, sans rien emprunter l'exprience. Ses branches sont l'arithmtique, la gomtrie et l'analyse (algbre et calcul infinitsimal). ------ La mcanique et l'astronomie forment ce qu'on appelle les _Sciences physico-mathmatiques_. Viennent ensuite les nombreuses _Applications des mathmatiques_. Nous allons rapidement numrer les principales. _Calcul des probabilits._--La thorie des probabilits a dit Laplace, n'est que le bon sens rduit en calcul: elle fait apprcier avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct. Le calcul des probabilits est utile dans toutes les sciences et aussi dans la vie sociale. _Physique mathmatique._--La physique, enfin matresse de ses principes, tend s'absorber dans les mathmatiques. On fait la thorie analytique de la chaleur, de l'lectricit, de la lumire, de l'lasticit, de l'acoustique, etc. La chimie commence suivre le bon exemple, grce la thermochimie. _Statistique et conomie politique._--Quelques lois ont t dcouvertes, il y a tendance plus de prcision dans ces utiles tudes. Cependant Cournot et Walras se sont trop presss d'appliquer l'Algbre des donnes encore un peu flottantes; on dit assez heureusement que la monnaie sert de dnominateur commun aux diverses valeurs. _Loterie; jeux._--On peut raisonner les chances de la loterie et du jeu, mais on ne corrige gure les amateurs. La Science a obtenu la suppression de la loterie d'tat, mais il nous reste d'autres loteries, les valeurs lots, etc. Quant aux jeux de combinaisons, ils se rattachent la gomtrie et l'analyse indtermine. _Arithmtique applique et commerciale._--Il faut considrer, non comme thorie, mais comme applications, les rgles de trois, d'alliage, de partage, etc., et le systme mtrique. D'autre part, la tenue des livres de commerce a une grande importance pratique. _Finances._--Intrts simples et composs; annuits; banques, tablissements de crdit et de prvoyance; assurances sur les choses et sur la vie; rentes viagres. La Bourse. Rpartition des impts; budget, etc. _Calcul mental._--Il est bon d'acqurir une certaine habilet calculer de tte, sans chiffrer hors de propos. Il y a quelques mthodes, mais c'est surtout affaire d'exercice. _Gomtrie et trigonomtrie pratiques._--Comme en arithmtique, on mle trop, en gomtrie, les applications la thorie. Instruments pour les tracs sur le papier et sur le terrain. Arpentage, lev des plans, nivellement; le cadastre; partage des terrains, etc. Les divers mesurages: mtrage, cubage; fts, troncs d'arbre, tas de pierres, etc. Application de la trigonomtrie au lev des plans. _Gomtrie descriptive._--Par la mthode des projections, on peut reprsenter rigoureusement par un trac plan les figures et les constructions dans l'espace. Application aux ombres, la perspective, la charpente, la coupe des pierres, etc. _Dessin._--Les divers dessins constituent une langue trs tendue et trs expressive. Le dessin dit gomtrique l'emporte sur les autres par sa prcision. _Les graphiques._--Une courbe, parlant aux yeux, rsume de nombreuses observations numriques. Aussi, se sert-on, dans toutes les tudes, de ces tracs commodes. Par exemple, les Guides de chemins de fer donnent bien des rsultats isols, mais les employs s'aident de graphiques pour se rendre compte des rapports entre les divers trains. _Arts mcaniques._--Il convient que l'ouvrier sache raisonner ses mesures et ses tracs, au lieu de se servir de rgles empiriques et de patrons. Ferblantiers, menuisiers, tourneurs, etc. _Les machines._--Quelle varit, quelle dlicatesse et quelle puissance, depuis les machines coudre, calculer, crire, jusqu'aux machines qui soulvent les cuirasss ou creuseront le Panama! _Constructions civiles et militaires._--C'est aux ingnieurs et aux architectes que nous devons surtout notre civilisation matrielle. Ponts et chausses, chemins de fer, canaux, construction des monuments, etc. _Gographie._--Cartes gographiques, surtout celle de l'tat-Major, que tout le monde devrait savoir lire. Topographie, godsie, etc. De nos jours, la gographie devient enfin une science. Ici, dit Drapeyron, le corps c'est la topographie, l'me c'est la gographie mathmatique. _Navigation._--Constructions navales, conduite du navire (dterminer un moment quelconque la position et la route); tables astronomiques, etc. _Chronologie, horlogerie, gnomonique._--Calendrier, comput ecclsiastique; montres, horloges, chronomtres; cadrans solaires. _Arts militaires._--Le fusil et le canon perfectionns; balistique ou questions du tir. Stratgie, dont le problme dpend d'lments si varis. Aprs trente ans de travail, le regrett M. Sonnet a publi sous le titre de _Dictionnaire des Mathmatiques appliques_, en un seul volume, le plus riche et le plus prcis des rpertoires connus sur ces matires. SYSTME MTRIQUE La rflexion et l'exprience font connatre les _conditions d'un bon ensemble de mesures_. Nous allons passer en revue les plus importantes de ces conditions et justifier ainsi l'excellence des mesures mtriques. 1 _Units parfaitement dfinies et fixes._--Les anciennes mesures de longueur se dduisaient des dimensions du corps humain (toises, coudes, mains, pouces, doigts, etc.) ou des dimensions de certains temples. Ces bases taient vagues et variables, les modles n'en taient point arrts. On a pu dire que, sous l'ancien rgime, il y avait autant d'arpents et de boisseaux que de villages. Le mtre, fraction dtermine de la circonfrence terrestre, est une longueur prcise, immuable, indpendante du temps et des nations. On retrouverait le mtre, dit Arago, quand mme des tremblements de terre, des cataclysmes pouvantables viendraient bouleverser notre plante et dtruire les talons prototypes religieusement conservs aux Archives. 2 _Units d'espces diffrentes lies entre elles._--La gomtrie ramne la mesure des surfaces et des volumes la mesure de certaines longueurs, qu'on appelle les dimensions de ces figures. Les rgles simples qu'on tablit supposent qu'on prend pour units les carrs et les cubes construits sur l'unit linaire.--On se servait de la toise carre et de la toise cube, avant de connatre le mtre carr et le mtre cube. Il y a plus, les units de poids et de monnaie drivent aussi du mtre, quoique moins directement. On pourrait, la rigueur, avec les monnaies, peser les corps et mesurer les longueurs. Nos mesures s'enchanent ainsi compltement et leur ensemble mrite le nom de _systme_. 3 _Units assez nombreuses pour chaque espce de grandeur._--Il convient de rapporter chaque grandeur particulire une unit proportionne, parce que l'esprit ne voit clairement et rapidement que les nombres ordinaires, ni trop grands, ni trop petits. De l l'utilit d'units secondaires, substitues souvent l'unit principale.--Nous avons actuellement des multiples et des sous-multiples de chaque unit; la plupart sont des instruments effectifs de mesurage; tandis que les autres ne sont pas fabriqus (huit rgles pour les longueurs, treize vases pour les capacits, vingt-quatre poids et quatorze monnaies). 4 _Units de mme nature lies simplement._--Dans l'ancien systme, l'chelle tait parfois bizarre et variable d'un genre d'unit un autre (exemple: les longueurs et les poids). De l le _calcul des nombres complexes_, assez pnible, malgr les simplifications provenant des diviseurs de douze.--Les units nouvelles procdent toutes de dix en dix, comme notre systme de numration. Les grandeurs s'expriment par suite en nombres dcimaux, aussi faciles combiner que les entiers. Les changements d'unit se traduisent par un simple dplacement de la virgule.--On comprend pourquoi le systme mtrique s'appelle aussi systme dcimal des poids et mesures. (On avait mme propos de diviser dcimalement le temps, jour de vingt heures, heure de cent minutes, etc., et le cercle en quatre cents grades de cent minutes chacun, etc.) 5 _Nomenclature expressive et ne comprenant qu'un petit nombre de mots._--Les mesures antrieures portaient des noms trs varis et n'indiquant pas les rapports, qu'il fallait retenir part. Nous n'avons maintenant que six mesures principales: le mtre, l'are, le litre, le stre, le gramme et le franc; ces six mots il suffit de joindre sept abrviations, tires du grec ou du latin, pour composer les noms des multiples et des sous-multiples. _Dca_ signifie dix, _hecto_ cent, _kilo_ mille, _myria_ dix-mille; _dci_ signifie dixime, _centi_ centime et _milli_ millime. Ds qu'on parle du dcamtre et du dcimtre, chacun se rappelle qu'il s'agit de dix mtres et du dixime du mtre.--Cependant, quelque commode que soit la nomenclature prcdente, elle n'est pas essentielle au systme mtrique, qui rside dans les choses et non dans les mots. 6 _Mesures obligatoires et soigneusement contrles._--Depuis 1840, les mesures mtriques sont dfinitivement imposes par la loi, sur tout le territoire franais, et les dnominations mmes des anciennes mesures sont prohibes. Les instruments de mesure sont conformes des modles dont les rglements prcisent la valeur, les dimensions, la forme et la substance. Sur ces mesures sont inscrits non seulement le nom de la mesure mais encore celui du fabricant responsable, et ces instruments sont soumis un contrle au dbut, puis un contrle priodique, faits par des _vrificateurs des poids et mesures_.--Notre systme justifie la qualification de systme _lgal_ des poids et mesures. 7 _Systme offrant un caractre international._--Base ne dpendant d'aucune nationalit particulire, puisqu'elle est prise dans la nature. Organisation par des savants de tous les pays qui ont sign les rapports et se sont distribu cent douze des mtres nouveaux. Mots provenant d'une langue morte, du grec ou du latin. Si la mmoire des travaux venait s'effacer, dit Laplace, si les rsultats seuls en taient conservs, ils n'offriraient rien qui pt faire connatre quelle nation en a eu l'ide, en a suivi l'excution.--L'adoption par tous les peuples des mmes mesures faciliterait grandement les relations commerciales et scientifiques. Le systme mtrique est dj adopt, entirement ou partiellement, par les pays suivants: Belgique, Hollande, Espagne, Portugal, Grce, Allemagne, Danemark, Sude, Mexique, Brsil, Rpubliques de l'Amrique du Sud, gypte, etc. Ajoutons que dans les tats anglais et dans les tats-Unis l'usage de nos mesures est facultatif. GOMTRIE DESCRIPTIVE Une figure plane peut tre reprsente sur une surface plane sans aucune altration dans les proportions de ses parties. ... Il n'en est pas de mme d'un corps trois dimensions, d'un corps ayant longueur, largeur et profondeur. Sa reprsentation sur une surface plane est invitablement altre. Des lignes qui sur le corps sont gales entres elles, peuvent tre extrmement ingales dans la reprsentation plane. Les angles forms dans l'espace par les artes ou par les diagonales du corps n'prouvent pas de moindres altrations comparatives, quand elles viennent tre figures sur un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des hommes de gnie, Desargues en tte, russirent enfin rattacher aux rgles de la gomtrie lmentaire la plupart des mthodes, des tracs en usage dans la coupe des pierres et dans la charpente. Malheureusement leurs dmonstrations taient longues, embarrasses; elles devaient toujours rester hors de la porte des simples ouvriers. quoi tenaient ces complications? Elles tenaient ce qu'on tait oblig de crer la science tout entire, l'occasion de chaque problme. Adoptez cette mthode dans telle autre branche quelconque des mathmatiques, et la plus inextricable confusion en sera aussi la consquence invitable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monge dbrouilla ce chaos. Il fit voir que les solutions graphiques de tous les problmes de la gomtrie trois dimensions se fondaient sur un trs petit nombre de principes qu'il exposa avec une merveilleuse clart. Dsormais aucune question, parmi les plus complexes, ne devait tre l'apanage exclusif des esprits d'lite; avec des instruments bien dfinis et une mthode de recherche uniforme, la gomtrie descriptive, dont Monge devint le crateur, pntra jusque dans les rangs nombreux de la classe ouvrire. ARAGO. Une branche considrable de la gomtrie, qui se recommande par des applications nombreuses, et que cultivaient par instinct plutt que mthodiquement tous les ouvriers employs aux arts de construction, a t rduite en corps de doctrine.. On sent qu'il s'agit ici de la thorie et de la pratique des oprations qui rsultent de la combinaison des lignes, des plans et des surfaces dans l'espace, et que M. Monge a fait connatre sous le nom de _gomtrie descriptive_. La coupe des pierres, la charpente, certaines parties de la fortification et de l'architecture, la perspective, la gnomonique: en un mot, toutes les parties des mathmatiques, soit pures, soit appliques, dans lesquelles on considre l'espace avec ses trois dimensions, sont du ressort de ce complment nouveau de la gomtrie lmentaire qui jusque-l s'tait arrte la mesure des aires et des volumes... Ce n'est pas qu'avant M. Monge, les gomtres n'eussent connu la mthode des projections et ne l'eussent employe la rsolution de plusieurs problmes..., mais cette thorie... n'avait pas encore cette indpendance et cet enchanement de questions qui en ont fait une vritable science... DELAMBRE. La Gomtrie descriptive donne des mthodes pour reprsenter exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d'une dfinition prcise, et pour dduire de cette reprsentation les vritables grandeurs des diverses parties du corps que l'on considre. C'est l'aide de pareils dessins faits sur des aires planes, que les tailleurs de pierre et les charpentiers parviennent donner aux matriaux solides des formes dtermines. La Gomtrie descriptive est donc aussi utile l'ouvrier qui excute un projet qu' l'ingnieur qui l'a conu. Ses principales applications sont la perspective, la thorie des ombres, la charpente, la coupe des pierres, le trac des routes dans les pays accidents, le dfilement dans l'art des fortifications, etc., etc. ROUCH. Selon la manire dont la position des sommets des angles d'un solide est dfinie, la construction de leurs projections peut tre plus ou moins facile, et la nature de l'opration doit dpendre de celle de la dfinition. Il en est prcisment de cet objet comme de l'Algbre, dans laquelle il n'y a aucun procd gnral pour mettre un problme en quations. Dans chaque cas particulier, la marche dpend de la manire dont la relation entre les quantits donnes et celles qui sont inconnues est exprime; et ce n'est que par des exemples varis que l'on peut accoutumer les commenants saisir ces relations et les crire par des quations. Il en est de mme pour la Gomtrie descriptive. C'est par des exemples nombreux et par l'usage de la rgle et du compas dans les salles d'exercice que l'on peut acqurir l'habitude des constructions, et qu'on s'accoutume au choix des mthodes les plus simples et les plus lgantes, dans chaque cas particulier. Mais aussi, de mme qu'en Analyse, lorsqu'un problme est mis en quations, il existe des procds pour traiter ces quations, et pour en dduire les valeurs de chaque inconnue; de mme aussi, dans la Gomtrie descriptive, lorsque les projections sont faites, il existe des mthodes gnrales pour construire tout ce qui rsulte de la forme et de la position respective des corps. Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Gomtrie descriptive l'Algbre; ces deux sciences ont les rapports les plus intimes. Il n'y a aucune construction de Gomtrie descriptive, qui ne puisse tre traduite en Analyse; et lorsque les questions ne comportent pas plus de trois inconnues, chaque opration analytique peut tre regarde comme l'criture d'un spectacle en Gomtrie. MONGE. MCANIQUE On connat la dclaration attribue Archimde: Donnez-moi un point d'appui et je soulverai le monde. Je ne veux pas en contester la beaut littraire, mais quand on songe au nombre de tentatives insenses dont elle a t la cause, il peut tre permis de dire que, pratiquement, elle est absolument vaine. PRIVAT-DESCHANEL. ------ Le monde, il s'agit sans doute de la terre. Comment l'homme pourrait-il prendre un point d'appui extrieur? Du reste la force d'un homme tant extrmement petite par rapport au poids du globe, le dplacement de celui-ci serait insignifiant. Le mot clbre n'exprime qu'une vue thorique. On ne gagne rien avec les instruments, d'autant que, si l'on applique une petite force un grand fardeau, il faut beaucoup de temps, et que, si on veut le transporter en trs peu de temps, il faut une grande force... Nanmoins les machines sont utiles, pour mouvoir de grands fardeaux tout d'un coup sans les diviser, parce que _l'on a souvent beaucoup de temps et peu de force_. Mais celui-l se tromperait qui voudrait abrger le temps en n'usant que d'une petite force, et montrerait qu'il n'entend pas la nature des machines ni la raison de leurs effets... Il faut conclure de tout ce discours que _l'on ne peut rien gagner en force qu'on ne le perde en temps_, et consquemment que ceux qui travaillent suppler la force et le temps tout ensemble, ne mritent nullement d'avoir du temps, puisqu'ils l'emploient si mal. GALILE. On pousse un corps avec la main, et l'on voit qu'il se meut dans une direction dfinie. premire vue, il semble qu'il n'y ait pas moyen de douter de la ralit de son mouvement ni de la direction qu'il suit. Cependant il est facile de montrer que non seulement nous pouvons avoir tort, mais que d'ordinaire nous avons tort de porter l'un ou l'autre de ces deux jugements. Voici par exemple un vaisseau que, pour plus de simplicit, nous supposerons mouill l'quateur, l'avant tourn vers l'ouest. Quand le capitaine va de l'avant l'arrire, dans quelle direction se meut-il? Vers l'est, rpondra-t-on videmment, et pour le moment cette rponse peut passer. Mais on lve l'ancre et le vaisseau vogue vers l'ouest avec une vitesse gale celle du capitaine qui marche vers l'est. Dans quelle direction se meut prsent le capitaine, quand il va de l'avant l'arrire de son navire? Nous ne pouvons plus dire: l'est, comme tout l'heure, puisque tandis qu'il va vers l'est, le vaisseau l'emporte vers l'ouest; et rciproquement nous ne pouvons pas dire: l'ouest. Par rapport l'espace ambiant il ne bouge pas, quoiqu'il paraisse se mouvoir pour tout ce qui est bord. Mais sommes-nous tout fait srs de cette conclusion? Le capitaine est-il rellement toujours au mme point? Quand nous tenons compte du mouvement de la terre autour de son axe nous voyons que loin d'tre stationnaire, le capitaine voyage vers l'est raison de 1000 milles par heure; de sorte que la perception de celui qui le regarde, pas plus que celle de celui qui tient compte du mouvement du vaisseau, ne se rapproche de la vrit. De plus, un examen plus attentif nous fera voir que cette conclusion corrige ne vaut pas mieux que les autres. En effet, nous avons oubli le mouvement de la terre dans son orbite. Comme il est de 68000 milles par heure, il s'en suit qu'en supposant qu'il soit midi, le capitaine se meut non pas raison de 1000 milles l'heure vers l'est, mais raison de 67000 milles vers l'ouest. Et pourtant nous n'avons pas encore trouv le vrai sens et la vraie vitesse de son mouvement. Au mouvement de la terre dans son orbite il faut joindre celui du systme solaire tout entier vers la constellation d'Hercule, et si nous le faisons, nous voyons que le capitaine ne va ni vers l'est ni vers l'ouest, mais qu'il suit une ligne incline sur le plan de l'cliptique, et qu'il va avec une vitesse plus grande ou moindre (suivant l'poque de l'anne) que celle que nous avons donne. cela, il faut encore ajouter que si les arrangements dynamiques de notre systme sidral nous taient compltement connus, nous dcouvririons probablement que la direction et la vitesse du mouvement rel diffrent encore considrablement des rsultats obtenus. HERBERT SPENCER. ------ Nous n'observons que des mouvements relatifs. Lorsque nous croyons marcher en ligne droite dans notre chambre, notre trajectoire dans l'espace est en ralit une ligne courbe complique. En effet, la terre se dplace rapidement dans l'espace, en emportant nos maisons. Si on est fortement pench d'un ct, le corps se porte de l'autre pour faire le contrepoids, et se balance lui-mme en diverses manires, pour prvenir une chute, ou pour la rendre moins incommode. Par la mme raison, si l'on porte un grand poids d'un des cts, on se sert de l'autre contre-peser. Une femme qui porte un seau d'eau pendu la droite tend le bras gauche et se penche de ce ct-l. Celui qui porte sur le dos se penche en avant; et, au contraire, quand on porte sur la tte, le corps se tient naturellement droit. Enfin, il ne manque jamais de se situer de la manire la plus convenable pour se soutenir; en sorte que les parties ont toujours un mme centre de gravit, qu'on prend au juste, comme si l'on savait la Mcanique. BOSSUET. Je me suis propos de rduire la thorie de cette Science (la Mcanique), et l'art de rsoudre les problmes qui s'y rapportent, des formules gnrales, dont le simple dveloppement donne toutes les quations ncessaires pour la solution de chaque problme. On ne trouve point de figure dans cet Ouvrage (_Mcanique analytique_). Les mthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements gomtriques ou mcaniques, mais seulement des oprations algbriques, assujetties une marche rgulire et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mcanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gr d'en avoir tendu ainsi le domaine. LAGRANGE. Dans la mcanique, le calcul diffrentiel est le passage de l'effet la cause, de l'espace parcouru dans un temps donn la vitesse acquise et de cette vitesse la force acclratrice. Inversement, le calcul intgral est le passage de la cause l'effet, de la force la vitesse qu'elle produit, et de cette vitesse l'espace parcouru en vertu de cette vitesse elle-mme. E. JACQUIER. ASTRONOMIE J'ai pens, puisque d'autres avant moi ont os imaginer une foule de cercles pour dmontrer les phnomnes astronomiques, que je pourrais me permettre aussi d'essayer si, en supposant la Terre immobile, on ne parviendrait pas trouver, sur la rvolution des corps clestes, des dmonstrations plus solides que celles qui ont t mises en avant. Aprs de longues recherches, je me suis enfin convaincu: que le Soleil est une toile fixe, entoure de plantes qui tournent autour d'elle, et dont elle est le centre et le flambeau; qu'outre les plantes principales, il en est d'autres de second ordre, qui circulent d'abord comme satellites autour de leurs plantes principales, et avec celles-ci autour du Soleil; que la Terre est une plante principale, assujettie un triple mouvement; et que tous les phnomnes du mouvement diurne et annuel, le retour priodique des saisons, toutes les vicissitudes de la lumire et de la chaleur de l'atmosphre qui les accompagnent sont des rsultats de la rotation de la Terre autour de son axe et de son mouvement priodique autour du Soleil. COPERNIC. Quand Newton mit au jour cette grande pense (l'attraction universelle) appuye sur une gomtrie neuve et sublime, l'astronomie changea de face, et les cieux parurent raconter pour la premire fois la gloire de leur Auteur: cependant, la thorie n'avait pas rempli toute sa tche, il s'en fallait bien; des phnomnes importants lui chappaient; d'tonnantes exceptions, des dsordres inexplicables la troublaient; la loi mal assure semblait quelquefois se dconcerter et se contredire. Un sicle s'tait coul depuis la publication des _Principes mathmatiques de la philosophie naturelle_, et, dans ce sicle, plusieurs gnrations de grands gomtres, d'observateurs infatigables, avaient runi leurs efforts gigantesques contre les difficults, et ils n'avaient pu les vaincre toutes. Il y avait encore, il n'y a pas trente ans, des scandales dans le ciel; il y avait des plantes rfractaires aux tables des astronomes. Bien plus, en promulguant la loi de gravitation, Newton avait dout qu'elle ft capable de porter ce poids du monde qu'il lui imposait; il avait pens qu'elle vieillirait comme les lois humaines, et qu'un jour viendrait, il l'a crit, o il faudrait que la main du Crateur s'tendt _pour remettre les choses en place_. Newton se trompait, Messieurs. Non, _pour remettre le systme en ordre_, il ne sera pas besoin de la main du Crateur; il suffira d'un autre Newton. M. Laplace est venu, et, par ses immenses travaux, par la puissance et les ressources de son gnie, l'astronomie rduite un problme de mcanique, ne dcouvre plus dans les cieux que l'accomplissement mathmatique de lois invariables. Jupiter et ses satellites, Saturne, la Lune sont dompts dans leurs carts; ce qui paraissait exception est la rgle mme; ce qui semblait dsordre est un ordre plus savant; partout la simplicit de la cause triomphe dans la complication infinie des effets. Enfin, et c'est le comble de la gloire de M. Laplace, il lui a t rserv d'absoudre la loi de l'univers, c'est--dire la sagesse divine, de ces reproches d'imprvoyance ou d'impuissance o le gnie de Newton tait tomb; le premier, il a dmontr que le systme solaire reoit, dans les conditions qui lui sont imposes, le gage de son imperturbable dure. ROYER-COLLARD. L'astronomie, considre de la manire la plus gnrale, est un grand problme de mcanique...; sa solution dpend la fois de l'exactitude des observations et de la perfection de l'analyse, et il importe extrmement d'en bannir tout empirisme, et de la rduire n'emprunter de l'observation que les donnes indispensables. LAPLACE. La plus magnifique confirmation qu'aient reue les thories astronomiques a t la dcouverte de la plante Neptune par Leverrier en 1846. Les observations prolonges de la plante Uranus avaient montr un dsaccord constant entre le calcul et les faits. Cette plante pas plus qu'une autre ne dcrit exactement l'ellipse de Kepler; elle prouve des perturbations de la part des autres astres du systme solaire. Mais on avait beau tenir compte de toutes celles qui pouvaient tre produites par les plantes connues, on n'arrivait pas faire disparatre ce dsaccord et pouvoir construire des tables suffisamment exactes; il subsistait constamment des diffrences sensibles et inexpliques. On en vint penser que la cause de ces diffrences rsidait probablement dans l'existence d'une plante encore inconnue. Ce fut Leverrier qui eut la gloire de transformer cette supposition en certitude. Renversant le problme ordinaire du calcul des perturbations, il parvint dterminer la masse et l'orbite de la plante inconnue, d'aprs les effets qu'elle produisait sur Uranus; il alla jusqu' pouvoir assigner la place qu'elle devait occuper dans le ciel une date qu'il dsigna. Il suffit M. Galle, de Berlin, de diriger une lunette vers cette place pour apercevoir tout prs de l un astre, invisible l'oeil nu, qui n'tait marqu sur aucune carte du ciel: les observations des jours suivants montrrent qu'il se dplaait parmi les toiles; c'tait donc bien une plante. GUIRAUDET. En rflchissant au mouvement diurne auquel tous les corps clestes sont assujettis, on reconnat videmment l'existence d'une cause gnrale qui les entrane ou qui parat les entraner autour de l'axe du monde. Si l'on considre que ces corps sont isols entre eux, et placs loin de la terre, des distances trs diffrentes; que le soleil et les toiles en sont beaucoup plus loigns que la lune, et que les variations des diamtres apparents des plantes indiquent de grands changements dans leurs distances; enfin que les comtes traversent librement le ciel dans tous les sens; il sera trs facile de concevoir qu'une mme cause imprime tous ces corps un mouvement commun de rotation. Mais les astres se prsentent nous de la mme manire, soit que le ciel les entrane autour de la terre suppose immobile, soit que la terre tourne en sens contraire, sur elle-mme; il parat beaucoup plus naturel d'admettre ce dernier mouvement et de regarder celui du ciel comme une apparence. La terre est un globe dont le rayon n'est pas de sept millions de mtres: le soleil est, comme on l'a vu, incomparablement plus gros. Si son centre concidait avec celui de la terre, son volume embrasserait l'orbe de la lune, et s'tendrait une fois plus loin, d'o l'on peut juger de son immense grandeur: il est d'ailleurs loign de nous d'environ vingt-trois mille rayons terrestres. N'est-il pas infiniment plus simple de supposer au globe que nous habitons un mouvement de rotation sur lui-mme, que d'imaginer, dans une masse aussi considrable et aussi distante que le soleil, le mouvement extrmement rapide qui lui serait ncessaire pour tourner, en un jour, autour de la terre? Quelle force immense ne faudrait-il pas alors pour le contenir et balancer sa force centrifuge? Chaque astre prsente des difficults semblables qui sont toutes leves par la rotation de la terre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entrans par un mouvement commun tout ce qui nous environne, nous ressemblons au navigateur que les vents emportent avec son vaisseau sur les mers. Il se croit immobile; et le rivage, les montagnes et tous les objets placs hors du vaisseau, lui paraissent se mouvoir. Mais en comparant l'tendue du rivage et des plaines, et la hauteur des montagnes la petitesse de son vaisseau, il reconnat que leur mouvement n'est qu'une apparence produite par son mouvement rel. Les astres nombreux rpandus dans l'espace cleste, sont, notre gard, ce que le rivage et les montagnes sont par rapport au navigateur; et les mmes raisons par lesquelles il s'assure de la ralit de son mouvement nous prouvent celui de la terre. LAPLACE. Pendant des sicles on a fait de la Terre le centre du monde, en obligeant les plantes, le soleil et jusqu'aux toiles tourner autour d'elle. Copernic est survenu et ds lors la Terre a pris une place des plus modestes dans le cortge des plantes que gouverne le soleil. Voici maintenant que le soleil son tour n'est plus qu'une des innombrables toiles de la Voie lacte.... F. TISSERAND. Toutes nos notions, en fait de distances clestes ou terrestres, reposent, en dernire analyse, sur quelques bases mesures et l, principalement par des Franais. FAYE. PROBABILITS Il y a des jeux o dix personnes mettant chacune un cu, il n'y en a qu'une qui gagne le tout et toutes les autres perdent: ainsi chacun des joueurs n'est au hasard que de perdre un cu, et pour en gagner neuf. Si l'on ne considrait que la perte et le gain en soi, il semblerait que tous y ont de l'avantage; mais il faut de plus considrer que si chacun peut gagner neuf cus, et n'est au hasard que d'en perdre un, il est aussi neuf fois plus probable, l'gard de chacun, qu'il perdra son cu et ne gagnera pas les neuf. Ainsi, chacun a pour soi neuf cus esprer, un cu perdre, neuf degrs de probabilit de perdre un cu et un seul de gagner les neuf cus: ce qui met la chose dans une parfaite galit. Tous les jeux qui sont de cette sorte sont quitables, autant que les jeux peuvent l'tre, et ceux qui sont hors de cette proportion sont manifestement injustes; et c'est par l qu'on peut faire voir qu'il y a une injustice vidente dans ces espces de jeux qu'on appelle loteries, parce que le matre de loterie prenant d'ordinaire sur le tout une dixime partie pour son prciput, tout le corps des joueurs est dup de la mme manire que si un homme jouait un jeu gal, c'est--dire o il y a autant d'apparence de gain que de perte, dix pistoles contre neuf. Or si cela est dsavantageux tout le corps, cela l'est aussi chacun de ceux qui le composent, puisqu'il arrive de l que la probabilit de la perte surpasse plus la probabilit du gain que l'avantage qu'on espre ne surpasse le dsavantage auquel on s'expose, qui est de perdre ce qu'on y met. Logique de Port-Royal. Pesons le gain et la perte, en prenant croix, que Dieu est. Estimons ces deux cas: si vous gagnez, vous gagnez tout; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hsiter. --Cela est admirable: oui, il faut gager; mais je gage peut-tre trop. --Voyons. Puisqu'il y a pareil hasard de gain et de perte, si vous n'aviez qu' gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager. Mais s'il y en avait trois gagner, il faudrait jouer (puisque vous tes dans la ncessit de jouer) et vous seriez imprudent, lorsque vous tes forc jouer, de ne pas hasarder votre vie pour en gagner trois un jeu o il y a pareil hasard de perte et de gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mais il y a ici une infinit de vies infiniment heureuses gagner, un hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que vous jouez est fini. Cela est tout parti: partout o est l'infini et o il n'y a pas une infinit de hasards de perte contre celui de gain, il n'y a point balancer, il faut tout donner; et ainsi, quand on est forc jouer, il faut renoncer la raison, pour garder la vie plutt que de la hasarder pour le gain infini aussi prt arriver que la perte du nant. Car il ne sert de rien de dire qu'il est incertain si l'on gagnera, et qu'il est certain qu'on hasarde, et que l'infinie distance qui est entre la _certitude_ de ce qu'on s'expose et l'_incertitude_ de ce qu'on gagnera gale le bien fini qu'on expose certainement l'infini qui est incertain. Cela n'est pas ainsi: tout joueur hasarde avec certitude pour gagner avec incertitude; et nanmoins il hasarde certainement le fini pour gagner incertainement le fini, sans pcher contre la raison. Il n'y a pas infinit de distance entre cette certitude de ce qu'on s'expose et l'incertitude du gain; cela est faux. Il y a, la vrit, infinit de distance entre la certitude de gagner et la certitude de perdre. Mais l'incertitude de gagner est proportionne la certitude de ce qu'on hasarde, selon la proportion des hasards de gain et de perte; et de l vient que s'il y a autant de hasard d'un ct que de l'autre, le parti est jouer gal contre gal; et alors la certitude de ce qu'on expose est gale l'incertitude du gain; tant s'en faut qu'elle soit infiniment distante. Et ainsi notre proposition est dans une force infinie, quand il y a le fini hasarder un jeu o il y a pareils hasards de gain que de perte, et l'infini gagner. Cela est dmonstratif; si les hommes sont capables de quelques vrits, celle-l l'est. PASCAL. ------ Nous devions citer ce morceau clbre, mais nous nous empressons d'y joindre le commentaire de M. J. Bertrand: On a cru, dans une page de Pascal, voir l'application du calcul des probabilits la dmonstration de l'existence de Dieu. C'est lui prter injustement un ridicule. Pascal, acceptant, comme hypothse, le doute sur l'existence de Dieu, doit, la logique l'exige, rencontrer le dilemme: Ou Dieu existe ou il n'existe pas. L'incrdule hsite! Chaque opinion est donc pour lui plus ou moins probable; Pascal ne tente nullement l'examen du problme pour le rduire en formule et en chiffres. Il n'associe au mot probabilit rien qui tienne l'algbre; la mesure exacte ou approche des chances reste en dehors de son argument. Puisque deux hypothses sont possibles, on pourrait tablir un pari. Il y a deux choses dans un pari: la chance de gagner et la somme hasarde. Pascal ne s'occupe que de l'enjeu. L'impie qui parie pour l'athisme, sera damn s'il perd. Rien n'est trop cher, quelles que soient les chances, pour se soustraire ce formidable risque. Ainsi des chances favorables et nombreuses tant constamment attaches l'observation des principes ternels de raison, de justice et d'humanit, qui fondent et maintiennent les socits, il y a grand avantage se conformer ces principes, et de graves inconvnients s'en carter. Que l'on consulte les histoires et sa propre exprience, on y verra tous les faits venir l'appui de ce rsultat du calcul. Considrez les heureux effets des institutions fondes sur la raison et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les tablir et les conserver. Considrez encore les avantages que la bonne foi a procurs aux gouvernements qui en ont fait la base de leur conduite, et comme ils ont t ddommags des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude tenir ses engagements leur a cots. Quel immense crdit au dedans! Quelle prpondrance au dehors! Voyez au contraire dans quel abme de malheurs, les peuples ont t souvent prcipits par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puissance enivre de l'amour des conqutes aspire la domination universelle, le sentiment de l'indpendance produit, entre les nations menaces, une coalition dont elle devient presque toujours la victime. LAPLACE. L'extrme difficult des problmes relatifs au systme du monde a forc les gomtres recourir des approximations qui laissent toujours craindre que les quantits ngliges n'aient une influence sensible. Lorsqu'ils ont t avertis de cette influence, par les observations, ils sont revenus sur leur analyse; en la rectifiant, ils ont toujours retrouv la cause des anomalies observes; ils en ont dtermin les lois, et souvent ils ont devanc l'observation, en dcouvrant des ingalits qu'elle n'avait pas encore indiques. Ainsi l'on peut dire que la nature elle-mme a concouru la perfection analytique des thories fondes sur la pesanteur universelle; et c'est, mon sens, une des plus fortes preuves de la vrit de ce principe admirable. LAPLACE. Il est bien important de tenir compte, dans chaque branche de l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont produits les divers moyens dont on a fait usage, et qui sont autant d'expriences faites en grand par les gouvernements. Appliquons aux sciences politiques et morales la mthode fonde sur l'observation et sur le calcul, mthode qui nous a si bien servi dans les sciences naturelles. N'opposons point une rsistance inutile et souvent dangereuse aux effets invitables du progrs des lumires; mais ne changeons qu'avec une circonspection extrme nos institutions et les usages auxquels nous sommes depuis si longtemps plis. Nous connaissons bien par l'exprience du pass les inconvnients qu'ils prsentent; mais nous ignorons quelle est l'tendue des maux que leur changement peut produire. Dans cette ignorance, la thorie des probabilits prescrit d'viter tout changement: surtout il faut viter tout changement brusque qui, dans l'ordre moral, comme dans l'ordre physique, ne s'opre jamais sans une grande perte de force vive. LAPLACE. La probabilit des dcisions d'une assemble dpend de la pluralit des voix, des lumires et de l'impartialit des membres qui la composent. Tant de passions et d'intrts particuliers y mlent si souvent leur influence, qu'il est impossible de soumettre au calcul cette probabilit. Il y a cependant quelques rsultats gnraux dicts par le simple bon sens, et que le calcul confirme. Si, par exemple, l'assemble est trs peu claire sur l'objet soumis sa dcision; si cet objet exige des considrations dlicates, ou si la vrit sur ce point est contraire des prjugs reus, en sorte qu'il y ait plus d'un parier contre un que chaque votant s'en cartera; alors la dcision de la majorit sera probablement mauvaise, et la crainte cet gard sera d'autant plus fonde, que l'assemble sera plus nombreuse. Il importe donc la chose publique, que les assembles n'aient se prononcer que sur des sujets la porte du plus grand nombre: il lui importe que l'instruction soit gnralement rpandue, et que de bons ouvrages fonds sur la raison et sur l'exprience clairent ceux qui sont appels dcider du sort de leurs semblables ou les gouverner, et les prmunissent d'avance contre les faux aperus et les prventions de l'ignorance. Les savants ont de frquentes occasions de remarquer que les premiers aperus trompent souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable. LAPLACE. Cependant l'induction, en faisant dcouvrir les principes gnraux des sciences, ne suffit pas pour les tablir en rigueur... Je citerai pour exemple un thorme de Fermat sur les nombres premiers. Ce grand gomtre, qui avait longuement mdit sur leur thorie, cherchait une formule qui, ne renfermant que des nombres premiers, donnt directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable. L'induction le conduisit penser que deux, lev une puissance qui tait elle-mme une puissance de deux, formait avec l'unit un nombre premier. Ainsi deux, lev au carr, plus un, forme le nombre premier cinq; deux, lev la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le nombre premier dix-sept. Il trouva que cela tait encore vrai pour la huitime et la seizime puissance de deux, augmentes de l'unit; et cette induction, appuye de plusieurs considrations arithmtiques, lui fit regarder ce rsultat comme gnral. Cependant il avoua qu'il ne l'avait pas dmontr. En effet, Euler a reconnu que cela cesse d'avoir lieu pour la trente-deuxime puissance de deux, qui, augmente de l'unit, donne 4294967297, nombre divisible par 641. LAPLACE. Le physicien Jacobi raconte que son frre, le grand mathmaticien, croyant avoir dcouvert une loi gnrale des nombres, l'essaya sur un nombre pris au hasard. Ce nombre la mit en dfaut, tandis que beaucoup d'autres nombres essays leur tour la vrifirent. Plus tard, le grand Jacobi reconnut que le nombre pris d'abord appartenait la seule catgorie de nombres formant _exception_ la loi considre. Un paradoxe singulier rend ce jeu,--le _problme de Saint-Ptersbourg_, c'est le nom qu'on lui donne,--mmorable et clbre. Pierre joue avec Paul; voici les conditions: Pierre jettera une pice de monnaie autant de fois qu'il sera ncessaire pour qu'elle montre le ct face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera un cu; si ce n'est qu'au second, deux cus; s'il faut attendre au troisime coup, il en donnera quatre, huit au quatrime, toujours en doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent tre ceux de Pierre? La science consulte par Daniel Bernoulli, donne pour rponse: une somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacr, est au-dessus de toute mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Il faut approuver absolument et simplement la rponse rpute absurde. Pierre possde, je suppose, un million d'cus et les donne Paul en change des promesses convenues. Il est fou! dira-t-on. Le placement est aventureux, mais excellent; l'avantage infini est ralisable. Qu'il joue obstinment, il perdra une partie, mille, mille millions de milliards peut-tre; qu'il ne se rebute pas, qu'il recommence un nombre de fois que la plume s'userait crire, qu'il diffre surtout le rglement des comptes, la victoire pour lui est certaine, la ruine de Paul invitable. Quel jour? quel sicle? On l'ignore; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre sera colossal. J. BERTRAND. L'application du calcul aux dcisions judiciaires est, dit Stuart Mill, le scandale des mathmatiques. L'accusation est injuste. On peut peser du cuivre et le donner pour de l'or, la balance reste sans reproche. Dans leurs travaux sur la thorie des jugements, Condorcet, Laplace et Poisson n'ont pes que du cuivre. La runion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est remplace dans leurs tudes par des urnes o l'on puise des boules blanches ou noires..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... Mais une autre objection est sans rplique: l'indpendance des tirages est suppose; les urnes, dans les calculs, chappent toute influence commune. Les juges, au contraire, s'clairent les uns les autres, les mmes faits les instruisent, les mmes sollicitations les tourmentent, la mme loquence les gare, c'est sur les mmes considrants qu'ils font reposer la vrit ou l'erreur. L'assimilation est impossible. J. BERTRAND. Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les joueurs auxquels les conditions acceptes accordent un avantage. Le fermier des jeux Monte-Carlo peut accrotre sans crainte le nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes. Lorsque le jeu est quitable, la ruine tt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le jeu enrichit l'autre; en s'exposant perdre une fortune, on a l'espoir de la doubler. Cela n'est pas douteux; mais, quand la fortune est double, le thorme s'y applique avec la mme certitude; elle peut doubler encore, centupler peut-tre, tout sera emport la fois par un caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait; la probabilit augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude. J. BERTRAND. Les philosophes, qui veulent dterminer l'avenir indfini de l'espce humaine par la seule observation du pass, sont dans une grande erreur... Ils ne s'occupent du prsent qu'aprs avoir _dcouvert_ l'avenir. C'est comme si, pour connatre les affections de la courbe des observations, on se servait du prolongement conjectural de cette courbe, qui peut n'avoir rien de commun avec ce qui rsulterait de la loi inconnue du phnomne... Rien ne serait plus dangereux que de confier la direction de la socit des chefs qui se seraient fait un type bien arrt de l'tat dfinitif de la socit et la pousseraient sans mnagement dans cette voie. DUHAMEL. ENSEIGNEMENT Nous estimons que l'tude complte de toute science devrait comprendre une priode prparatoire ou d'amorce, une priode thorique ne portant que sur les parties la fois importantes et simples et une priode complmentaire o la discussion s'aiguiserait et se gnraliserait. Les premires notions de mathmatiques doivent faire partie de l'ducation des enfants. Les chiffres et les lignes parlent plus qu'on ne croit leur imagination naissante et c'est un moyen sr de l'exercer sans l'garer. CONDORCET. La longue formation de l'humanit recommence en chaque petit enfant... Le premier calculateur n'a pas dbut par les rgles abstraites qu'on trouve dans les livres d'cole. Il est assez vident qu'il a d se trouver d'abord en prsence de problmes pratiques, dont il n'a pu se tirer qu'en tendant tous les ressorts de son intelligence pour crer la rgle, et qu'il n'a pas fait de l'art pour l'art. Faire dbuter l'enfant par la rgle abstraite, et lui poser ensuite les problmes rsoudre, c'est aller au rebours de la marche de l'esprit humain, qui en est chez lui au point o il en tait dans l'enfance de l'espce. Alors, qu'arrive-t-il? C'est que son intelligence, ainsi brusque, se refuse l'abstraction qui se prsente avant l'heure, et que sa mmoire seule entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et de pratiques dont le sens lui chappe. La vraie mthode est donc ici de le replacer dans les conditions du commencement, et de le faire assister en quelque sorte la cration de l'arithmtique. J. MAC. Nous concevons la possibilit d'un enseignement gradu de la gomtrie lmentaire, conduit, tous ses degrs, d'aprs un plan unique et invariable, toujours soumis aux rgles de la plus svre logique, et o les difficults ne se montreraient qu' mesure que les esprits seraient prpars les aborder. Pour cela, l'tude de la gomtrie devrait tre reprise divers points de vue, correspondant aux divers degrs d'initiation des lves. Pour les commenants, il s'agit avant tout de se familiariser avec les figures et leurs dnominations, d'apprendre des faits, d'entrevoir leurs applications les plus simples et les plus immdiates, celles surtout qui se rapportent aux usages de la vie ordinaire. On devra donc au dbut multiplier les axiomes, employer, au lieu de dmonstrations, les vrifications exprimentales, l'analogie, l'induction, en ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition est essentiellement provisoire. On exercera l'lve aux tracs graphiques, la solution de divers problmes de lev des plans et d'arpentage, la construction des figures en relief... Le matre saura proportionner au degr de dveloppement intellectuel de l'lve la part plus ou moins grande qu'il devra faire au raisonnement dans cette premire bauche des tudes gomtriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le premier enseignement sera donc exclusivement exprimental, et peu peu on fera voir l'lve comment toutes les vrits n'ont pas besoin d'tre sparment constates par l'exprience, et comment elles sont les consquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on restreindra de plus en plus, mesure que l'on avancera dans l'tude de la science, jusqu' ce qu'on soit arriv aux axiomes fondamentaux, dont le nombre ne peut plus tre rduit. HOEL. J'ai dit que la Gomtrie n'tait pas la porte des enfants; mais c'est notre faute. Nous ne sentons pas que leur mthode n'est point la ntre, et que ce qui devient pour nous l'art de raisonner ne doit tre pour eux que l'art de voir. Au lieu de leur donner notre mthode, nous ferions mieux de prendre la leur; car notre manire d'apprendre la gomtrie est bien autant une affaire d'imagination que de raisonnement. Quand la proposition est nonce, il faut en imaginer la dmonstration, c'est--dire trouver de quelle proposition dj sue celle-l doit tre une consquence, et, de toutes les consquences qu'on peut tirer de cette proposition, choisir prcisment celle dont il s'agit. De cette manire le raisonneur le plus exact, s'il n'est inventif, doit rester court. Aussi qu'arrive-t-il de l? Qu'au lieu de nous faire trouver les dmonstrations, on nous les dicte; qu'au lieu de nous apprendre raisonner, le matre raisonne pour nous et n'exerce que notre mmoire. Faites des figures exactes, combinez-les, posez-les l'une sur l'autre, examinez leurs rapports; vous trouvez toujours la gomtrie lmentaire en marchant d'observation en observation, sans qu'il soit question ni de dfinitions, ni de problmes, ni d'aucune autre forme dmonstrative que la simple superposition. Pour moi, je ne prtends point apprendre mile la gomtrie, c'est lui qui me l'apprendra; je chercherai des rapports et il les trouvera, car je les chercherai de manire les lui faire trouver. Par exemple, au lieu de me servir d'un compas pour tracer un cercle, je le tracerai avec une pointe au bout d'un fil tournant sur un pivot. Aprs cela, quand je voudrai comparer les rayons entre eux, mile se moquera de moi, et il me fera comprendre que le mme fil toujours tendu ne peut avoir trac des distances ingales. Si je veux mesurer un angle de soixante degrs, je dcris du sommet de cet angle, non pas un arc mais un cercle entier; car avec les enfants il ne faut jamais rien sous-entendre. Je trouve que la portion de cercle comprise entre les deux cts de l'angle est la sixime partie du cercle. Aprs cela, je dcris du mme sommet un autre plus grand cercle, et je trouve que ce second arc est encore la sixime partie de son cercle. Je dcris un troisime arc concentrique sur lequel je fais la mme preuve; et je la continue sur de nouveaux cercles, jusqu' ce qu'mile, choqu de ma stupidit, m'avertisse que chaque arc, grand ou petit, compris par le mme angle, sera toujours la sixime partie de son cercle... Nous voil tout l'heure l'usage du rapporteur. Pour prouver que les angles de suite sont gaux deux droits, on dcrit un cercle; moi, tout au contraire, je fais en sorte qu'mile remarque cela premirement dans le cercle, et puis je lui dis: si l'on tait le cercle, et qu'on laisst les lignes droites, les angles auraient-ils chang de grandeur? etc... On nglige la justesse des figures, on la suppose, et l'on s'attache la dmonstration. Entre nous, au contraire, il ne sera jamais question de dmonstration; notre plus importante affaire sera de tirer des lignes bien droites, bien justes, bien gales; de faire un carr parfait, de tracer un cercle bien rond. Pour vrifier la justesse de la figure, nous l'examinerons par toutes ses proprits sensibles; et cela nous donnera l'occasion d'en dcouvrir chaque jour de nouvelles. Nous plierons par le diamtre les deux demi-cercles; par la diagonale, les deux moitis du carr: nous comparerons nos deux figures pour voir celle dont les bords conviennent le plus exactement et par consquent la mieux faite; nous distinguerons si cette galit de partage doit avoir toujours lieu dans les paralllogrammes, dans les trapzes, etc... On essaiera quelquefois de prvoir le succs de l'exprience avant de la faire, on tchera de trouver des raisons, etc... La gomtrie n'est pour mon lve que l'art de se bien servir de la rgle et du compas... J.-J. ROUSSEAU. Il est temps d'entrer dans le vif de la question pdagogique: _Comment convient-il d'tudier une figure avec les commenants?_ Vous m'excuserez si je numrote les parties successives de la rponse.--1 Avant tout, montrez le modle matriel, faites-le circuler et manier, puis, dessinez-le au tableau et que toute la classe vous imite.--2 Faites dgager la proprit principale de la figure, celle qui servira de dfinition. Cette proprit est jointe d'autres, simples aussi, et il faudra parfois aider un peu l'enfant.--3 L'essentiel de la figure tant connu, prononcez son nom, pour la premire fois. On s'empresse autour de vous d'crire le nom sur la chose. Vous demandez des exemples familiers, etc.--4 Vous invitez un lve formuler la dfinition. Elle est un peu embarrasse, cette dfinition; vous la rectifiez et vous la dictez, pour qu'elle soit apprise par coeur. La dfinition se borne ainsi rsumer nettement ce qui est dj su.--5 Il faut ensuite connatre la figure plus en dtail. Faites deviner ou remarquer les autres proprits, sans les dmontrer, c'est--dire sans les dduire de la proprit fondamentale. Les nouvelles proprits sont seulement constates et vrifies.--6 Terminez enfin par les constructions et les problmes simples, se rattachant la figure soumise vos investigations. On peut enseigner d'abord une algbre modeste et, pour ainsi dire, prliminaire, o les rgles dcoulent d'exemples particuliers et non de raisonnements gnraux et abstraits. Voici les indications principales pour un enseignement dirig dans cet esprit. 1 _Gnraliser lentement._--Je ne saurais trop le rpter, l'esprit se refuse aux abstractions brusquement imposes. C'est graduellement qu'on passe d'une de ces ides la suivante: trois chevaux, le nombre _trois_ en gnral, un nombre quelconque reprsent par _a_ ou par _x_. 2 _Laisser de ct les nombres ngatifs, 0/0, m/0 et les imaginaires._--Ces symboles sont dlicats comprendre et il faut les rserver pour une tude approfondie de l'algbre. Composez, en consquence, des exercices et problmes ne prsentant pas d'impossibilits arithmtiques. 3 _Supprimer les discussions._--Ces examens fond des questions, de toutes leurs particularits et de toutes leurs exceptions, supposent des esprits aiguiss. Reportons-les aussi, sans hsiter, la seconde priode d'enseignement. 4 _Ds le dbut, de petits problmes rsolus l'aide de x._--Vous amorcez ainsi le nouveau sujet au moyen d'un chapitre, pour ainsi dire complmentaire de l'arithmtique. Le calcul algbrique ne vient qu'ensuite. 5 _Glisser sur la thorie du calcul algbrique._--Ce sujet est assez aride; il est, du reste, peu important pour le moment. C'est la pratique qui importe, en vitant les oprations trop longues. Insister sur le carr d'un binome et passer sous silence la division des polynomes. 6 _Raisonner directement des problmes gradus._--La mthode des quations s'accuse ainsi d'elle-mme plus clairement qu'en la formulant _a priori_. 7 _quations abstraites._--Nous pouvons maintenant passer aux quations spares des problmes concrets leur servant de supports. On n'a qu' reprendre des raisonnements dj faits, mais en les prsentant d'une faon plus gnrale. Se borner noncer les principes qui sont presque vidents. La Gomtrie est peut-tre, de toutes les parties des mathmatiques, celle que l'on doit apprendre la premire; elle me parat trs propre intresser les enfants, pourvu qu'on la leur prsente principalement par rapport ses applications, soit sur le papier, soit sur le terrain. Les oprations de _trac_ et de _mesurage_ ne manqueront pas de les occuper agrablement, et les conduiront ensuite, comme par la main, au raisonnement. ------ Les lments de Gomtrie de Clairaut, ordonns suivant la mthode des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le matre dans cette circonstance..... LACROIX. Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens les lments de la gomtrie; il voulut remonter la source, et suivre la marche de nos dcouvertes et des besoins qui les ont produites. Cette mthode parat agrable et utile; mais elle n'a pas t suivie; elle exige chez le matre une flexibilit d'esprit qui sait se proportionner, et un agrment rare dans ceux qui suivent la routine de leur profession. VOLTAIRE. Il y a deux manires d'tudier les mathmatiques et deux poques pour faire ces tudes avec des fruits divers. On peut les tudier matriellement, machinalement, en demeurant dans les faits mathmatiques, dans les mots, dans les chiffres, dans les formules d'un enseignement sans plnitude et sans lvation..... Ou bien, on peut les tudier intellectuellement, originalement, en comparant le sens et le lien des mots, des ides et des choses, en s'levant aux grandes et aux simples lumires de la science, en saisissant, pntrant, possdant rellement la vrit. DUPANLOUP. Aujourd'hui la partie philosophique de la science est trs nglige; les moyens de briller dans un examen ou concours marchent en premire ligne; sauf de rares exceptions, les professeurs songent beaucoup plus familiariser les lves avec le mcanisme du calcul qu' leur en faire sonder les principes. Je ne sais, en vrit, si l'on ne pourrait pas dire de certaines personnes qu'elles emploient l'analyse comme la plupart des manufacturiers se servent de la machine vapeur, sans se douter de son mode d'action. Et qu'on ne prtende pas que cet enseignement vicieux soit un sacrifice oblig la passion dominante de notre poque, la rage d'aller vite en toutes choses. ARAGO. Prfrez, dans l'enseignement, les mthodes les plus gnrales. Attachez-vous les prsenter de la manire la plus simple, et vous verrez en mme temps qu'elles sont presque toujours les plus faciles. LAPLACE. Les exemples instruisent mieux que les prceptes. NEWTON. Au moyen-ge et jusqu'au XVIIe sicle, l'enseignement portait sur les sept arts libraux et il comprenait le _Trivium_ (grammaire, rhtorique et dialectique) et le _Quadrivium_ (arithmtique, gomtrie, musique et astronomie). Sommes-nous revenus au systme de Ptolme? Je me souviens d'un fort habile homme qui, sur la lecture du premier volume d'un de nos plus savants traits d'astronomie, voyant l'auteur toujours parler des mouvements du soleil, des cercles qu'il parcourt, de sa rvolution diurne, de ses mouvements annuels, progrs, stations et rtrogradations, croyait, d'aprs cet expos, que l'Acadmie des sciences tait revenue au systme de Ptolme. Pourquoi commencer par dcrire longuement et minutieusement l'lve des apparences dont il apprendra ensuite la fausset? Pourquoi ne pas lui dire tout de suite et franchement ce qui en est? GRATRY. _Ne dites pas:_ _Dites:_ Une ligne (pour une droite), un cercle (pour une circonfrence). Une droite, une circonfrence. Je mne par un point _une_ perpendiculaire une droite, _une_ parallle... _La_ perpendiculaire, _la_ parallle... 7 8: ne se lit pas 7 qui multiplie 8. 7 multipli par 8. Le lieu des points est _sur_ telle ligne. Le lieu des points est telle ligne. Le lieu des points est le segment circulaire, etc. L'arc du segment circulaire, etc. Inscrire _dans_ ... Inscrire __ ... Je divise l'quation par tel nombre. Je divise les deux membres de l'quation ... La racine ngative de l'quation du second degr. La racine o le radical est prcd du signe -. Les puissances impaires. exposant impair. Plus grand ou gal (>=). Suprieur ou gal . 7 x 3/11 x 3.--Je multiplie la fraction par _trois_. Je multiplie les deux termes de la fraction par _trois_. 4/15 et 8/30.--La plus grande fraction. La fraction qui a des termes plus grands. _a/b, a'/b', a''/b''_ puis _(a+a'+a'')/(b+b'+b'')_.--Ajouter les fractions. Etc., etc. Ajouter les fractions terme terme. Etc., etc. Dans le domaine des Mathmatiques pures, on peut distinguer deux parties: l'une, la plus leve, qui s'augmente constamment, presque toujours par degrs insensibles, ne regarde que les mathmaticiens; l'autre, longtemps immuable, s'accrot brusquement, des intervalles loigns, par l'adoption de quelque thorie nouvelle: c'est la matire de l'enseignement, ce que doivent retenir et savoir appliquer tous les hommes qui s'adonnent aux sciences et, sans cultiver les Mathmatiques, ont toujours besoin de les connatre. HALPHEN. Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de propositions simples irrductibles d'autres plus simples, appeles axiomes, et sur les dfinitions. Ces lments, convenablement mis en oeuvre par le raisonnement, conduisent aux propositions les plus complexes, qui ne sont donc, en dfinitive, que des composs logiques de ces lments. Dans la gomtrie lmentaire, l'arithmtique, la statique et plus gnralement dans toutes les sciences o l'on fait usage de la mthode synthtique, en allant du simple au compos, on prend pour point de dpart ces lments, axiomes ou dfinitions, et on s'lve de proche en proche, jusqu'aux propositions les plus complexes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frapp de cette difficult que les lves prouvent saisir l'ensemble et les dductions du Cours, j'ai souvent employ avec succs un mode d'exercice, que j'appelle la recherche des antcdents d'une proposition et qui n'est en quelque sorte que l'_analyse_ d'une proposition trouve d'abord par la _synthse_... On prend une proposition quelconque et l'on relve toutes les propositions antcdentes (lemmes, thormes, corollaires), toutes les dfinitions et tous les axiomes invoqus dans la dmonstration. On a ainsi une premire analyse de la proposition donne. On reprend ensuite chacune des propositions antcdentes invoques, on les analyse leur tour et l'on continue de la sorte jusqu' ce que l'on arrive n'avoir plus que des axiomes et des dfinitions. JABLONSKI. Allez en avant, a dit d'Alembert, la foi vous viendra. Le remarquable morceau qui suit est un commentaire de ce conseil parfois contest. Quoique les vrits mathmatiques se dduisent, dans un ordre rigoureux, d'un petit nombre de principes rputs vidents, on ne parvient point les possder pleinement, en en suivant pas pas les dductions, en allant toujours dans le mme sens du connu l'inconnu, sans jamais revenir en arrire sur un chemin o l'on n'a rien laiss d'obscur. Le sens et la porte des principes chappent au dbutant, qui saisit mal la distinction entre ce qu'on lui demande d'accorder et les consquences purement logiques des hypothses ou des axiomes; parfois, la dmonstration lui parat plus obscure que l'nonc; c'est en vain qu'il s'attarderait dans la rgion des principes pour la mieux connatre, il faut que son esprit acquire des habitudes qu'il n'a pas, qu'il aille en avant sans trop savoir ni o il va, ni d'o il part; il prendra confiance dans ce mode de raisonnement auquel il lui faut plier son intelligence, il s'habituera aux symboles et leurs combinaisons. Revenant ensuite sur ses pas, il sera capable de voir, du point de dpart et d'un seul coup d'oeil, le chemin parcouru: quelques parties de la route resteront pour lui dans l'ombre, quelques-unes mme seront peut-tre entirement obscures, mais d'autres sont vivement claires; il sait clairement comment on peut arriver de cette vrit cette autre; il sait o il doit porter son attention; ses yeux, mieux exercs, parviennent voir clair dans ces passages difficiles dont il n'aurait jamais pu se rendre matre, s'il ne les avait franchis; il est maintenant capable d'aller plus loin ou de suivre une autre direction; il entre en possession des vrits nouvelles qui s'ajoutent aux vrits anciennes et qui les clairent; il s'tonne parfois des perspectives inattendues qui s'ouvrent devant lui et lui laissent voir, sous un aspect nouveau, des rgions qu'il croyait connatre entirement; peu peu les ombres disparaissent et la beaut de la science, si une dans sa riche diversit lui apparat avec tout son clat. Ce qui se passe dans l'esprit de celui qui tudie les mathmatiques n'est que l'image de ce qui s'est pass dans la cration et dans l'organisation de la science; dans ce long travail, la rigueur dductive n'a pas t seule jouer un rle. On peut raisonner fort bien et fort longtemps sans avancer d'un pas, et la rigueur n'empche pas un raisonnement d'tre inutile. Mme en mathmatiques, c'est souvent par des chemins peu srs que l'on va la dcouverte. Avant de faire la grande route qui y mne, il faut connatre la contre o l'on veut aller; c'est cette connaissance mme qui permet de trouver les voies les plus directes; c'est l'exprience seule qui indique les points o il faut porter l'effort; ce sont les difficults parfois imprvues qui se dressent devant les gomtres qui les forcent revenir au point de dpart, chercher une route nouvelle qui permette de tourner l'obstacle. S'imagine-t-on, par exemple, les inventeurs du calcul diffrentiel et intgral s'acharnant, avant d'aller plus loin, sur les notions de drive et d'intgrale dfinie? J. TANNERY. La science mme la plus exacte renferme quelques principes gnraux que l'on saisit par une sorte d'instinct qui ne permet pas d'en douter, et auquel il est bon de se livrer d'abord. Aprs les avoir suivis dans toutes leurs consquences et s'tre fortifi l'esprit par un long exercice dans l'art de raisonner, on peut sans danger revenir sur ces principes qui se prsentent alors dans un plus grand jour... LAPLACE. J'avoue mme que j'attacherai moins de prix mettre dans la dmonstration d'un thorme cette rigueur extrme, si recherche maintenant, qu' faire clairement apercevoir la raison de ce thorme et ses connexions avec les autres vrits mathmatiques. Je prie donc que l'on m'accorde quelquefois, pour la commodit de l'exposition et pour ne point dcourager ds le dbut mes jeunes lecteurs, des dmonstrations qui ont satisfait si longtemps les plus grands gomtres. COURNOT. Il ne faut pas prvenir contre-temps des difficults trop subtiles. J. BERTRAND. Voulez-vous simplifier une thorie, une mthode, inscrivez-la dans les programmes. Les professeurs se chargeront de l'clairer et de la rduire sa plus simple expression. Je me dfie un peu des dmonstrations trop lgantes, trop symtriques, reposant sur une heureuse notation. Elles empchent parfois de rflchir au fond des choses, elles persuadent plus qu'elles n'clairent. Il importe de bien comprendre l'importance de la condition _ncessaire_ et _suffisante_ ou de la rciprocit des conditions ou, comme on dit encore, de la proprit caractristique. Combien de raisonnements faux ou incomplets entrane une analyse imparfaite! La dmonstration des rciproques--lorsqu'elles sont vraies--est trop nglige. Pour tablir un lien mathmatique, il faut deux propositions dont la seconde est, volont, la rciproque ou la contraire de la premire. Ce n'est pas dans la manire de figurer les nombres, de les habiller pour ainsi dire, que nous distinguons l'Arithmtique de l'Algbre, mais c'est surtout dans l'essence mme des nombres, dans la manire de les concevoir. La ligne de dmarcation de l'Arithmtique et de l'Algbre provient de l'ide que l'on se fait du nombre, suivant qu'on le considre comme grandeur ou seulement comme numro d'ordre, c'est--dire suivant que l'on accepte ou que l'on refuse la notion de continuit; c'est ainsi que la doctrine des nombres irrationnels, des logarithmes, etc., appartient exclusivement au domaine de l'Algbre, c'est--dire des fonctions analytiques. E. LUCAS. HISTOIRE Ds les temps les plus reculs, les hommes ont compt les objets et mesur grossirement l'tendue et le temps. Ces notions ont commenc se prciser chez les Phniciens, commerants et calculateurs, chez les gyptiens, arpenteurs (inondations du Nil) et architectes (Pyramides); enfin chez les Chaldens, pasteurs et observateurs des astres. Tels seraient les commencements de l'arithmtique, de la gomtrie et de l'astronomie. Les premiers documents historiques nous montrent la Gomtrie prenant son admirable dveloppement chez les Grecs. Presque oublies pendant le Moyen ge, les Mathmatiques renaissent au seizime sicle chez les Occidentaux. Le sicle suivant voit paratre la Gomtrie analytique et le Calcul infinitsimal, grandes dcouvertes qui renouvellent et tendent la science. Nous allons esquisser les principales priodes de l'histoire des mathmatiques. I. PHILOSOPHES GRECS.--Ils taient aussi presque tous gomtres et astronomes. On attribue _Thals_ (600 ans av. J.-C.) et son cole ionienne les propositions les plus simples de la Gomtrie, les premires mesures de distances inaccessibles et des observations astronomiques au gnomon. _Pythagore_ (550 ans av. J.-C.) et les Pythagoriciens connaissent la somme des angles d'un triangle, le carr de l'hypotnuse, les polydres rguliers et l'un au moins des deux mouvements de la Terre. _Platon_ (400 ans av. J.-C.) et les Platoniciens dgagent la mthode d'analyse en Gomtrie; ils imaginent les coniques et d'autres lieux gomtriques pour oprer la duplication du cube; ils raisonnent dj les incommensurables. II. L'COLE GRECQUE D'ALEXANDRIE.--Dans cette clbre cole, qui dure plus de mille ans, les Mathmatiques brillent du plus vif clat et atteignent leur apoge. _Euclide_ (300 ans av. J.-C.) coordonne, dans ses _lments_, toute la Gomtrie, sauf les coniques. Ce livre domine encore l'enseignement de nos jours. _Archimde_ (250 ans av. J.-C), le plus grand peut-tre de tous les mathmaticiens, mesure le cercle et la sphre; fait la quadrature de la parabole; tudie la premire srie; fonde la statique sur la thorie du levier, etc. _Apollonius_ de Perge (200 ans av. J.-C.) rsume, dans son _Trait des coniques_, les proprits dj connues de ces courbes et celles plus caches qu'il dcouvre son tour. _Hipparque_ (150 ans av. J.-C.) refait toutes les observations astronomiques et, malgr l'imperfection de ses instruments, il trouve des nombres assez exacts pour servir de base la thorie. _Ptolme_ (150 ans ap. J.-C.) admet, dans son _Almageste_, la fixit de la Terre et parvient nanmoins reprsenter les mouvements clestes, l'aide d'un systme compliqu de cercles. _Diophante_ (350 ans ap. J.-C), surnomm le Pre de l'Algbre, cre enfin cette nouvelle branche dans ses _Arithmtiques_. La science plit ensuite Alexandrie. Il n'y a plus que des commentateurs, parmi lesquels on doit distinguer _Pappus_: il nous conserve, dans ses _Collections mathmatiques_, des fragments d'ouvrages perdus. III. LES AUTRES PEUPLES JUSQU' LA RENAISSANCE.--Les _gyptiens_ possdent des connaissances arithmtiques et gomtriques, bien des sicles avant notre re, comme le prouve le papyrus d'Ahms, rcemment dchiffr. Ils restent stationnaires, tandis que les Grecs, qui leur font des emprunts, progressent rapidement. De mme, les _Chinois_ paraissent savoir des Mathmatiques ds l'antiquit la plus recule; mais ce peuple, lui aussi, reste immobile. Les _Hindous_, tels que Aryabhata, Bramagupta et Bascara, ont, de temps immmorial, la curiosit des grands nombres; ils cultivent l'Algbre et rsolvent les quations des deux premiers degrs. Les _Arabes_, tels que Mohamed-ben-Musa, Aboul-Wefa, etc., servent d'intermdiaires entre les Grecs et les Indiens d'une part et les Occidentaux de l'autre. En _Europe_, le Moyen-ge reste obscur et strile. Citons cependant _Gerbert_ qui s'instruit, vers l'an 1000, auprs des Maures d'Espagne et apporte aux Chrtiens les chiffres modernes. Citons encore les Algbristes italiens, _Lonard de Pise_, qui fait le commerce en Orient au douzime sicle, et _Lucas de Burgo_ (quinzime sicle). IV. LE SEIZIME SICLE.--La science reprend enfin son essor, et les grandes dcouvertes se prparent. Le Polonais _Copernic_ (1473-1543) propose le vritable systme du monde et en montre l'admirable simplicit. L'Italien _Cardan_ (1501-1576) tablit la formule de rsolution des quations du 3e degr; il tenait la rgle de Tartaglia. _Vite_ (1540-1603), n dans le Bas-Poitou, entrevoit les proprits gnrales des quations, rsout par l'algbre les problmes de gomtrie et complte la trigonomtrie. L'cossais _Neper_ (1550-1617), inventeur des logarithmes, double, pour ainsi dire, la vie des calculateurs. _Harriot_ (1568-1621), d'Oxford, trouve les relations entre les coefficients et les racines des quations, et il calcule les racines entires et fractionnaires. _Galile_, de Florence (1564-1642), tudie le pendule, dcouvre les lois de la chute des corps et des projectiles; il confirme le systme de Copernic, par ses observations astronomiques. V. LE DIX-SEPTIME SICLE.--Ce sicle, aussi grand dans les sciences que dans les lettres, nous donne d'une part la gomtrie analytique et le calcul infinitsimal, de l'autre les lois de Kepler et de l'attraction universelle. L'Allemand _Kepler_ (1571-1630), utilisant les observations de Tycho-Brahe, trouve les trois lois du mouvement des plantes autour du soleil. Notre grand _Descartes_ (1596-1650) tend l'algbre pure et il cre la Gomtrie analytique ou tude des courbes l'aide de leurs quations. _Fermat_, de Toulouse (1601-1665), rsout aussi les problmes des tangentes et des maximums, et il rvle les proprits les plus secrtes des nombres. _Pascal_ (1623-1662) cre l'analyse combinatoire et le calcul des probabilits; il perfectionne la gomtrie des courbes. Le Hollandais _Huygens_ (1629-1695) fait progresser la fois la gomtrie, la mcanique et l'astronomie. Le grand _Newton_ (1642-1727) invente le Calcul infinitsimal ou des _fluxions_, et dcouvre la loi de l'attraction universelle. Il a autant de gnie que le vieil Archimde. _Leibniz_ (1646-1716) imagine le nouveau Calcul presque en mme temps que Newton, et avec une notation plus heureuse. VI. LE DIX-HUITIME SICLE.--Les mathmaticiens appliquent l'analyse infinitsimale aux questions les plus varies et les plus difficiles. Le Suisse _Euler_ (1707-1783) fait de nombreuses recherches sur les fonctions, les sries, les intgrales, etc. _D'Alembert_ (1717-1783) traite la prcession des quinoxes par le calcul, et il ramne l'tude du mouvement celle de l'quilibre. _Lagrange_ (1736-1813) manie avec une rare lgance l'algbre et le calcul infinitsimal; il cre la mcanique rationnelle. _Monge_ (1746-1818) fonde la gomtrie descriptive, si utile aux ingnieurs. _Laplace_ (1749-1827) se rend clbre par sa _Mcanique cleste_ ou application du calcul au systme du monde. _Carnot_ (1753-1823), gomtre-philosophe, cherche prciser les nombres ngatifs et imaginaires, les intgrales, etc. VII. PREMIRE MOITI DU DIX-NEUVIME SICLE.--Cette priode se fait remarquer la fois par des vues trs gnrales et par la curiosit du dtail. L'Allemand _Gauss_ (1777-1855) tudie les quations binomes et la thorie des nombres. Le gnral _Poncelet_ (1788-1867) tend la gomtrie par les mthodes de transformation. _Cauchy_ (1789-1857) se livre de profondes recherches sur les sries, les imaginaires et l'infini. L'Allemand _Jacobi_ (1804-1851) s'occupe de fonctions nouvelles et, en particulier, des fonctions elliptiques. _Chasles_ (1793-1880) systmatise, dans sa _Gomtrie suprieure_, la convention des signes, le rapport anharmonique, l'homographie, l'involution, etc. Dans la dernire moiti de ce sicle, les efforts se dirigent vers la physique mathmatique qui se constitue peu peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s'aiguise de plus en plus, on creuse les proprits des fonctions et des quations diffrentielles, le calcul infinitsimal porte tous ses fruits. Nous allons passer une revue rapide des _plus grands mathmaticiens_, de ces gnies crateurs qui ont dcouvert et fond la science. Nous essaierons de caractriser chacun d'eux en reproduisant un jugement comptent et en citant l'oeuvre capitale. _Euclide_ (300 av. J.-C.) ou la Gomtrie lmentaire. Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue influence que les _lments d'Euclide_. Ils ont t traduits et comments dans toutes les langues, enseigns exclusivement pendant des sicles dans toutes les coles de Mathmatiques: on les suit encore en Angleterre. ROUCH. _Archimde_ (287-212 av. J.-C.) ou la Gomtrie infinitsimale. Ceux qui sont en tat de comprendre Archimde admirent moins les dcouvertes des plus grands hommes modernes. LEIBNIZ. _Apollonius_ (de Perge) (200 av. J.-C.) ou la Gomtrie des coniques. L'ouvrage d'Apollonius sur les _sections coniques_ est pour ainsi dire le couronnement de la Gomtrie grecque.... Tout y est coordonn symtriquement; l'unit du plan reflte, jusque dans les moindres dtails, la pense directrice de l'auteur, qui tend lier entre elles toutes les sections du cne. HOEFER. _Hipparque_ (150 av. J.-C.) ou les Observations astronomiques. Quand on runit tout ce qu'il a invent ou perfectionn, et qu'on songe au nombre de ses ouvrages, la grande quantit de calculs qu'ils supposent, on trouve dans Hipparque un des hommes les plus tonnants de l'Antiquit, et le plus grand de tous dans les sciences qui ne sont pas purement spculatives. DELAMBRE. _Ptolme_ (150 ap. J.-C.) ou l'Astronomie gomtrique. L'difice astronomique lev par Ptolme a subsist pendant prs de quatorze sicles; aujourd'hui mme qu'il est entirement dtruit, son _Almageste_... est un des plus prcieux monuments de l'Antiquit. LAPLACE. _Diophante_ (350 ap. J.-C.) ou l'Algbre naissante. On ne peut pas dire que l'Algbre, mme lmentaire, soit sortie constitue de ses mains, et cependant on ne peut nier qu'elle n'y ait pris un dveloppement trs remarquable. M. MARIE. _Vite_ (1540-1603) ou l'Algbre en progrs. C'est dans son ouvrage d'analyse, intitul _Isagoge in artem analyticam_, que l'auteur expose pour la premire fois une des thories les plus profondes et les plus abstraites que l'esprit humain ait inventes. J. FOURIER. _Galile_ (1564-1642) ou la Mcanique. La thorie gnrale du mouvement vari, inconnue aux Anciens, prit naissance entre les mains de Galile. Il trouva la loi de l'acclration des corps qui tombent librement par la pesanteur ou qui glissent sur des plans inclins et il tablit ce sujet les proprits gnrales du mouvement uniformment acclr. BOSSUT. _Descartes_ (1596-1650) ou la Gomtrie analytique. Ce qui a surtout immortalis le nom de ce grand homme, c'est l'application qu'il a su faire de l'algbre la gomtrie, ide des plus vastes et des plus heureuses que l'esprit humain ait jamais eues, et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non seulement dans la gomtrie, mais dans toutes les sciences physico-mathmatiques. D'ALEMBERT. _Fermat_ (1601-1665) ou l'Arithmtique suprieure. Cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numriques... pour moi, je confesse que cela me dpasse de bien loin. PASCAL. _Pascal_ (1623-1662) ou l'Algbre suprieure. C'est le gnie le plus tonnant, unique dans les Lettres, dans la Philosophie, la Religion et aussi dans les Mathmatiques o sa profondeur est incroyable. _Newton_ (1642-1727) ou le Calcul infinitsimal. Newton tait matre de la mthode des fluxions avant que Leibniz ft en possession du Calcul diffrentiel, mais l'invention de Leibniz tait indpendante de celle de Newton et l'avait prcde comme publication. BIOT. _Monge_ (1746-1818) ou la Gomtrie descriptive. Les constructeurs de toutes les professions, les architectes, les mcaniciens, les tailleurs de pierre, les charpentiers, soustraits dsormais des prceptes routiniers, des mthodes sans dmonstration, se rappelleront avec reconnaissance que s'ils savent, que s'ils parlent la langue de l'ingnieur, c'est Monge qui l'a cre, qui l'a rendue accessible tout le monde, qui l'a fait pntrer dans les plus modestes ateliers. ARAGO. _Laplace_ (1749-1827) ou la Mcanique cleste. La loi newtonienne explique aujourd'hui tous les phnomnes connus. Plus les observations sont prcises, plus elles sont conformes la thorie. Laplace est de tous les gomtres celui qui a le plus approfondi ces grandes questions; il les a pour ainsi dire termines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laplace tait n pour tout perfectionner, pour tout approfondir, pour reculer toutes les limites, pour rsoudre ce que l'on aurait pu croire insoluble. Il aurait achev la science du ciel (dans sa _Mcanique cleste_), si cette science pouvait tre acheve. J. FOURIER. _Lagrange_ (1736-1813) ou la Mcanique rationnelle. Le trait distinctif de son gnie consiste dans l'unit et la grandeur des vues. Il s'attachait en tout une pense simple, juste et trs leve. Son principal ouvrage, la _Mcanique analytique_, pourrait tre nomm la Mcanique philosophique, car il ramne toutes les lois de l'quilibre et du mouvement un seul principe; et, ce qui n'est pas moins admirable, il les soumet une seule mthode de calcul dont il est lui-mme l'inventeur. Toutes ses compositions mathmatiques sont remarquables par une lgance singulire, par la symtrie des formes et la gnralit des mthodes et, si l'on peut parler ainsi, par la perfection du style analytique. J. FOURIER. _Cauchy_ (1789-1857) ou les Symboles. Mathmaticien trs profond, mais parfois un peu obscur; son oeuvre est considrable: de fidles disciples lucident et prcisent des vues nouvelles et hardies qui fixeront la science. _Chasles_ (1793-1876) ou la Gomtrie suprieure. Les travaux de M. Chasles sont le dernier terme des progrs continus raliss par la Gomtrie depuis soixante ans. Il suffit de citer l'_Aperu historique_, la _Gomtrie suprieure_... La Gomtrie... a regagn sur l'analyse le terrain perdu. ROUCH. Charlemagne substitua aux mesures romaines le pied-de-roi ou pied-de-Paris, emprunt aux Arabes, et les drivs de cette longueur. Il chercha rpandre dans son vaste empire ces units qui devaient durer dix sicles, mais en s'altrant et en se compliquant beaucoup. Les tats gnraux rclamrent maintes fois l'ordre dans les poids et les monnaies. Louis XI, Franois Ier et Louis XIV tentrent en vain, dans leurs dits royaux, d'imposer partout les mesures de Paris. l'occasion de la mesure du mridien par Picard, on fit en 1668, dit Saigey, une toise en fer portant une arte chaque bout, et on la fixa au bas du grand escalier du Chtelet, pour servir de rgulateur au commerce et la justice. La toise qui, aprs avoir t compare celle du Chtelet, avait t employe dans les mesures mridiennes du Prou, par Bouguer et La Condamine, servit son tour d'talon, et quatre-vingts modles en furent expdis aux parlements de France et aux astronomes trangers. C'tait un premier pas vers l'uniformit, et bientt la toise du Prou, comme on l'appelait, servit l'talonnage du mtre. Parmi les rformes urgentes, demandes dans les cahiers de 1789, on retrouve sans cesse celle des poids et des mesures: on les veut simples et les mmes dans tout le pays. Le 8 mai 1790, sur la proposition de Talleyrand, l'Assemble constituante engage les rois de France et d'Angleterre se concerter pour adopter la mme unit. Cette mesure (par exemple, la longueur du pendule seconde propose autrefois par Picard) et t fixe par une commission compose, en nombre gal, d'acadmiciens de Paris et de membres de la Socit royale de Londres. L'Acadmie des sciences discuta seule la question, et sa commission (Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Lavoisier) rejeta le pendule pour ne pas mler une question de longueur des considrations de mouvement et de temps, et elle proposa la dix-millionime partie du quart du mridien. La tradition attribue Laplace la conception de l'ensemble du systme, Borda le plan des oprations godsiques, et Lavoisier le kilogramme. Le 26 mars 1791, un dcret de l'Assemble constituante adopta la circonfrence terrestre comme base et prescrivit les travaux ncessaires. Prendre pour unit de longueur usuelle la dix-millionime partie du quart du mridien et rapporter la pesanteur de tous les corps celle de l'eau distille, en reliant par l'chelle dcimale toutes les mesures principales aux mesures plus grandes ou plus petites. Ds 1792, Delambre et Mchain furent chargs, par leurs collgues de l'Acadmie des sciences, de mesurer l'arc de Dunkerque Barcelone, en Espagne, qui comprend dix degrs environ[3]. La triangulation s'appuya sur deux bases, prs de Melun et de Perpignan. Aux mesures directes devaient succder un long travail de comparaison aux mesures antrieures, de rductions et de calculs. Sans attendre la fin de ce travail, l'Acadmie calcula provisoirement le mtre d'aprs les observations anciennes, avec une exactitude suffisante pour tous les besoins de la socit; d'autre part elle avait dtermin, par des expriences prcises, la longueur du pendule seconde et le poids d'un centimtre cube d'eau distille: c'taient les lments de toutes les autres mesures. Les observations nouvelles ne pouvaient apporter leurs valeurs que des corrections insensibles. (Biot.) [Note 3: Le gnral Perrier, mort en 1888, a runi godsiquement l'Espagne l'Algrie, par dessus la Mditerrane. Nous connaissons maintenant la longueur d'un arc de mridien allant du nord de l'Angleterre au Sahara.] Dans la sance du 1er aot 1793, la Convention, sur un rapport prsent par Arbogast au nom du Comit d'instruction publique, vota l'tablissement du systme mtrique dans toute l'tendue de la Rpublique. Toutefois, le systme ne fut rendu obligatoire que par le dcret du 18 germinal an III (7 avril 1795). Ce dcret fixa dfinitivement la nomenclature; il y est dit que l'talon sera une rgle de platine, excute avec la plus grande prcision d'aprs les expriences et les observations de la commission. On le dposera prs le Corps lgislatif, ainsi que le procs-verbal des oprations qui auront servi le dterminer. Une commission gnrale de trente-deux membres, tant franais qu'trangers, avait t charge des calculs dfinitifs. Le 4 messidor an VII (22 juin 1799), cette commission, par l'organe de ses rapporteurs, le hollandais Swiden et le suisse Tralls, annona aux deux conseils lgislatifs de la Rpublique que le quart du mridien valait 5130740 toises, d'o se dduisait la longueur du mtre. Les deux dlgus prsentrent aussi les talons du mtre et du kilogramme, en platine; la rgle doit tre prise zro et le poids cylindrique doit tre pes dans le vide. Ces deux _prototypes_ furent, le mme jour, placs dans une bote fermant clef, et dposs aux Archives de la Rpublique dans la double armoire en fer, fermant quatre clefs. Sous le Consulat, la loi du 2 novembre 1801 se borna _autoriser_ l'usage des nouvelles mesures de prfrence aux anciennes; et sous l'Empire, le dcret rtrograde du 12 fvrier 1812 organisa un systme mixte et btard qui devait retarder de vingt-cinq ans l'avnement du vrai systme mtrique. Il y eut une toise mtrique, une livre mtrique, etc. Enfin, la loi clbre du 4 juillet 1837, reprenant les traditions de la Rvolution, remit en vigueur le systme mtrique pur, et prohiba, non seulement l'emploi de toutes les anciennes mesures, mais mme leurs dnominations. Depuis le 1er janvier 1840, le nouveau systme est impos par la loi tous les citoyens franais, et les dlinquants sont punis de l'amende ou de la prison. En 1869, l'Acadmie des sciences de Saint-Ptersbourg proposa une rvision europenne du mtre. Delambre, disait-elle, a adopt un aplatissement de la terre un peu trop faible, et en outre une erreur matrielle s'est glisse dans les calculs de rduction. L'allemand Bessel, discutant toutes les mesures du mridien, et en particulier celles de Biot et Arago (1808) a trouv 5131180 toises au lieu de 5130740 toises; le nombre fondamental du systme mtrique est ainsi trop petit de 440 toises. De plus, le kilogramme doit tre rapport zro, non 4. Il est regrettable, ajoutait l'Acadmie de Saint-Ptersbourg, que les nouvelles mesures ne soient pas tablies par des savants de toutes les nations, travaillant en commun. Les talons envoys de Paris aux gouvernements trangers sont imparfaits, ils sont relevs sur le mtre du Conservatoire des arts et mtiers et non sur celui des Archives, et par des procds qu'il faudrait perfectionner.-- ces critiques, l'Acadmie des sciences de Paris rpondit que la diffrence entre les nombres de Delambre et de Bessel tait assez lgre, que tout nombre nouveau devrait d'ailleurs tre modifi plus tard, par suite du progrs de la science: or on ne peut pas changer de mtre chaque sicle. Des savants de tous les pays ont collabor avec les savants franais, et l'unit qu'ils ont arrte ensemble peut tre transmise trs exactement.-- la suite de cet change d'observations, les deux Acadmies se mirent d'accord pour demander la runion d'un congrs du mtre, devant tudier la question des mesures et de leurs meilleurs talons. La premire runion Paris du _Congrs international du mtre_ ayant t interrompue par la guerre, une seconde runion eut lieu en 1872. Vingt tats y furent reprsents. Il fut rsolu qu'on ne ferait pas une nouvelle mesure du mridien; que le mtre et le kilogramme actuels seraient perptus tels quels; que les talons seraient en platine iridi, de 102 centimtres pour limiter le mtre deux traits, etc. En 1873, les chimistes Deville et Debray coulrent, une temprature dpassant 2000, les premiers mtres internationaux, l'cole normale suprieure. Ces mtres ont la mme valeur scientifique, sinon historique, que le prototype des Archives qu'ils reproduisent parfaitement, et ils font loi l'tranger. Un muse du mtre a t, dans ces dernires annes, runi l'Observatoire par M. Wolf. Les prtres me dirent encore que Ssostris fit le partage des terres, assignant chaque gyptien une portion gale et quarre, qu'on tirait au sort, la charge nanmoins, de lui payer tous les ans une certaine redevance qui composerait le revenu royal. Si une crue du Nil enlevait quelqu'un une portion de son lot, il allait trouver Ssostris pour lui exposer l'accident, et le Roi envoyait sur les lieux des Arpenteurs pour mesurer de combien l'hritage tait diminu, afin de ne faire payer la redevance convenue qu' proportion du fonds qui restait. Voil, je crois, l'origine de la gomtrie, qui a pass de ce pays en Grce. HRODOTE. Les dbuts de la science ont d tre bien humbles. Il est probable, par exemple, que la lgitimit de l'interversion des facteurs du produit de plusieurs nombres n'a t tablie pendant longtemps que par des vrifications rptes. On a d aussi reconnatre par l'exprience que la longueur du fil entourant la circonfrence contient toujours le mme nombre de fois celle du diamtre. Nictas de Syracuse croyait, au rapport de Thophraste, que le ciel, le soleil, la lune, les toiles, en un mot tous les corps qui sont au-dessus de nous, sont immobiles, et que la terre seule est en mouvement dans l'Univers; qu'elle tourne sur son axe avec une extrme vitesse et produit les mmes _apparences_ que si elle tait immobile et le ciel en mouvement. CICRON. Hankel, l'historien des mathmatiques, mort il y a quelques annes, admettait, contrairement l'opinion reue, l'volution et le progrs _continu_. D'abord les Grecs gomtres, puis les Hindous purs algbristes, et enfin les Modernes qui unissent l'algbre et la gomtrie. De son ct, Chasles avait dj dit: Les Grecs taient surtout gomtres; ce n'est que trs tard qu'on trouve chez eux le Trait d'Algbre de Diophante. Leur gomtrie tait pure, sans mlange de calcul... Chez les Hindous, au contraire, l'Algbre parat tre la science la plus cultive; les thories algbriques s'y trouvent dans une perfection surprenante... (dans les temps modernes) une rnovation gnrale des mathmatiques leur a donn, avec le caractre d'abstraction et de gnralit qui leur convient, des ressources puissantes dont les Grecs n'avaient point eu l'ide. Les gomtres grecs spculaient sur les grandeurs elles-mmes, jamais sur leurs mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les douze cents ans qui sparent Pappus de Vite, de Descartes et de Galile ne sont qu'une longue nuit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il serait impossible de mconnatre la rare habilet des Hindous dans les recherches relatives soit aux proprits des nombres, soit aux transformations algbriques; mais si l'on considre... leur quasi-nullit en gomtrie... on ne peut s'empcher de les mettre infiniment au-dessous des Grecs. M. MARIE. Les mathmatiques anciennes nous offrent l'exemple d'une dcadence profonde aprs un brillant apoge; et l'on peut affirmer, de ce point de vue, que le vrai problme qui s'impose aujourd'hui dans l'histoire des mathmatiques est de prciser les circonstances et de dterminer les causes de la dcadence passe, en vue de connatre les prcautions prendre pour viter une dcadence future. P. TANNERY. La dcouverte en mathmatiques a atteint deux maximums, l'un en gomtrie pure aux temps d'Euclide, d'Archimde et d'Apollonius, et l'autre au XVIIe sicle, qui nous a donn l'Application de l'Algbre la Gomtrie, le Calcul infinitsimal et le Principe de l'attraction. La rsolution des quations du troisime et du quatrime degr, le dnoment du fameux cas irrductible furent la grande affaire des algbristes du XVIe sicle. LIOUVILLE. L'ide prconue que les mouvements clestes devaient tre circulaires et uniformes a gar les Grecs. La mme hypothse d'une certaine simplicit des lois de la nature a, au contraire, guid Kepler. S'il avait su combien sont complexes, les mouvements perturbs des plantes, il n'aurait pas dcouvert les lois qui donnent une premire approximation de ces mouvements. Les philosophes qui, dans l'antiquit, soutenaient l'opinion du mouvement de la terre furent taxs d'impit; au XVIe sicle, il se trouve encore des esprits assez malaviss pour commettre la mme faute et pour transformer en question religieuse une question purement scientifique. On alla chercher dans les livres sacrs des textes dont on se fit des arguments; chacun les interprta suivant sa fantaisie, et l'on vit tout coup surgir les disputes les plus pres et les plus draisonnables, au dtriment commun de la science et de la religion. VALSON. dire vrai, nous n'avons fait depuis les Grecs, que trois grandes dcouvertes en Mathmatiques pures, mais elles ont une immense porte. Descartes a invent la _Gomtrie analytique_, en reprsentant chaque courbe par une quation en _x_ et _y_, qui est la relation constante entre les coordonnes d'un point quelconque de la courbe. Toute question de gomtrie est alors transforme en une question d'algbre. Leibniz et Newton ont, presque simultanment, trouv le _Calcul infinitsimal_ qui permet d'analyser si finement la variation continue des fonctions. Enfin de nos jours, Cauchy a su donner l'Analyse, grce aux imaginaires mieux comprises, une admirable et complte gnralit. Les histoires gnrales des mathmatiques les plus importantes sont celles de Montucla en quatre volumes (dont les deux derniers sont de Lalande); de Bossut, plus courte; de Hankel, malheureusement inacheve la mort de l'auteur; de Maximilien Marie (12 vol.) et de Moriz Cantor. Ce dernier livre, fruit de longues recherches est le plus complet, le plus approfondi. M. Enestrm publie Stockholm un journal d'histoire des mathmatiques, la _Bibliotheca mathematica_. Nous devons aussi citer les nombreux travaux d'rudition et de critique de Paul Tannery et de Charles Henry. Enfin le prince Balthasar Boncompagni a publi plus de vingt volumes de son _Bulletin de bibliographie et d'histoire des mathmatiques_. Les _loges des acadmiciens_ par Fontenelle ont leur place marque dans la bibliothque de l'homme de got. L'auteur a popularis le premier les savants et la Science. Son influence a t plus grande qu'on ne le croit, il l'a exerce dlicatement et discrtement en parsemant de penses brillantes un fond srieux. Voltaire compare ces loges ces moissons abondantes o les fleurs croissent naturellement avec les pis. M. P. Lafitte traite au Collge de France de l'histoire gnrale des Sciences, au point de vue positiviste. Nous n'avons, vrai dire, aucune chaire d'histoire des mathmatiques. C'est l une lacune regrettable dans notre haut enseignement. En Belgique, l'universit de Gand, M. Mansion fait un cours rgulier d'histoire des mathmatiques et ce cours est obligatoire pour les tudiants scientifiques. Combien ai-je vu, dit M. Bertrand, d'anciens candidats l'cole Polytechnique qui, connaissant fort bien un trait d'algbre classique et n'ayant rien lu au del, ignoraient les noms d'Euler et de Bernoulli, et mettaient sur le mme plan dans leur souvenir Newton et Bezout, Descartes et Budan, Cauchy et Sarrus. Les sciences mathmatiques ont compos longtemps tout le domaine des ides exactes; partout ailleurs on ne retrouvait que les vains efforts du gnie pour arriver la connaissance de la vrit, et les erreurs sans nombre que les doctrines insuffisantes des premiers inventeurs tranaient leur suite. Le langage mystrieux employ par les philosophes formait avec la langue prcise et claire des sciences exactes, un contraste singulier qui inspirait au gomtre le plus profond mpris pour les autres sciences. Mais, lorsque les phnomnes clestes vinrent se ranger sous les lois du calcul, l'tude des mathmatiques devint plus gnrale, et les bons esprits furent frapps d'une manire d'argumenter si diffrente de celle de l'cole. La langue mathmatique est celle de la raison dans toute sa puret; elle interdit la divagation, elle signale l'erreur involontaire; il faudrait ne pas la connatre pour la faire servir l'imposture. SOPHIE GERMAIN. l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance, le roi de Sude et de Norvge a institu un grand prix de mathmatiques et tous les gomtres de l'Europe ont t invits concourir. Le prix a t obtenu par M. Poincar et la seconde rcompense, une mdaille d'or, par M. Appell. (Fvrier 1889.) Les principaux journaux de mathmatiques sont, en France: le _Journal de Mathmatiques pures et appliques_, fond par Liouville et dirig par Jordan; le _Bulletin des Sciences mathmatiques_, fond et dirig par Darboux; les _Nouvelles annales de Mathmatiques_, fondes par O. Terquem et Grono et diriges par Laisant et Antomari; le _Journal de Mathmatiques lmentaires et spciales_, fond par J. Bourget et dirig par G. de Longchamps; la _Revue de Mathmatiques spciales_ rdige par E. Humbert; le _Journal de Mathmatiques lmentaires_, dirig par notre collaborateur Vuibert, etc. L'_Acadmie des sciences_, l'Institut de France, comprend cinq sections pour les Mathmatiques. Voici les noms des membres par ordre de nomination: _Gomtrie._--Hermite; Jordan; Darboux; Poincar; mile Picard; Appell. _Mcanique._--Maurice Lvy; Boussinesq; Deprez; Sarrau; Laut; gnral Sebert. _Astronomie._--Faye; Janssen; Loevy; Wolf; Callandreau; Radau. _Gographie et navigation._--Bouquet de La Grye; Grandidier; de Bussy; Bassot; Guyou; Hatt. _Physique gnrale._--Cornu; Mascart; Lippmann; A.-H. Becquerel; Potier; Violle. _Secrtaires perptuels de l'Acadmie._--J. Bertrand, pour les sciences mathmatiques, et Berthelot, pour les sciences physiques. Parmi les _Acadmiciens libres_, on remarque de Freycinet; Haton de la Goupillire; amiral de Jonquires; Rouch, etc. Parmi les Mathmaticiens vivants, nous citerons: en Belgique, Mansion et Neuberg; en Angleterre, Forsight, Sylvester et Salmon; en Norvge, S. Lie (actuellement Leipzig), Bjirknes, Syllow; en Sude, Bcklund, Lindsteedt; en Danemark, Petersen, Zeuthen; en Russie, Liapounoff, Markoff; en Allemagne, Dedekind; Fuchs; Gordan; Klein; Schwarz; Weber; Wemgarten; en Italie, Beltrami, Brioschi et Cremona, etc., etc. Voici les noms de quelques autres mathmaticiens franais: D. Andr, Borel, Brisse, Brocard, Fouret, Goursat, Hadamard, G. Humbert, le P. Joubert, Koenigs, Laisant, H. Laurent, de Longchamps, Mannheim, Mray, Moutard, Painlev, J. Tannery, etc., etc. On a organis Paris, en 1872, une _Socit mathmatique_ qui compte prs de trois cents membres et qui publie le Bulletin de ses travaux. Les sances ont lieu deux fois par mois. Le sige est rue des Grands-Augustins, 7. Le 24 dcembre 1892, on a ft, la Sorbonne, les soixante et dix ans de notre grand gomtre Hermite. Nous extrayons du discours du Ministre de l'Instruction publique le passage suivant: Pascal voit dans la gomtrie le plus haut exercice de l'intelligence; il place les gomtres au premier rang des princes de l'esprit. C'est l'honneur de notre France d'avoir produit plus qu'aucune autre nation, de ces gnies subtils et puissants, capables d'embrasser l'ensemble des vrits qui constituent les lois des nombres et de l'tendue. Dj au dix-septime sicle, Descartes, Pascal et Fermat nous permettent de n'envier personne, pas mme l'intelligence suprme de Newton; au dix-huitime sicle nous prenons dcidment le premier rang avec d'Alembert, avec Lagrange, avec Laplace, et le sicle dont nous sommes a vu affirmer et consolider cette matrise franaise de la gomtrie par une suite de savants illustres, les Monge, les Carnot, les Ampre, les Cauchy, les Chasles, les Liouville, pour ne citer que quelques-uns de ceux qui ne sont plus... CH. DUPUY. L'_Intermdiaire des mathmaticiens_, dirig par MM. Laisant et E. Lemoine, contient les questions les plus varies et les plus difficiles puis les rponses venues de divers cts. PHILOSOPHIE ET MORALE.--MLANGES Vous avez dispos toutes choses avec nombre, poids et mesure. BIBLE. Les nombres gouvernent le monde. PLATON. Il y a de la gomtrie partout. LEIBNIZ. Dieu, le grand gomtre.--Dieu gomtrise sans cesse. PLATON. Dieu est un cercle dont le centre est partout et la circonfrence nulle part. RABELAIS; MONTAIGNE; PASCAL. Il n'y a point de nombre aux yeux de Dieu. Comme il voit tout la fois, il ne compte rien. CONDILLAC. Au milieu de causes variables et inconnues, que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrgulire la marche des vnements, on voit natre mesure qu'ils se multiplient une rgularit frappante qui semble tenir d'un dessein, et que l'on a considre comme une preuve de la providence. LAPLACE. Je ne puis concevoir comment de si habiles mathmaticiens nieraient un mathmaticien ternel. VOLTAIRE. Platon avait crit sur la porte de son cole de philosophie ces mots: _Que nul n'entre ici, s'il n'est gomtre._ Sans les mathmatiques, on ne pntre point au fond de la philosophie: sans la philosophie, on ne pntre point au fond des mathmatiques; sans les deux, on ne pntre au fond de rien. BORDAS-DEMOULINS. Le nombre rside dans tout ce qui est connu. Sans lui, il est impossible de rien penser, de rien connatre.... Le nombre et l'harmonie repoussent l'erreur; le faux ne convient pas leur nature. L'erreur et l'envie sont filles de l'indfini, sans pense, sans raison; jamais le faux ne peut pntrer dans le nombre, il est son ternel ennemi. La vrit seule convient la nature du nombre et est ne avec lui. PHILOLAS. Les lignes et les figures de la gomtrie sont trs propres pour reprsenter l'imagination les rapports qui sont entre les grandeurs, ou entre les choses qui diffrent du plus et du moins, comme les espaces, les temps, les poids, etc., tant cause que ce sont des objets trs simples, qu' cause qu'on les imagine avec beaucoup de facilit. On pourrait mme dire l'avantage de la gomtrie, que les lignes peuvent reprsenter l'imagination plus de choses que l'esprit n'en peut connatre, puisque les lignes peuvent exprimer les rapports des grandeurs incommensurables, c'est--dire des grandeurs dont on ne peut connatre les rapports cause qu'elles n'ont aucune commune mesure par laquelle on en puisse faire la comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ce qui ne peut se faire qu'en beaucoup de temps par l'arithmtique se fait en un moment par l'algbre et l'analyse, sans que l'esprit se brouille par le changement des chiffres et par la longueur des oprations. Une opration particulire d'arithmtique ne dcouvre qu'une vrit, une semblable opration d'algbre en dcouvre une infinit. L'algbre... apprend faire sur les grandeurs littrales tous les calculs qui servent dduire les rapports les plus difficiles et les plus composs qu'on puisse dsirer de savoir des mmes grandeurs qui sont dj connues. Ses calculs sont les plus simples, les plus faciles et en mme temps les plus gnraux qu'on puisse concevoir. MALEBRANCHE. Les plus grands gomtres n'ont pas t exempts de ce prjug qui fait regarder l'analyse algbrique comme une sorte d'oracle qui ne fait pas toujours des rponses intelligibles, mais dont les nigmes doivent toujours renfermer un sens dont il faut s'tudier pntrer le mystre. DUHAMEL. Il y a beaucoup de diffrence entre l'esprit de gomtrie et l'esprit de finesse. En l'un, les principes sont palpables, mais loigns de l'usage commun; de sorte qu'on a peine tourner la tte de ce ct-l, manque d'habitude; mais, pour peu qu'on s'y tourne, on voit les principes plein; et il faudrait avoir tout fait l'esprit faux pour mal raisonner sur des principes si gros qu'il est presque impossible qu'ils chappent. Mais, dans l'esprit de finesse, les principes sont dans l'usage commun et devant les yeux de tout le monde. On n'a que faire de tourner la tte, ni de se faire violence. Il n'est question que d'avoir bonne vue, mais il faut l'avoir bonne, car les principes sont si dlis et en si grand nombre qu'il est presque impossible qu'il n'en chappe. Or, l'omission d'un principe mne l'erreur: ainsi il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite l'esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes connus. Tous les gomtres seraient donc fins s'ils avaient la vue bonne et les esprits fins seraient gomtres s'ils pouvaient plier leur vue vers les principes inaccoutums de la gomtrie. Ce qui fait que certains esprits fins ne sont pas gomtres, c'est qu'ils ne peuvent du tout se tourner vers les principes de gomtrie; mais ce qui fait que des gomtres ne sont pas fins, c'est qu'ils ne voient pas ce qui est devant eux; et qu'tant accoutums aux principes nets et grossiers de la gomtrie, et ne raisonner qu'aprs avoir bien vu et mani leurs principes, ils se perdent dans les choses de finesse, o les principes ne se laissent pas ainsi manier. On les voit peine, on les sent plutt qu'on ne les voit: ce sont choses tellement dlicates et si nombreuses, qu'il faut un sens bien dli et bien net pour les sentir, et sans pouvoir le plus souvent les dmontrer par ordre comme en gomtrie, parce qu'on n'en possde pas ainsi les principes, et que ce serait une chose infinie de l'entreprendre. Il faut tout d'un coup voir la chose d'un seul regard, et non pas par progrs de raisonnement, au moins jusqu' un certain degr. Et ainsi il est rare que les gomtres soient fins, et que les esprits fins soient gomtres; cause que les gomtres veulent traiter gomtriquement les choses fines, et se rendent ridicules, voulant commencer par les dfinitions, et ensuite par les principes; ce qui n'est pas la manire d'agir dans cette sorte de raisonnement. Ce n'est pas que l'esprit ne le fasse; mais il le fait tacitement, naturellement et sans art, car l'expression en passe tous les hommes, et le sentiment n'en appartient qu' peu. Et les esprits fins, au contraire, ayant accoutum juger d'une seule vue, sont si tonns quand on leur prsente des propositions o ils ne comprennent rien, et o, pour entrer, il faut passer par des dfinitions et des principes striles, et qu'ils n'ont pas accoutum de voir ainsi en dtail, qu'ils s'en rebutent et s'en dgotent. Mais les esprits faux ne sont jamais ni fins ni gomtres. Les gomtres qui ne sont que gomtres ont donc l'esprit droit, mais pourvu qu'on leur explique bien toutes choses par dfinitions et par principes: car ils ne sont droits que sur les principes bien claircis. Et les esprits fins qui ne sont que fins, ne peuvent avoir la patience de descendre jusqu'aux premiers principes des choses spculatives et d'imagination, qu'ils n'ont jamais vues dans le monde et dans l'usage. PASCAL. On peut regarder la gomtrie comme une logique pratique, parce que les vrits dont elle s'occupe, tant les plus simples et les plus sensibles de toutes, sont par cette raison, les plus susceptibles d'une application facile et palpable des rgles du raisonnement. D'ALEMBERT. J'ai insinu que les Mathmatiques taient fort utiles pour accoutumer l'esprit raisonner juste et avec ordre; ce n'est pas que je croie ncessaire que tous les hommes deviennent des mathmaticiens: mais lorsque par cette tude, ils ont acquis la bonne mthode du raisonnement, ils peuvent l'employer dans toutes les autres parties de nos connaissances... L'algbre donne de nouvelles vues et fournit de nouveaux secours l'entendement... LOCKE. Il existe des vrits autres que les vrits de l'algbre, des ralits autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les sciences mathmatiques, sans vouloir les tendre au-del de leur domaine; et n'allons pas nous imaginer qu'on puisse attaquer l'histoire avec des formules, ni donner pour sanction la morale des thormes d'algbre et de calcul intgral. CAUCHY. Des lments de Gomtrie traits ainsi deviendraient en quelque sorte d'excellents lments de logique, et seraient peut-tre les seuls qu'il faudrait tudier. Lorsque l'esprit est naturellement juste, il porte avec lui la facult de reconnatre si une proposition simple est vraie ou non. Il est beaucoup plus utile d'exercer cette facult que de disserter perte de vue sur sa nature. Si l'on voulait remporter le prix de la course, on penserait plutt sans doute exercer ses jambes qu' raisonner sur le mcanisme de la marche. Les rgles, dit Condillac, sont comme des garde-fous mis sur les ponts, non pas pour faire marcher les voyageurs, mais pour les empcher de tomber. Si cela est, ainsi qu'il n'est pas permis d'en douter, il faut que les rgles soient fort simples et en petit nombre. Celles de Descartes et de Pascal me paraissent suffisantes pour les esprits droits; quant aux autres, la Gomtrie ne saurait exister pour eux. LACROIX. Nous voyons par exprience qu'entre esprits gaux, et toutes choses pareilles, celui qui a de la gomtrie l'emporte et acquiert une vigueur toute nouvelle. PASCAL. SOCRATE.--Faisons donc une loi ceux qui sont destins chez nous remplir les premires places de s'appliquer la science du calcul, de l'tudier, non pas superficiellement, mais jusqu' ce que, par le moyen de la pure intelligence, ils soient parvenus connatre l'essence des nombres; non pour faire servir cette science, comme les marchands et les ngociants, aux ventes et aux achats, mais pour l'appliquer aux besoins de la guerre, et faciliter l'me la route qui doit la conduire de la sphre des choses prissables la contemplation de la vrit et de l'tre. GLAUCON.--Fort bien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOCRATE.--Si l'on demande ceux qui s'occupent de cette science: De quel nombre parlez-vous? O sont ces units telles que vous les supposez, parfaitement gales entre elles, sans qu'il y ait la moindre diffrence, et qui ne sont point composes de parties? Mon cher Glaucon, que crois-tu qu'ils rpondent? GLAUCON.--Je crois qu'ils rpondraient qu'ils parlent de ces nombres qui ne tombent pas sous les sens et qu'on ne peut saisir autrement que par la pense. SOCRATE.--Ainsi, tu vois, mon cher ami, que nous ne pouvons absolument nous passer de cette science, puisqu'il est vident qu'elle oblige l'me se servir de l'entendement pour connatre la vrit. GLAUCON.--Il est certain qu'elle est merveilleusement propre produire cet effet. SOCRATE.--As-tu aussi observ que ceux qui sont ns calculateurs, ayant l'esprit de combinaison, ont beaucoup de facilit pour presque toutes les autres sciences et que mme les esprits pesants, lorsqu'ils se sont exercs et rompus au calcul, en retirent du moins cet avantage d'acqurir plus de facilit et de pntration? GLAUCON.--La chose est ainsi. SOCRATE.--Au reste, il te serait difficile de trouver beaucoup de sciences qui cotent plus apprendre et approfondir que celle-l. GLAUCON.--Je le crois. SOCRATE.--Ainsi, par toutes ces raisons nous ne devons pas la ngliger; mais il faut y appliquer de bonne heure ceux qui seront ns avec un excellent caractre. GLAUCON.--J'y consens. PLATON. Ceux qui ne voient dans les mathmatiques que leur utilit d'application ordinaire, en ont une ide bien imparfaite; ce serait, en vrit, acqurir bien peu de chose grands frais; car, except les savants et quelques artistes, je ne vois gure personne qui ait besoin de la Gomtrie ou de l'Algbre une fois dans sa vie. Ce ne sont donc ni les thories, ni les procds, ni les calculs en eux-mmes, qui sont vritablement utiles, c'est leur admirable enchanement, c'est l'exercice qu'ils donnent l'esprit, c'est la bonne et fine logique qu'ils y introduisent pour toujours. Les mathmatiques jouissent de cet avantage inapprciable, et sans lequel il serait le plus souvent superflu de les tudier, c'est qu'il n'est pas ncessaire de les savoir actuellement pour en ressentir les avantages, mais il suffit de les avoir bien sues; toutes les oprations, toutes les thories qu'elles nous enseignent peuvent sortir de la mmoire, mais la justesse et la force qu'elles impriment nos raisonnements restent; l'esprit des mathmatiques demeure comme un flambeau qui nous sert de guide au milieu de nos lectures et de nos recherches; c'est lui, qui, dissipant la foule oiseuse des ides trangres, nous dcouvre si promptement l'erreur et la vrit; c'est par lui que les esprits attentifs dans les discussions les plus irrgulires reviennent sans cesse l'objet principal qu'ils ne perdent jamais de vue; c'est ainsi qu'ils abrgent le temps et l'ennui, recueillent sans peine le fruit des bons ouvrages et traversent ces vains et nombreux volumes o se perdent les esprits vulgaires. Si les mathmatiques ont trouv beaucoup de dtracteurs, c'est que leurs lumires importunes dtruisent tous les vains systmes o se complaisent les esprits faux. C'est que si les mathmatiques cessaient d'tre la vrit mme, une foule d'ouvrages ridicules deviendraient trs srieux; plusieurs mme commenceraient d'tre sublimes; mais il tait bien naturel que les esprits suprieurs et les meilleurs crivains ne parlassent des sciences exactes qu'avec une sorte d'admiration; les grands hommes, dans quelque genre que ce soit, ne ravalent jamais les grandes choses; ils tchent de s'y lever. POINSOT. Si l'esprit d'un homme s'gare, faites-lui tudier les mathmatiques; car dans les dmonstrations, pour peu qu'il s'carte, il sera oblig de recommencer. F. BACON. L'avancement, le perfectionnement des mathmatiques sont lis la prosprit de l'tat. NAPOLON. Une rigoureuse discipline de l'esprit prpare aux devoirs militaires, et l'on ne peut douter que les tudes mathmatiques contribuent former cette facult d'abstraction indispensable aux chefs pour se faire une reprsentation intrieure, une image de l'action, par laquelle ils se dirigent en oubliant le danger, dans le tumulte et l'obscurit du combat. HERMITE. Le sicle est plus que jamais domin par les mathmatiques RAMBAUD. Lors de la cration de l'Universit impriale, on dut enseigner le franais, le latin et les mathmatiques. Ce n'tait pas assez, mais nous enseignons trop de choses maintenant. Nul n'atteindra la gloire de Newton, dit Lagrange, car il n'y avait qu'un monde dcouvrir. Ce qui passe la gomtrie nous surpasse. PASCAL. Aucune investigation humaine ne doit s'appeler vraie science, si elle ne passe pas par les dmonstrations mathmatiques. LONARD DE VINCI. Mesurer, c'est savoir. KEPLER. L'action de nos sens et celle de notre entendement ont des bornes; le calcul n'en a pas. PORTALIS. Nous devons plutt nous fier au calcul algbrique qu' notre jugement. EULER. La vie n'est bonne qu' tudier et enseigner les mathmatiques. POISSON. Le commentaire de Bachet sur Diophante ne fera pas diminuer le prix du pain, remarquait le judicieux Malherbe. Le dessin, dit Condorcet, est la gomtrie des yeux, la musique est celle des oreilles. L'Art est la plus haute expression d'une arithmtique intrieure et inconsciente. LEIBNIZ. ... tous nos esprits mathmatiques, polytechniques, soi-disant positifs, tous ceux qu'on a appels spirituellement de bons esprits faux. SAINTE-BEUVE. Le calcul est ncessaire tous ceux qui ne savent pas, ou qui ne peuvent pas, ou qui ne veulent pas beaucoup penser. DE RAMSAY. Le bon sens ne perd jamais ses droits: opposer l'vidence une formule dmontre, c'est peu prs comme si, pour refuser un homme le droit de vivre, on allguait devant lui un acte de dcs authentique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les mathmatiques ne doivent pas dgnrer en une dbauche de logique. J. BERTRAND. L'analyse pure, c'est l'esprit du nombre s'aiguisant lui-mme. Je comparerai volontiers les lumires des mathmatiques ces ples soleils du nord, sous lesquels on reste glac... Ils ne font clore que des fleurs sans parfum et des fruits sans saveur. DUPANLOUP. Une logique rigoureuse, la recherche et l'amour de la vrit pour elle-mme, forment la partie _morale_ des mathmatiques, qui par l appartiennent essentiellement l'cole stoque. Offrir la jeunesse, au dbut de la vie, des applications _utiles_, des mthodes d'_approximation_, comme objet principal d'tude, c'est dnaturer le but de l'ducation et cela peut avoir de funestes rsultats. Toutefois, il ne faut pas confondre cette _rigueur_ avec la manie dmonstrative, qui, se dfiant du sens commun, enlve au lecteur toute spontanit.... Savoir ce qu'il ne faut pas dire est un art difficile, qu'on rencontre rarement. O. TERQUEM. L'idal de l'amiti, c'est de se sentir un et de rester deux. Mme SWETCHINE. Celui qui compte dix amis, n'en a pas un. Un homme est un chiffre: deux hommes placs ct l'un de l'autre valent dix fois davantage; trois hommes en valent cent, quand ils ont mis ensemble leur esprit, leur argent et leur bonne volont. B. FRANKLIN. La vie morale de l'goste est l'quivalent exact de l'unit multiplie par elle-mme. SAUVAGE. Dans tout ce que l'on entreprend, il faut donner les deux tiers la raison et l'autre tiers au hasard. Augmentez la premire fraction, vous serez pusillanime; augmentez la seconde, vous serez tmraire. NAPOLON. Par la dfinition du point, de la ligne, de la surface, et par d'autres principes trs familiers, nous parvenons des connaissances qui mesurent enfin le ciel et la terre. LA FONTAINE. Les transformations de l'me sont lentes; elles ne se font qu'avec la douleur multiplie par le temps. LE P. DIDON. Les mathmatiques pures sont une clef d'or qui ouvre toutes les sciences. V. DURUY. Crer en nous l'art de raisonner, et surtout de raisonner gomtriquement, n'est qu'une bien faible partie de l'ducation. Ce sont les sentiments qui nous mnent, et non pas la logique ni la gomtrie. A. CROISET. Rien n'est moins applicable la vie qu'un raisonnement mathmatique. Une proposition, en fait de chiffres, est dcidment fausse ou vraie; sous tous les autres rapports, le vrai se mle avec le faux... Mme DE STAL. La gomtrie est la meilleure et la plus simple de toutes les logiques, la plus propre donner de l'inflexibilit au jugement et la raison. C'est la lime sourde de tous les prjugs populaires..... DIDEROT. La logique a emprunt les rgles de la gomtrie sans en comprendre la force..... Je suis bien loign de mettre les logiciens en parallle avec les gomtres qui apprennent la vritable manire de conduire la raison..... La mthode de ne point errer est recherche de tout le monde. Les logiciens font profession d'y conduire, les gomtres seuls y arrivent, et hors de leur science il n'y a point de vritable dmonstration. PASCAL. ------ Pascal confond l'art avec la science, et parce que les logiciens ne conduisent pas infailliblement au vrai, il immole la logique ses chres mathmatiques. C'est Leibniz qui a pleine raison quand il dit, contrairement Pascal: La logique des gomtres est une extension ou promotion particulire de la logique gnrale. Les mathmatiques empruntent donc la puissance de leur forme la logique, loin de la lui donner. BARTHLEMY SAINT-HILAIRE. ------ La raison mathmatique se contente de fournir, dans le domaine le plus favorable, un type de clart, de prcision et de consistance dont la contemplation familire peut seule disposer l'esprit rendre les autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature. AUG. COMTE. En mathmatiques, comme ailleurs, la raison profonde des choses, le fond mystrieux de l'tre sur lequel nous spculons ou que nous observons, nous chappera peut-tre toujours; peut-tre aussi l'inquitude qui en rsulte pour nos intelligences est-elle l'aiguillon secret de cette passion que les savants apportent dans leurs recherches. J. TANNERY. Il est toujours utile de penser juste, mme sur des sujets inutiles. Quand les nombres et les lignes ne conduiraient absolument rien, ce seraient toujours les seules connaissances certaines qui aient t accordes nos lumires naturelles, et elles serviraient donner notre raison la premire habitude et le premier pli du vrai..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'esprit gomtrique n'est pas si attach la gomtrie qu'il n'en puisse tre tir et transport d'autres connaissances. Un ouvrage de morale, de politique, de critique, peut-tre mme d'loquence, en sera plus beau, toutes choses d'ailleurs gales, s'il est fait de main de gomtre. FONTENELLE. Le raisonnement mathmatique est si particulier et si exclusif qu'une fois matre d'un cerveau, il s'en empare en entier et le rend inapte, pour ainsi dire, aux autres manires, pourtant aussi lgitimes, d'arriver la vrit. DELBOEUF. ------ Ne restons pas mathmaticien partout et quand mme. Il y a un vieil adage: _purus mathematicus, purus asinus_. Montucla dit plus poliment que parmi les hommes qui se sont distingus en mathmatiques, il y en a toujours eu un grand nombre dont la sagacit ne sortait pas du domaine gomtrique. Le got de l'exactitude, l'impossibilit de se contenter de notions vagues, de s'attacher des hypothses quelque sduisantes qu'elles soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions et le but o elles tendent, sont les fruits les plus prcieux de l'tude des mathmatiques. LACROIX. Les nuances dlicates des ides morales chappent la rigueur des raisonnements mathmatiques, et une habitude trop exclusive de ceux-ci porte assez souvent l'esprit vouloir tout rduire des rgles invariables, des principes absolus; mthode si dangereuse, quand on l'applique au gouvernement des socits humaines, ou seulement aux rapports particuliers qui nous lient avec les autres hommes. CUVIER. L'tude des mathmatiques nous accoutume un enchanement de dductions logiques dans lequel chaque anneau se rattache au prcdent; elle donne ainsi de la continuit l'attention, de la cohrence aux ides; elle apprend l'intelligence saisir les points fondamentaux d'un raisonnement, et classer avec ordre les divers lments de conviction, en leur accordant leur juste degr d'importance; qualits que l'on rencontre trop rarement dans le monde. WHEWELL. Les mathmatiques donneront une fausse prcision, une rigueur apparente qui masque la faiblesse des raisonnements, une raideur inflexible qui multiplie les erreurs, les rend irrparables et empche la juste notion des choses. Hlas! qu'il y a peu de mathmatiques dans les choses de la vie: elles sont complexes, changeantes, faites de finesses, de sous-entendus, de dtails, et impossibles exprimer par une formule. CHANDOS. ------ Les mathmatiques partout, une chimre de quelques esprits simplistes. Il ne faut pas abuser des meilleures choses. Dans les Mathmatiques, la censure et la critique ne peuvent tre permises tout le monde; les discours des rhteurs et les dfenses des avocats n'y valent rien. VITE. Les vrits mathmatiques doivent tre juges par des mathmaticiens. COPERNIC. Depuis huit jours, j'ai vu le premier rayon de lumire; depuis trois, j'ai vu le jour; enfin, cette heure, je vois le soleil de la plus admirable contemplation. Rien ne me retient plus, je m'abandonne mon enthousiasme; je veux braver les mortels par l'aveu franc que j'ai drob les vases d'or des gyptiens, pour en former mon Dieu un tabernacle loin de l'gypte idoltre. Si l'on me pardonne, je m'en rjouis; si l'on s'irrite, je me rsigne. Le sort en est jet, j'cris mon livre. On le lira dans l'ge prsent ou dans l'avenir, que m'importe! Il peut attendre son lecteur: Dieu n'a-t-il pas attendu six mille ans pour se donner un contemplateur de ses oeuvres? KEPLER. ------ Certains prtendent que les mathmatiques desschent le coeur. Il me semble que je n'ai t qu'un enfant jouant sur le bord de la mer et trouvant, tantt un caillou plus poli, tantt un coquillage plus joli que les autres, tandis que le vaste ocan de la Vrit s'tendait inexplor devant moi. NEWTON. L'tude des mathmatiques peut distraire des grandes douleurs: elle absorbe l'homme tout entier. BOISTE. Le but unique de la Science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et, ce titre, une question de la thorie des nombres vaut autant qu'une question du systme du monde. JACOBI. Les mathmatiques sont une forte cole de logique applique: elles nous forment indirectement bien raisonner sur d'autres sujets que les nombres et les lignes. ------ Vous aimez, vous voulez le vrai; il importe que vous soyez pntrs de la mthode l'aide de laquelle on le dcouvre et on l'tablit. Cette mthode est la mme, qu'il s'agisse des plus hautes spculations ou des questions de la vie ordinaire; ce n'est pas le syllogisme presque exclusivement dtaill jadis: il condamne la dduction lorsqu'elle est fautive, mais il n'apprend pas la mettre en mouvement, pour augmenter la connaissance. La mthode gnrale, c'est l'analyse, non pas l'insuffisante analyse de Condillac, qui se borne dcomposer le tout en ses parties pour le mieux tudier, mais cette analyse plus large et plus fconde que les Anciens nous ont transmise. Chaque fois que l'esprit veut chercher ou prouver, il substitue plusieurs reprises la chose en question une chose dont elle est la consquence jusqu' ce qu'il arrive une chose connue. Le succs dpend du choix des relais; c'est un art prcieux, dit Leibniz, que celui de s'aviser quand il faut de ce qu'on sait. On peut ainsi dfinir rapidement l'analyse pour la rappeler ceux qui la connaissent, mais une pratique longue et attentive est seule capable d'en faire une habitude aise et dfinitive. Les mathmatiques, par la clart et le petit nombre des donnes primitives,--car l non plus on ne dfinit pas tout et on ne prouve pas tout,--les mathmatiques fournissent la premire application, l'application commode, je dirai mme indispensable de l'analyse. Platon crivant sur la porte de son cole: que nul n'entre ici s'il n'est gomtre, dclarait incapable d'aborder les questions philosophiques ceux qui n'avaient pas d'abord appris raisonner en gomtrie. On admet au dbut quelques notions, quelques propositions qui brillent par elles-mmes et c'est avec elles seules que toute la science se fait. Nous devons ainsi Euclide et ses successeurs une trame serre de vrits utiles ou curieuses, enchanes dans un bel ordre. Mais ce n'est pas assez de comprendre la doctrine des matres, il faut pouvoir y rattacher vous-mmes les problmes nouveaux et dcouvrir aussi votre tour: voil pourquoi on soumet vos efforts des exercices mathmatiques nombreux et gradus. D'une part, vous apprenez, par la dmonstration des thormes et la vrification des problmes, tirer d'un principe ses consquences, et de l'autre vous apprenez, par l'invention des problmes et par l'exposition des thormes,--lorsque le professeur cherche devant vous,-- rattacher un fait particulier aux principes d'o il dcoule. Plus tard, je le crains et je m'y rsigne, vous oublierez le dtail de Legendre et vos propres travaux, mais toute cette gomtrie aura aiguis votre esprit, vous serez experts sur tout sujet dgager d'une ide ce qu'elle contient, substituer une question d'autres questions plus aises, avancer vers la solution. Cette solution, vous ne l'atteindrez pas toujours, mais vous aurez d'autant plus de chances de l'atteindre que vous serez mieux dresss chercher, chercher patiemment, mthodiquement. Tout au moins, vous n'humilierez pas la raison, en tirant le faux du vrai. Presque toujours et quel que soit l'objet qui vous occupe, vous aurez recours une analyse progressive, tenace, prudente qui vous prservera des aventures. Il ne faut pas cependant bannir de la recherche, dans les sciences et ailleurs, une certaine hardiesse, l'audace mme. Parfois l'inventeur, heureusement inspir, court vers le but et l'atteint en sautant les intermdiaires. Mais il doit ensuite serrer la chane logique, autrement sa dcouverte ne serait dfinitive, ni pour les autres ni pour lui-mme. ------ Trois groupes d'esprits ne mritent pas qu'on leur livre des vrits. Les premiers n'en font aucun usage, ils sont inertes, ils ne vont jamais en avant, ce sont des enfants trop faibles pour marcher seuls. Les seconds croyant raisonner rencontrent l'erreur, ils marchent, mais, hlas! c'est pour tomber souvent. Les troisimes ne sont plus plaindre mais fltrir, ils faussent le vrai de parti pris, ce sont des sophistes, ils connaissent la route, mais ils suivent les chemins tortueux qui les mnent o leur passion veut. Une consciencieuse frquentation des sciences vous vitera d'tre classs dans ces catgories: vous saurez et vous voudrez marcher seuls et marcher droit. Vous repousserez non seulement le faux, mais encore l'incomplet, l'approximatif, le vague qui nous envahissent. Voil l'ennemi de tous les jours, ennemi fuyant, insaisissable. Que d'assertions qui ne sont pour ainsi dire, ni vraies ni fausses, que de penses peine bauches, chappant par l mme la rfutation! La faute en est aux hommes seulement littraires, sans lest scientifique, ils sont frivoles et vains, ils dissertent avec facilit sur ce qu'ils ignorent. Vous vous tairez, lorsque vous n'aurez rien dire; mais lorsque vous parlerez, lorsque vous crirez, ce sera judicieusement, fermement, chaque mot signifiera. ------ J'ai jusqu'ici suppos expressment des principes faciles, clairs et certains, comme le sont ceux des sciences formes, mais, dans beaucoup de spculations, on n'a pas cette commodit. De l un pril grave contre lequel vous vous tiendrez en garde. Les esprits rigoureux, qui sont mal partis, avancent hroquement en ligne droite; srs de leurs dductions, ils sont d'une tnacit dplorable, ils proclament, ils imposent leurs conclusions telles quelles, comme des dogmes. Un historien irrit est all jusqu' accuser les hommes de science des malheurs de la patrie vers la fin du sicle dernier. Vous vous arrterez donc ds le seuil,--c'est absolument indispensable,--vous vous arrterez longtemps sur les ides et les assertions fondamentales, et vous ferez porter directement sur elles tout l'effort de votre attention. Cette tude intrinsque des principes est souvent complique, quelquefois impuissante, mais malheur qui la nglige. Il n'y a presque rien dire de gnral sur cette tude; elle dpend de la justesse, de la force, de la finesse native ou acquise de l'esprit; mais elle dpend surtout de la nature des questions: vous invoquerez tantt des axiomes, tantt l'observation, cette grande matresse, tantt des conventions, tantt des hypothses. Quoi qu'il en soit, n'oubliez jamais que, tant valent les prmisses, tant valent les dductions; pesez de votre mieux ces prmisses, et si elles sont seulement probables, recevez aussi comme seulement probable tout ce que vous en tirerez. Le raisonnement garde dans tous les cas sa valeur relative, et, au pis aller, vous aurez cette consolation de ne pas ajouter l'imperfection des donnes. ------ Le domaine de la pure raison est vaste et soumis des rgles absolues, mais il y a ct des domaines plus libres. Vous ne serez pas positif toujours et quand mme, vous ne traiterez pas avec une rigueur trop grande des sujets qui ne comportent pas cette rigueur. Je veux parler d'abord des tudes dont les lments sont trop complexes: la politique, une fois d'accord avec la morale, doit tre flexible et tenir grand compte des races, des moeurs, des traditions; la mdecine s'occupe de la matire anime que les lois physiques ordinaires ne rgissent pas seules, elle varie ses prescriptions d'aprs le temprament et l'esprit du malade; le droit lui-mme laisse beaucoup l'apprciation du juge, parce que nos codes, malgr leur tendue, ne peuvent pas prvoir tous les cas, toutes les circonstances. Je veux parler en second lieu des questions toutes de nuance et d'impression personnelle: de certains sentiments qui naissent et grandissent mystrieusement dans l'me, de l'art qui choisit et pure les belles ralits, du got individuel, de la posie. Il faut laisser en paix l'humanit, croire, esprer, rver. N'allez pas criant tout propos et hors de propos: Pourquoi cela? Qu'est-ce que cela prouve? Mot de je ne sais quel mathmaticien aprs la lecture de l'_Iphignie_ de Racine. Lorsque votre imagination s'veille, laissez-la voler sa fantaisie. Ne prenez pas de grosses balances pour peser des toiles d'araigne. Ces ides dont j'ai fait deux classes et qui, pour des motifs diffrents, chappent la dduction formelle, ont leur grande importance, leur irrsistible attrait; vous vous garderez de les ddaigner, comme incertaines ou futiles. Pascal a tort d'affirmer que ce qui passe la gomtrie nous surpasse. ------ Quelques-uns ont une estime outre, exclusive, pour la forme du raisonnement en mathmatiques, forme concise, sche, nerveuse et tout fait dplace dans beaucoup de questions susceptibles pourtant de prcision. Du reste, la rigueur est dans le fond mme du raisonnement, et, s'il est faible, vous aurez beau le couper de conjonctions et lui donner un faux dehors scientifique. Spinosa ne fortifie gure sa philosophie en la disposant par thormes et par corollaires, il rend seulement son accs plus difficile. N'imitez pas ces formalistes impitoyables qui distinguent, divisent, subdivisent et arrivent parfois sacrifier le fond la forme et quelle forme! Ils font comprendre ce vers paradoxal: Et le raisonnement en bannit la raison. Vous voilerez cet appareil et vous craindrez de compromettre une bonne cause par une argumentation peut-tre exacte mais raide, hrisse, rebutante. Il convient, dans la vie, de varier, de dlayer un peu les preuves, de les fleurir discrtement, enfin d'avoir raison avec un certain agrment. Il est un autre travers du mme genre, mais plus spcial. C'est celui d'invoquer le secours de l'Algbre, de ses signes et de ses quations, l o elle n'a rien voir. Ne s'est-on pas avis de traiter algbriquement l'conomie politique? Pour qu'un problme puisse tre mis en quation, il faut que ses donnes soient d'une simplicit, d'une nettet bien rares. Presque toujours les nombreuses quations de condition, alors qu'on pourrait les crire, embarrasseraient le calcul qui se tranerait pniblement. N'oubliez pas d'ailleurs que le calcul n'est qu'un instrument, il ne facilite pas l'analyse par une vertu propre, il ne dirige pas l'esprit, il doit tre dirig par lui. Cet instrument ne travaille que quelques matires, mais alors que vous pourriez lui soumettre des conceptions peu prcises qu'il aiderait dployer, il ne leur donnerait aucune consistance. En rsum, les mathmatiques, par leurs types excellents d'analyse, nous apprennent, suivant l'expression de Descartes, conduire par ordre nos penses et nous prparent ainsi aux divers travaux de l'esprit et aux affaires de la vie, parce que l'_analyse sert partout_. Il y a cependant quelques prils, quelques abus signaler: l'adhsion trop confiante aux principes, le traitement trop rigoureux de certains sujets, un got trop prononc pour la forme du raisonnement gomtrique et pour la mise en formules. VARITS ET ANECDOTES Quittant la rgion svre des gnralits, des principes et des abstractions, reposons-nous, en observant les Savants et la Science par le ct familier. Nous faisons un petit classement des aperus et des anecdotes runis ici, mais le lecteur peut feuilleter au hasard. MOEURS, OPINIONS. DISTRACTIONS DE SAVANTS UN GOMTRE Je passais l'autre jour sur le Pont-Neuf avec un de mes amis: il rencontra un homme de sa connaissance qu'il me dit tre un gomtre; et il n'y avait rien qui y part, car il tait dans une rverie profonde: il fallut que mon ami le tirt longtemps par la manche et le secout pour le faire descendre jusqu' lui, tant il tait proccup d'une courbe qui le tourmentait peut-tre depuis plus de huit jours!... Son esprit rgulier toisait tout ce qui se disait dans la conversation. Il ressemblait celui qui, dans un jardin, coupait avec son pe la tte des fleurs qui s'levaient au-dessus des autres. Martyr de sa justesse, il tait offens d'une saillie, comme une vue dlicate est offense par une lumire trop vive. Rien ne lui tait indiffrent, pourvu qu'il ft vrai. Aussi, sa conversation tait-elle singulire. Il tait arriv ce jour-l de la campagne avec un homme qui avait vu un chteau superbe et des jardins magnifiques; et il n'avait vu, lui, qu'un btiment de soixante pieds de long sur trente-cinq de large et un bosquet long de dix arpents (_sic_); il aurait souhait que les rgles de la perspective eussent t tellement observes, que les alles des avenues eussent paru partout de mme largeur; et il aurait donn pour cela une mthode infaillible. Il parut fort satisfait d'un cadran qu'il y avait dml; et il s'chauffa fort contre un savant qui tait auprs de moi, qui malheureusement lui demanda si ce cadran marquait les heures babyloniennes. Un nouvelliste lui parla du bombardement du chteau de Fontarabie; et il nous donna soudain les proprits de la ligne que les bombes avaient dcrite en l'air; et charm de savoir cela, il voulut en ignorer entirement le succs. MONTESQUIEU. ------ Le mathmaticien exclusif ne voit en chaque chose qu'un prtexte pour calculer. ROUTE ROYALE Le roi Ptolme ayant demand Euclide de lui rendre plus faciles les mathmatiques, celui-ci rpondit: Il n'y a pas de route royale en Gomtrie. Il tait meilleur courtisan que l'Alexandrin, ce chimiste professant devant un prince: Monseigneur, ces gaz vont avoir l'honneur de se combiner devant vous. DERNIRE CONVERSATION J'ai t bien mal avant-hier, dit Lagrange, je me sentais mourir; mon corps s'affaiblissait peu peu, mes facults morales et physiques s'teignaient insensiblement; j'observais avec plaisir la progression bien gradue de la diminution de mes forces, et j'arrivais au terme sans douleur, sans regrets, et par une pente bien douce; c'est une dernire fonction qui n'est ni pnible ni dsagrable... Quelques instants de plus, et il n'y avait plus de fonctions, la mort tait partout... Je voulais mourir, oui, je voulais mourir; mais ma femme n'a pas voulu: j'eusse prfr une femme moins bonne, moins empresse ranimer mes forces, et qui m'et laiss finir doucement. J'ai fourni ma carrire; j'ai acquis quelque clbrit dans les mathmatiques. Je n'ai ha personne; je n'ai point fait de mal; il faut bien finir. IL EST FACILE DE VOIR Une fois, ayant demand Laplace quelque explication sur sa mcanique cleste, je le vis passer prs d'une heure tcher de ressaisir la chane des raisonnements qu'il avait supprims en disant ngligemment: _il est facile de voir que..._ BIOT. DFIS ET PARIS Autrefois les mathmaticiens se proposaient des problmes les uns aux autres, ils cachaient leurs propres solutions et le gagnant recevait une somme d'argent. Les correspondances des savants au XVIe et au XVIIe sicles sont pleines de piquants dtails ce sujet. Le P. Mersenne tait souvent pris pour arbitre. L'Acadmie des sciences a maintenant rgularis ces concours, en proposant des questions et en donnant des prix. Pascal soumit aux recherches des savants ses problmes sur la cyclode, en promettant une forte somme. Wallis seul trouva les principales rponses. Le grand Descartes, au service de la Hollande en 1617, vit contre un mur une affiche en flamand qu'il se fit traduire par un passant. Il s'agissait d'un problme difficile propos par un gomtre. Descartes le rsolut sur le champ. Jean Bernoulli tenait en mdiocre estime les travaux de son fils Daniel. Un jour que le pre et le fils avaient concouru dans un de ces tournois, le mmoire du fils fut prfr celui du pre qui ne pardonna jamais Daniel de l'avoir emport sur lui. AUTOBIOGRAPHIE On lit dans celle que Leibniz a laisse: Taille moyenne. Figure ple. Mains froides. Pieds et doigts longs. Cheveux d'un brun fonc, droits et non friss. Vue basse ds l'enfance. Corps maigre. Voix mince, mais claire, haute plutt que forte. Difficult de prononcer les gutturales et le _R_. Aimant les odeurs fortes, les spiritueux; les choses sucres et le sucre. Ayant l'habitude de mettre du sucre dans son vin. N'est jamais ni trop gai, ni trop triste. Se passionne promptement en penses et en paroles et peut peine se modrer, mais devient bientt calme et doux. Got mdiocre pour la conversation, mais la prfrant aux jeux de cartes et aux exercices qui exigent du mouvement. Menant et aimant de prfrence une vie sdentaire. Souriant plus souvent que riant. Colre prompte et courte. Commenant une entreprise avec hsitation et la continuant ferme, avec persvrance. Mmoire mdiocre. Plus affect d'un petit mal prsent que d'un grand mal pass. DPUT MUET On raconte que Newton, qui fut membre de la Chambre des Communes, y restait silencieux et distrait. Il n'ouvrit la bouche qu'une fois pour prier un huissier de fermer une fentre qui produisait un courant d'air. Peu parlementaire, quoique anglais, mais pratique. DOUZE FOIS DOUZE? Lagny, le mathmaticien, tait l'agonie; on le croyait dj mort, lorsqu'un de ses confrres lui demanda: Douze fois douze? Cent quarante-quatre, rpondit faiblement le moribond. D'autres prtendent que l'exprience a t faite sur l'abb Bossut. LE TONNEAU Comme je venais de me marier, dit Kepler, la vendange tant abondante et le vin bon march, il tait du devoir d'un bon pre de famille d'en faire provision et de garnir ma cave. Ayant donc achet plusieurs tonneaux, quelques jours aprs, je vis arriver mon vendeur pour fixer le prix en mesurant leur capacit: sans excuter aucun calcul, il plongeait une baguette de fer dans chaque tonneau et dclarait immdiatement leur contenance. Sous l'influence d'un bon gnie qui sans doute tait gomtre, les constructeurs de tonneaux leur ont prcisment donn la forme qui, pour une mme longueur donne la ligne mesure par les jauges, leur assure la plus grande capacit possible; et comme aux environs du maximum les variations sont insensibles, les petits carts accidentels n'exercent aucune influence apprciable sur la capacit, dont la mesure expditive est par suite suffisamment exacte. ..... Qui peut nier que la nature seule, sans aucun raisonnement, puisse engendrer la gomtrie, lorsqu'on voit nos tonneliers, conduits par leurs yeux et par l'instinct du beau, deviner la forme qui se prte le mieux une mesure exacte! GOMTRE AU POUVOIR Gomtre de premier rang, Laplace ne tarda pas se montrer administrateur plus que mdiocre; ds son premier travail, nous reconnmes que nous nous tions tromp. Laplace ne saisissait aucune question sous son vritable point de vue; il cherchait des subtilits partout, n'avait que des ides problmatiques, et portait enfin l'esprit des _infiniment petits_ jusque dans l'administration. NAPOLON. MODESTIE Je vais dans quelques jours entrer dans ma quatre-vingtime anne; j'ai dj vcu prs de deux ans de plus que M. de Lagrange qui n'a vcu que soixante-dix-sept ans et soixante-dix-sept jours, et d'un an de plus que M. de Laplace qui a vcu soixante-dix-huit ans moins dix-huit jours; je dois donc compter un un les jours qu'il plaira Dieu de m'accorder, et je n'ai pas un moment perdre pour achever la tche que j'ai entreprise dans la vue de complter, par un dernier effort, mes travaux sur les fonctions elliptiques et sur les transcendantes analogues..... C'est, en effet, la gloire de M. Abel que je mettrai dans tout son jour, en faisant voir que son thorme gnralise l'infini tous ceux que l'immortel Euler avait dcouverts sur les fonctions elliptiques. Une nouvelle branche d'analyse, bien plus vaste que celle des fonctions elliptiques, est ouverte par ce thorme admirable. LEGENDRE. AVEUGLES Saunderson, quoique aveugle, fut professeur de mathmatiques et d'optique, l'Universit de Cambridge. Le clbre Euler tait aveugle, lorsqu'il composa son algbre, si simple et si attrayante. Plateau, de Gand, atteint de ccit, a continu ses recherches sur les figures d'quilibre des liquides. Le jeune aveugle Penjon, qui suivait les cours du lyce Charlemagne, a eu en 1806 un prix de mathmatiques au concours gnral et il a t nomm professeur de ces sciences au lyce d'Angers. ------ L'homme pense plus librement lorsqu'il ferme les yeux: il est moins distrait par les choses extrieures. ------ On appelle problme de Molyneux (gomtre anglais du XVIIIe sicle) le problme suivant: Un aveugle-n devenu subitement clairvoyant par une opration, pourrait-il tout d'abord et sans le secours du toucher distinguer une sphre d'un cube et dire: Voici la sphre et voil le cube? SUR L'CHAFAUD Le 12 novembre 1793, lorsque l'astronome Bailly, ancien maire de Paris, fut conduit l'chafaud, un des gardes l'interpella: Tu trembles, Bailly. Oui, je tremble, rpondit ce dernier, mais c'est de froid. SAVANTS FOUS Le clbre algbriste Cardan, qui tait mdecin, a cherch si les remdes agissent d'aprs les progressions arithmtiques ou gomtriques des doses. Ayant foi en l'astrologie, il avait tir son horoscope et rgl en consquence sa fortune. Mais le terme qu'il avait fix tant arriv, il se trouva rduit une si grande misre qu'il dut mettre fin ses jours. ------ Un autre, Fatio de Duiller, avait annonc qu'il ressusciterait un mort, mais le mort rsista. ------ Il y a peu d'annes, l'Acadmie des sciences a dcern le prix dans un concours de hautes mathmatiques un mmoire dont l'auteur s'est trouv tre un pensionnaire de la maison nationale de Charenton. Il n'y avait pas d'inadvertance. Le mmoire tait de tout premier mrite, d'autre part, l'auteur n'avait pas du tout song protester d'une faon dtourne contre son sort. Sa raison tait atteinte, mais non pas le casier des mathmatiques. Et qui sait si ce n'est pas l'activit de cette portion privilgie de la matire crbrale qui avait atrophi une partie du reste? DEUX TRISTES PERSONNAGES L'un est le trop fameux Libri, savant et rudit, auteur d'une histoire des Mathmatiques en Italie, qui a pill nos bibliothques dont il tait l'Inspecteur. Il s'est sauv en Angleterre, il a t condamn par les tribunaux, et il est mort misrablement en 1869. Notre Bibliothque nationale a pu racheter la plupart des livres rares dont elle avait t dpouille. ------ L'autre est l'escroc Vrain Lucas qui a mystifi le gomtre Chasles en lui vendant, de 1867 1869, des autographes d'aprs lesquels Pascal aurait fait la plupart des dcouvertes attribues Newton. Le faussaire a t condamn deux ans de prison: il avait avou avoir fait et trafiqu plus de vingt mille faux autographes. MARIAGE Dans ce temps-l, sauf de rares exceptions, les savants, les mathmaticiens surtout, taient regards dans le monde comme des tres d'une nature part. On aurait voulu leur interdire le concert, le bal, le spectacle, comme des ecclsiastiques. Un gomtre qui se mariait semblait enfreindre un principe de droit. Le clibat passait pour la condition oblige de quiconque s'adonnait aux sublimes thories de l'analyse. Le tort tait-il tout entier du ct du public? Les gomtres ne l'avaient-ils pas eux-mmes excit voir la question sous ce jour-l?... D'Alembert reoit indirectement de Berlin la nouvelle que Lagrange vient de donner son nom une de ses jeunes parentes. Il est quelque peu tonn qu'un ami avec lequel il entretient une correspondance suivie ne lui en ait rien dit. Cela mme ne le dtourne pas d'en parler avec moquerie: J'apprends, lui crit-il, que vous avez fait ce qu'entre nous philosophes nous appelons le saut prilleux... Un grand mathmaticien doit, avant toutes choses, savoir calculer son bonheur. Je ne doute pas qu'aprs avoir fait ce calcul, vous n'ayez trouv pour solution le mariage. Lagrange rpond de cette trange manire: Je ne sais pas si j'ai bien ou mal calcul, ou, plutt, je crois ne pas avoir calcul du tout; car j'aurais peut-tre fait comme Leibniz qui, force de rflchir, ne put jamais se dterminer. Je vous avouerai que je n'ai jamais eu de got pour le mariage,... mais les circonstances m'ont dcid... engager une de mes parentes... venir prendre soin de moi et de tout ce qui me regarde. Si je ne vous en ai pas fait part, c'est qu'il m'a paru que la chose tait si indiffrente d'elle-mme, qu'il ne valait pas la peine de vous en entretenir. ARAGO. RECONSTRUCTION Le gnral Poncelet, officier du gnie sous le premier empire, fut fait prisonnier pendant la terrible guerre de Russie et intern Saratof, sur le Volga. Lorsque, pour se distraire, il voulut travailler les mathmatiques, il constata qu'il les avait compltement oublies, par suite du froid et de la fatigue. Alors, sans aucun livre, il reconstitua peu peu toutes ces sciences sa manire. Il a conserv et publi ses notes, pleines d'aperus nouveaux et tout fait personnels. PORTRAITS Le _mathmaticien_, du flamand Bol, est au muse du Louvre. Le savant, en noir, tient d'une main une rgle et de l'autre il montre une figure gomtrique; il est grave et semble mditer.--Il y a aussi _un mathmaticien_, de Vlasquez, au muse de Besanon. UNE CASQUETTE Lorsqu'en 1826, Abel, mathmaticien sudois, vint Paris voir nos savants, il tait coiff d'une casquette trange qui lui nuisit beaucoup. Abel, mort jeune, avait du gnie: c'est lui qui a dcouvert les fonctions dites abliennes et tabli l'impossibilit de la rsolution _algbrique_ des quations de degr suprieur au quatrime. DNOMINATEUR LA MAISON Dans un cours public, le professeur, M. Lefbure de Fourcy, crivant au tableau d'aprs ses notes une trs longue formule, dut s'excuser en disant: Messieurs, j'ai oubli le dnominateur la maison. DISTRACTIONS Distrait comme un mathmaticien, est un dicton justifi. Le grand Newton a donn le mauvais exemple: un jour, ne voulant pas interrompre son travail, il se prparait un oeuf la coque, lorsqu'au bout d'un moment, il s'aperut qu'il tenait l'oeuf la main et qu'il avait fait cuire sa montre secondes, bijou du plus grand prix, cause de sa prcision. Le mme Newton avait habitu ses chats s'installer sans faon dans son cabinet de travail, mais la longueur des calculs du savant lassait souvent leur patience proverbiale. Les vieux matous allaient se mettre en expectative prs de la porte; les plus jeunes, plus impatients, miaulaient imprieusement pour qu'on leur ouvrt. Continuellement interrompu, le savant se dcida faire une chattire juste assez grande pour laisser passer les petits flins qui taient les plus turbulents de la troupe. Mais les gros, qui voyaient les petits aller et venir leur guise, se livrrent un tel sabbat que Newton prit enfin le parti de faire pratiquer une grande chattire _ ct de la petite_. ------ Ampre, surnomm le distrait, remarqua, une fois qu'il se rendait son cours, un petit caillou sur son chemin, et comme il n'tait pas un savant exclusif, il le ramassa et l'examina. Tout coup, le cours qu'il doit faire revient son esprit, il tire sa montre, s'apercevant que l'heure approche, il double prcipitamment le pas, remet le caillou dans sa poche et lance sa montre par-dessus le parapet du pont des Arts. Ampre ne manquait jamais, lorsqu'il avait termin une dmonstration sur le tableau, l'cole polytechnique, d'essuyer les chiffres avec son mouchoir et de remettre dans sa poche le torchon traditionnel, toutefois, bien entendu, aprs s'en tre pralablement servi. Enfin Ampre se mit un jour calculer sur la caisse noire d'un fiacre, avec le bout de craie qu'il portait toujours sur lui. Le fiacre se mettant en marche, le mathmaticien le suivit en courant pour continuer ses quations. ------ Mais, voici qui est plus fort: on raconte qu'un gomtre, dont le nom nous chappe, quittant Paris pour aller se marier en province et craignant d'oublier la chose, avait crit en grosses lettres sur son calepin me marier en passant Tours. AUTEUR EMBARRASS De tous les mtiers actuels, le plus dur est celui d'crire des livres de mathmatiques, et surtout des livres astronomiques. Si, en effet, vous oubliez d'observer la rigueur propre des propositions et de leur enchanement, des dmonstrations et des conclusions, le livre n'offre pas le caractre mathmatique. Si, au contraire, vous en tenez compte, la lecture devient trs pnible... Moi-mme,... lorsque je viens relire le prsent ouvrage, je sens les forces de mon esprit s'affaiblir pendant que je rappelle mon souvenir, en voyant les figures, les lments des dmonstrations que, ds l'origine, j'avais tires de mon esprit, pour les traduire... en langage ordinaire. Aussi, pendant que je remdie l'obscurit du sujet par un tissu de circonlocutions, me semble-t-il que, par un dfaut contraire, je deviens trop verbeux en matire mathmatique. Or la prolixit a aussi son obscurit, non moins que la concision extrme.... KEPLER. DE L'ARGENT La reine d'Angleterre, ayant daign visiter une nuit l'Observatoire de Greenwich, exprima Bradley l'intention de lui faire allouer un traitement plus convenable. Je supplie Votre Majest de ne pas donner suite son projet, rpliqua Bradley. Si la place de Directeur rapportait de l'argent, ce ne serait plus un astronome qui demeurerait ici. NEZ PERDU L'astronome Tycho-Brahe, voyageant en Allemagne, se prit de querelle avec un savant, propos d'un thorme. Un duel s'en suivit, et le pauvre Tycho y perdit son nez! Il dut s'en faire mouler un en cire. BONS JOUEURS C'est une ide trs gnralement rpandue que la plupart des personnes que l'on sait adonnes aux mathmatiques passent aussi pour tre habiles au jeu d'checs. Ce jugement est habituellement formul par des gens qui, ne connaissant pas le jeu d'checs, s'imaginent qu'en raison de sa difficult et de la grande attention qu'il exige, il emprunte ncessairement des ressources l'emploi des mathmatiques, qu'il ne saurait tre convenablement jou que par des mathmaticiens, et enfin, qu'il doit tre naturellement jou par des mathmaticiens. Il est pourtant bien tabli que le jeu d'checs n'a aucune relation avec les mathmatiques. Il n'y a pas eu et il n'y aura sans doute jamais d'ouvrage traitant de la thorie mathmatique du jeu d'checs, pas plus d'ailleurs que du jeu de dames; tandis qu'il existe des tudes mathmatiques du jeu d'cart (Dormoy), du jeu de billard (Coriolis), et de certains autres. Il est prsumer que si les mathmaticiens passent pour connatre ou aimer le jeu d'checs, c'est sans doute parce que les mathmaticiens ayant l'esprit familiaris avec les notions de rapport et de combinaison, aperoivent rapidement le pour et le contre de chaque trait du jeu. Mais, encore une fois, s'il existe,--et nous en connaissons,--des mathmaticiens trs habiles au jeu d'checs, il ne s'en suit vraiment pas qu'on puisse tendre cette qualit tous les mathmaticiens indistinctement. Voir, dans Edgar Poe, l'_Automate joueur d'checs_. Aucun coup dans le jeu des checs ne rsulte ncessairement d'un autre coup quelconque. BONHOMIE L'acadmicien Ozanam, l'auteur des _Rcrations mathmatiques_, disait qu'il appartient la Sorbonne de disputer, au pape de dcider et au mathmaticien d'aller au ciel en ligne perpendiculaire. MODESTIE Sturm, lorsqu'il parlait du clbre thorme qu'il a dcouvert, disait: le thorme dont j'ai l'honneur de porter le nom. COUP DE FOUDRE Parfois le mathmaticien rflchit longtemps sur une question sans parvenir rien trouver et tout coup, parfois mme au moment o il y songe le moins, une ide se prsente son esprit et l'envahit tout entier; puis, sans tre arrte par aucun obstacle, elle se dveloppe et amne aprs elle la srie de ses consquences logiques: c'est un trait de lumire; tout ce qui avait embarrass le savant devient clair, tout s'explique et s'enchane; il est dans une sorte d'ivresse dlicieuse, de transport, d'extase. Mais parfois il est pris de craintes et de scrupules: il tremble d'avoir cru trop vite aux suggestions de son imagination et d'avoir t la dupe d'une illusion; tout cela lui semble trop beau pour tre vrai. Il revient en arrire, il contrle par le raisonnement l'exactitude de conjectures et il en reconnat la justesse, c'est--dire la rigueur logique. E. JOYAU. HUMILIT Je demande que cet ouvrage soit lu avec indulgence, et que les dfauts invitables dans une matire aussi difficile, soient moins un sujet de blme qu'une occasion de tentatives nouvelles et de recherches plus heureuses. NEWTON. ------ Cet extrait de la prface du grand livre des _Principes_ nous montre combien les hommes de gnie sont modestes. MORT D'ARCHIMDE Archimde tait seul, occup rflchir sur une figure de gomtrie, les yeux et la pense tout entiers cette mditation, et ne s'apercevant ni du bruit des Romains qui couraient par la ville, ni de la prise de Syracuse. Tout coup un soldat se prsente et lui ordonne de le suivre devant Marcellus. Archimde voulut rsoudre auparavant le problme, et en tablir la dmonstration; mais le soldat en colre tira son pe et le tua. D'autres disent que le Romain arriva droit sur lui l'pe nue pour le tuer; qu'Archimde le pria, le conjura d'attendre un instant, pour qu'il ne laisst pas son problme inachev et sans dmonstration, mais que le soldat, ne se souciant pas du problme, l'gorgea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quoi qu'il en soit, tout le monde s'accorde dire que Marcellus en fut vivement afflig; qu'il repoussa, comme sacrilge, le meurtrier d'Archimde, et qu'il fit chercher et traita honorablement les parents de la victime. PLUTARQUE. EFFORTS GLORIEUX Il est bien rude le travail que j'ai dj accompli, et bien rude celui que j'entreprends d'accomplir encore. Ce n'est ni le labeur ni la mmoire qui me conduiront au but: ils ne sont que d'humbles esclaves au service de l'ide pure qui se dirige elle-mme. Mais la mditation opinitre, celle qui brise le front, exige plus de puissance que le labeur le plus soutenu. Si grce un exercice continuel de cette mditation, j'y ai acquis quelque force, qu'on ne dise pas qu'elle me soit devenue facile par quelque heureux don de la nature. C'est un rude, bien rude travail qu'il me faut soutenir, et le tourment d'esprit que me causent ces efforts a souvent branl gravement ma sant. Mais la conscience de la force acquise me donne de mon travail la plus belle rcompense, et m'encourage de nouveau le poursuivre sans relche. Des hommes sans ides, pour qui ce travail et par suite cette conscience qu'on a de sa force sont choses tout fait inconnues, cherchent dtruire cette consolation, qui seule pourtant peut empcher l'esprit de se laisser dfaillir dans cette pnible carrire, en rendant odieuse, sous les noms de prsomption et d'orgueil, la conscience qu'on a d'tre indpendant et libre; car c'est par le mouvement seul de la pense que l'homme est libre et s'appartient. Quiconque porte en soi l'ide d'une science, ne peut manquer d'apprcier les choses d'aprs la manire dont l'intelligence humaine s'y rvle: de ce point de vue lev, bien des choses devront lui paratre futiles, qui peuvent sembler aux autres d'un assez grand prix. CHARLES-GUSTAVE JACOBI. POSTILLON En 1829, quand le grand mathmaticien (Ampre), atteint des premiers symptmes d'une maladie de larynx, voyageait sur la route d'Hyres, o il allait chercher le repos et le soleil, assis au fond d'une calche ct de son fils qui l'accompagnait, il se chargeait volontiers de payer les postillons. Aux portes d'Avignon, dans ce pays dj mridional, o le langage populaire se colore et s'accentue d'pithtes nergiques, Andr Ampre essayait laborieusement de rgler ses frais de route; mais d'un ct la distraction, de l'autre l'impatience, embrouillaient incessamment toutes ses additions. L'affaire s'arrange enfin au gr de l'Avignonnais, qui reoit son pourboire et dit d'un air de superbe ddain: En voil un _mtin_ qui n'est pas malin! O celui-l a-t-il appris _carculer_? Tout entier l'admiration que m'inspirait le gnie de mon pre, disait notre ami (J.-J. Ampre), en rappelant ses souvenirs, je l'coutais parler sur la classification des connaissances humaines, quand cet incident vint nous interrompre. Mme H. C. PARESSE Les grands gomtres connaissent cette espce de paresse, qui prfre la peine de dcouvrir une vrit la contrainte peu agrable de la suivre dans l'ouvrage d'autrui. En gnral ils se lisent peu les uns les autres, et peut-tre perdraient-ils lire beaucoup: une tte pleine d'ides empruntes n'a plus de place pour les siennes propres, et trop de lecture peut touffer le gnie. D'ALEMBERT. DSINTRESSEMENT Au retour de son voyage astronomique au Cap de Bonne-Esprance, l'abb La Caille avait obtenu la faveur de faire passer en France toutes ses malles, affranchies des droits de visite. Il pouvait, cette occasion, faire un gain considrable et l'on fut surpris, lorsqu'au lieu de prendre des marchandises, il se borna remplir une grande valise de paille et d'instruments. Quoique doux, il reut fort mal un particulier qui lui offrit alors cent mille livres comptant, s'il voulait lui transmettre secrtement son privilge. On avait allou l'astronome dix mille livres pour tous ses frais et ceux de son aide pendant l'expdition qui dura quatre ans (1750-1754). Il ne dpensa que 9145 livres et il s'empressa de rembourser le restant au trsor. Il parat qu'on fit des difficults pour accepter, le cas n'tant pas prvu par les rglements. ZOZO Le recteur de Montpellier, nomm Gergonne, tait un de ces types complets de la vieille Universit. Son visage orn d'un long nez en forme de bec corbin, ne se dridait jamais; ses lvres serres et ddaigneuses ne s'ouvraient que pour laisser passer la critique, le reproche ou des mots piquants. Malheur au professeur qui osait s'carter des bornes du programme ou quitter les routes battues! Jubinal, titulaire du cours de littrature trangre, en fit l'preuve ses dpens. Instruit de la forme un peu lgre et de la dsinvolture de son enseignement, le vieux Gergonne vint l'entendre un jour; puis le faisant appeler, le rprimanda vertement et le somma de devenir plus srieux, sous peine de suspension. Jubinal, ayant rpondu, pour s'excuser, qu'il y avait beaucoup de monde son cours:--Monsieur, dit Gergonne, de sa voix aigre et mordante comme des tenailles, Zozo, le charlatan du Peyrou, en a encore plus que vous! Ce fut un mot malheureux pour le professeur de littrature trangre, que les tudiants n'appelrent plus que Zozo. MARY-LAFON. ROBINSON Encore enfant, Lacroix s'tait mu la lecture des aventures romanesques de Robinson Cruso. Lui aussi, il voulait trouver cette le fortune o il serait possible de mener, dans la compagnie de sa mre, une vie plus tranquille et moins prouve par la pauvret. Cette ide qui a inspir plus d'un beau rve de jeunes esprits, captiva son ardente imagination et excita son ardeur pour le travail. La construction du vaisseau qui devait le transporter vers ces rives enchantes exigeait des connaissances approfondies, il les chercha dans des traits spciaux; les termes de gomtrie l'arrtaient frquemment, il en demanda l'explication et le commentaire aux cours que Mauduit faisait alors au Collge de France. C'est sur les bancs de cette cole que son rve devait finir... dix-sept ans, Lacroix professait les mathmatiques l'cole des Gardes de la Marine Rochefort. J. LORIDAN. PROFESSEURS ET TUDIANTS EXAMINATEUR On trouvait Monge inflexible chaque fois que l'intrt public semblait exiger qu'il ft prvaloir les dcisions de l'examinateur. Vous avez refus un candidat qui appartient de bien puissantes familles, lui disait le marchal de Castries, ministre de la marine. Votre dcision me donne mille tracas; je suis accabl de rclamations.--Vous tes parfaitement le matre, repartit l'austre examinateur, d'admettre le candidat qui m'a paru inacceptable; mais si vous prenez cette dcision, Monsieur le marchal, il faudra supprimer en mme temps la place que j'occupe. Les fonctions que je remplis ne seraient plus ensuite ni utiles ni acceptables. Le candidat inadmissible ne fut pas admis. RCOMPENS Dans ma longue carrire de professeur et d'examinateur, dit Lam, rien ne m'a plus tonn que la brusque et subite apparition de la facult du raisonnement mathmatique chez un lve que je suivais depuis plusieurs annes, plein de bonne volont, de zle pour le travail, du dsir de comprendre ce qu'il tait forc d'abandonner la mmoire, seule active chez lui. Un jour, un certain instant, au milieu d'une dmonstration mainte fois rpte, une porte s'ouvrit tout coup dans son esprit: il comprenait! La joie, l'motion de l'lve ne sauraient se dcrire... Ds le lendemain son lan tait pris, et il regagnait pas de gant les retards du pass, de manire primer tous ses camarades. PONCTUALIT Poisson avait un genre de mrite dont se dispensent trop souvent ceux-l mmes qui ne pourraient invoquer pour excuse le rang qu'ils occupent dans la science: l'exactitude. Jamais il ne manqua une leon sans tre retenu au lit par la maladie; jamais, tant que sa voix put se faire entendre, il ne confia un supplant la satisfaction d'initier la science la jeunesse studieuse. On pourrait vraiment, en y changeant un seul mot, appliquer ce savant les paroles qui terminent l'loge d'Euler par Condorcet: Tel jour, Poisson cessa de professer et de vivre. TOUCHANTE RCIPROQUE Jamblique raconte que Pythagore, ayant distingu un ouvrier, lui enseigna les mathmatiques, en le payant trois oboles par thorme: c'tait le prix de la journe de l'ouvrier. Bientt, pour prouver son lve, le philosophe feignit d'tre tomb dans la misre et le jeune homme lui offrit son tour trois oboles pour chaque nouveau thorme. RAIDEUR Nous empruntons Arago, le rcit de ses examens d'entre et de sortie l'cole Polytechnique. Mon camarade, intimid, choua compltement. Lorsqu'aprs lui, je me rendis au tableau, il s'tablit entre M. Monge (le jeune), l'examinateur et moi, la conversation la plus trange: Si vous devez rpondre comme votre camarade, il est inutile que je vous interroge. --Monsieur, mon camarade en sait beaucoup plus qu'il ne l'a montr; j'espre tre plus heureux que lui, mais ce que vous venez de me dire pourrait bien m'intimider et me priver de tous mes moyens. --La timidit est toujours l'excuse des ignorants; c'est pour vous viter la honte d'un chec que je vous ai fait la proposition de ne pas vous examiner. --Je ne connais pas de honte plus grande que celle que vous m'infligez en ce moment. Veuillez m'interroger, c'est votre devoir. --Vous le prenez de bien haut, monsieur! Nous allons voir tout l'heure si cette fiert est lgitime. --Allez, monsieur, je vous attends! M. Monge m'adressa alors une question de gomtrie laquelle je rpondis de manire affaiblir ses prsomptions. De l, il passa une question d'algbre, la rsolution d'une quation numrique. Je savais l'ouvrage de Lagrange sur le bout du doigt.... J'tais depuis deux heures et quart au tableau; M. Monge passant d'un extrme l'autre, se leva, vint m'embrasser et dclara solennellement que j'occuperais le premier rang sur sa liste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L'examinateur tait cette fois l'illustre gomtre Legendre. ... On venait d'emporter un lve compltement vanoui. Comment vous appelez-vous? me dit-il brusquement.--Arago, rpondis-je.--Vous n'tes donc pas Franais... M'ayant fait une question qui exigeait l'emploi des intgrales doubles, il m'arrta en me disant: La mthode que vous suivez ne vous a pas t donne par le professeur. O l'avez-vous prise?--Dans un de vos mmoires.--Pourquoi l'avez-vous choisie? tait-ce pour me sduire?--Non, rien n'a t plus loign de ma pense. Je l'ai adopte parce qu'elle m'a paru prfrable.--Si vous ne parvenez pas m'expliquer les raisons de votre prfrence, je vous dclare que vous serez mal not, du moins pour le caractre. Un professeur anglais avait habitu ses lves se lever chaque grand nom de mathmaticien qu'il prononait et pousser un hurrah lorsqu'il tait question d'Archimde ou de Newton. PETITS MANDARINS En Chine, tous les trois ans, le 8e jour de la 8e lune, les candidats sont enferms dans des espces de niches qui les isolent compltement. la porte, se tient un soldat arm d'une lance. Si deux jeunes gens parvenaient se communiquer leurs copies, ils seraient, assure un voyageur, condamns mort et excuts sur le champ (?) Chaque candidat jug par trop faible est puni, dit-on, de cinquante coups de bambou sur la plante des pieds. PRSIDENT M. Thiers, le prsident de la Rpublique, tait comme Chevreul un vieil tudiant. La gomtrie lui tait enseigne sur le tard par l'un de nos savants, M. Mannheim, qui lui parla un jour des diverses sections du cne, mais M. Thiers rpliqua: Allons donc, chacun sait que la section d'un cne de rvolution par un plan est toujours un cercle! Vous croyez, M. le Prsident, h bien, nous allons faire l'exprience sur une carotte. CORRESPONDANCE Un matre d'cole des environs de Mayence rencontra quelques difficults dans l'arithmtique qu'il enseignait aux enfants du village. Il en crivit un homme considrable attach l'lecteur et qui avait la rputation d'tre trs vers dans les sciences de calcul. quelques semaines de l, l'homme considrable s'excuse auprs du matre d'cole sur ses nombreuses occupations, de n'avoir pas rpondu plus tt, et entre ensuite dans tous les dtails ncessaires pour faire disparatre les difficults arithmtiques. Cet homme considrable se nommait Leibniz. LA HALLE Un polytechnicien, marchandant un bouquet et insult par la poissarde, rpliqua gravement, comme s'il rcitait un thorme: Eh! vas donc, vieux paralllogramme pyramide tronque, octadre rgulier, espce de secteur, quation binome, tangente, etc. Stupfaction de la femme. UN EXAMEN PRILLEUX Bezout, examinateur de la marine, arrive Toulon. Un des lves tait retenu au lit par la petite vrole; s'il n'est pas examin sur le champ, sa carrire est perdue. Bezout n'a pas eu la petite vrole, il redoute extrmement les atteintes de cette terrible maladie; nanmoins il se rend dans la chambre de l'lve, l'examine et le reoit. SENIOR WRANGLER l'Universit de Cambridge, les tudiants d'lite terminent leurs tudes par une srie d'examens sur les hautes mathmatiques et le laurat, ou _senior wrangler_, est encore plus ft que notre Prix d'honneur au concours gnral. En 1890, les examinateurs ont dclar que, s'ils avaient eu le droit de comprendre dans le classement final les jeunes filles autorises seulement prendre une part platonique au concours, c'est miss Philippa Fawcett qui aurait remport la victoire. LES TROIS HUIT Certains pdagogues amricains ont rsum ainsi l'emploi du temps qu'ils proposent pour la jeunesse et qui consiste rpartir la journe galement entre le travail, le repos ordinaire et le sommeil. On sait que, de leur ct, des socialistes rclament aussi la rduction huit heures de la journe du travailleur, mme lorsqu'il est agriculteur ou pcheur. DANS L'INDE Il n'est pas rare... de voir des oprations de mathmatiques, multiplications de facteurs plusieurs chiffres, transformations algbriques ou trigonomtriques faites de tte en un clin d'oeil par de trs jeunes enfants. LE P. GOUB. ------ Les petits Indiens marchent ainsi sur les traces de leurs anctres. Consulter _Les Mathmatiques aux Indes_, par Delbos. RESPONSABILIT Charg de corriger les compositions crites du concours d'admission l'cole polytechnique, Le Verrier crit son pre: Le concours crit dont je suis seul charg est une sorte de magistrature que j'exerce et dont je comprends toute la porte; je ne dormirais plus, si je pensais que, par distraction, j'ai pu commettre une de ces injustices si cruelles pour un jeune homme et qui tuent son avenir. J'ai trop ressenti, il y a peu d'annes, les douleurs d'un candidat pour ne pas considrer leurs droits comme sacrs. FORT EN THME Nous lisons dans un petit livre anonyme sur l'enseignement: Le fort en thme et le fort en _x_ vivent en assez bonne intelligence, en se faisant des concessions rciproques. Le premier ne croit point la supriorit relle de son mule. Le second est d'une indulgence crasante pour les toquades de l'autre. GRAND'SOIF Aux examens de l'cole polytechnique, en 1833, l'Examinateur M. Reynaud, ayant appel un candidat absent, demande un lve de bonne volont, pour le remplacer. Le jeune Catalan, pouss par ses camarades, se risque, quoiqu'il n'ait jamais assist un examen. Pauvrement et grotesquement vtu, il a l'air d'un jeune sauvage. Il hsite au dbut, puis il se relve et mme il brille. Aprs avoir longuement parl, il aperoit un verre, une carafe d'eau, du sucre, et... il se prpare un verre d'eau sucre. M. Reynaud accourt, et s'crie: tes-vous indispos? Non, Monsieur, mais voil longtemps que je parle: j'ai grand'soif! L'apparente effronterie n'tait que de la navet. La lgende dura plusieurs annes: Catalan qui boit le verre d'eau de l'examinateur! ENFANTS ET IGNORANTS ENFANT TERRIBLE Toto tait interrog avec bonhomie par son pre sur la soustraction: Si tu as huit pommes et que tu m'en donnes trois, combien t'en reste-t-il?--Le tout petit rplique aussitt: Si j'ai cinq-z-yeux et que tu m'en crves six, combien qu'i'm'en reste? TROP COURT On dit un enfant de faire une mesure avec le mtre, il essaye mais en vain: le mtre n'tait pas assez long! REP... D'MATH... _Loulou._--Rptiteur d'math... _Papa._--Hein? _Loulou_, condescendante.--... matique... mathmatiques... nous disons math... c'est plus court... _Papa._--En effet... _Loulou._--C'est du reste pour toi qu'j'avais dit rptiteur d'math... car on doit dire: l'rep... d'math... c'est le vrai genre... _Papa._--Ah!... c'est le genre!... et pourquoi as-tu un rptiteur de math... puisque math... il y a? _Loulou._--Parc'que c'est ce qui me chante l'moins!... j'suis oblige d'les bcher trs dur, ces sales math!... GYP. PAROLE D'HONNEUR Lorsqu'au temps jadis, le duc d'Angoulme fut nomm grand-matre de la Marine, on s'aperut avec stupeur qu'il savait peine compter. Immdiatement le plus clbre gomtre de France fut mand pour l'instruire _en la mathmatique_, comme on disait alors. Mais c'est en vain qu'il tenta d'en dmontrer les principes les plus lmentaires son auguste disciple. Celui-ci l'coutait avec une exquise politesse, mais en hochant la tte avec un doux air d'incrdulit.--Un jour, bout d'arguments, le pauvre matre s'cria: Monseigneur, je vous en donne ma parole! Que ne le disiez-vous plus tt! Monsieur, rpondit le duc en s'inclinant: je ne me permettrai plus jamais d'en douter. FACTIES GOMTRIQUES Deux paysans ont chang leurs champs, l'un carr de 6m de ct, l'autre rectangulaire de 9m de long sur 3 de large, chacun des champs ayant ainsi 24m de tour. Le second paysan se prtend ls. Mon arrire-grand-pre, ayant emprunt un sac de bl de 6 pieds de haut sur 4 pieds de large, en a ensuite rendu quatre de 6 pieds aussi de haut et d'un pied de large chacun. Le prteur n'a pas accept. Un jardinier a droit l'eau que lui apporte un conduit circulaire. Il paye pour avoir le double d'eau et il double cet effet le diamtre du conduit. On lui fait un procs. ENTTEMENT Bernardin de Saint-Pierre ne comprenait pas la question du rayon de courbure de l'ellipsode terrestre et il fatiguait l'Institut de ses notes. Apprenez le calcul diffrentiel, lui dit un jour Napolon, et vous lverez vous-mme vos ridicules objections. Voir la prface de _La chaumire indienne_ o l'on trouve l'explication des mares par la fonte des neiges polaires. PEU INTELLIGENT Arago, qui fut un admirable vulgarisateur dans ses cours de l'Observatoire, regardait toujours celui de ses auditeurs qui lui paraissait tre le moins intelligent, et lorsque cet auditeur lui semblait avoir compris, il tait assur de la clart de sa dmonstration. Or, un jour, dans un salon o il venait de raconter ce fait, un jeune homme entra, qu'il ne connaissait pas et dont il eut subir les saluts les plus empresss. -- qui ai-je l'honneur de parler? lui demanda-t-il. --Oh! monsieur Arago, vous devez bien me connatre, car j'assiste assidment vos leons, et vous ne cessez de me regarder pendant tout le temps. CHEZ LES TURCS On rapporte qu'un ambassadeur, visitant une cole suprieure de Constantinople, proposa de dmontrer que la somme des angles d'un triangle est gale deux angles droits. Aprs mres rflexions, le collge des Muhendis ou des gomtres conclut l'exactitude de la proposition pour le triangle quilatral. Olry Terquem, auquel nous empruntons l'anecdote, s'est tromp. Le baron de Tott dit, dans ses mmoires, qu'il lui fut rpondu: C'est selon le triangle. POLICE VOLE D'aprs un journal de la Triplice (ne pas confondre avec la triple _x_), la police russe a fait emprisonner un voyageur porteur d'une Table de logarithmes qu'elle considre comme une longue correspondance chiffre des plus compromettantes. Nous faisions l'cole, un usage plus gai de nos tables de logarithmes: nous les chantions... d'aprs la mthode Chev. DCIMTRE CARR Sous le gouvernement de Juillet, il a t promulgu une loi sur le Timbre et l'Enregistrement dans le texte de laquelle le dcimtre carr tait confondu avec le dixime du mtre carr. Les instituteurs ont bien ri. Plus rcemment, la Chambre a impos les verres vitre dont la surface est suprieure 50 centimtres de ct. JEUNE ANGLAIS Dickens raconte qu'un tudiant, ayant nglig l'arithmtique, procdait toujours par addition. Il entra un jour dans une boutique d'picerie et l'utilit de la multiplication lui fut enfin rvle. COMPLAISANCES ASTRONOMIQUES Un monsieur porteur d'une carte d'entre l'Observatoire pour observer une clipse arriva trop tard: Je connais particulirement Arago, affirma-t-il, il aura la bont de recommencer pour moi. ------ Des signaux de triangulation ayant t tablis prs du chteau de M. X..., dput, on s'exclamait sur sa grande influence qui lui avait permis de faire passer le mridien dans son domaine. ------ Un orateur de club, voulant chapper au bon plaisir des administrateurs municipaux d'Auxerre, demandait que les noms des quartiers du Nord, de l'Est, du Sud et de l'Ouest fussent tirs au sort. COMTES Un jour viendra o le cours des comtes sera connu et assujetti des rgles comme celui des plantes. SNQUE. ------ Je viens vous annoncer une grande nouvelle: Nous l'avons, en dormant, Madame, chapp belle. Un monde prs de nous a pass tout du long, Est chu tout au travers de notre tourbillon; Et s'il et en chemin rencontr notre terre, Elle et t brise en morceaux comme verre. MOLIRE. Nous avons ici une comte qui est bien tendue, c'est la plus belle queue qu'il soit possible de voir. Tous les plus grands personnages sont alarms et croient que le ciel, bien occup de leur perte, en donne des avertissements par cette comte. On dit que le cardinal Mazarin, tant dsespr des mdecins, les courtisans crurent qu'il fallait honorer son agonie d'un prodige, et lui dirent qu'il paraissait une grande comte qui leur faisait peur. Il eut la force de se moquer d'eux, et leur dit plaisamment que cette comte lui faisait trop d'honneur. En vrit on devrait en dire autant que lui, et l'orgueil humain se fait aussi trop d'honneur de croire qu'il y ait de grandes affaires dans les astres quand on doit mourir. Mme DE SVIGN. ------ Comtes que l'on craint l'gal du tonnerre, Cessez d'pouvanter les peuples de la Terre: Dans une ellipse immense achevez votre cours; Remontez, descendez prs de l'astre du jour; Lancez vos feux, volez et revenant sans cesse, Des mondes puiss ranimez la vieillesse. VOLTAIRE. ------ D'avance, l'avenir, nous crivons leur route: Nous disons celui qui n'est pas encor n, Quel jour, au point du ciel, tel astre ramen Viendra de sa lueur clairer l'tendue, Et rendre au firmament son toile perdue. LAMARTINE. OPINIONS AMRES L'enseignement mathmatique fait l'homme machine et dgrade la pense. L'me d'un peuple n'est pas ce chiffre muet et mort l'aide duquel il compte des quantits et mesure des tendues: la toise et le compas en font autant. LAMARTINE. ------ Dfiez-vous des ensorcellements et des attraits diaboliques de la gomtrie. FNELON. ------ Un mathmaticien de plus, un homme de moins. DUPANLOUP. ------ Le naturaliste Owen demandait en souriant une sous-classe, celle de l'_homo mathematicus_. ASTROLOGIE L'astrologie est la fille de l'astronomie, mais c'est la fille trs folle d'une mre trs sage. VOLTAIRE. ------ De quoi vous plaignez-vous, philosophes dlicats, si une fille que vous estimez folle soutient et nourrit sa mre qui est sage mais pauvre? Les hommes ne sont-ils pas encore plus fous de ne pouvoir supporter la mre qu' cause des folies de sa fille? Pensez-vous qu'ils eussent jamais tudi la science pour elle-mme, s'ils n'eussent espr d'arriver ainsi lire l'avenir dans le ciel? Si vous prtendez que la science vous mne la philosophie, vous attendrez longtemps. KEPLER. ------ Le grand Kepler, pour se procurer quelque argent et continuer ses travaux, dut se rsigner publier des almanachs avec des prophties. ARCHITECTE MAL PAY Le premier des czars, Ivan IV, demanda un gomtre combien il faudrait de briques pour construire un btiment rgulier dont il lui indiqua les dimensions. La rponse fut rapide et l'exprience la justifia, aussi Ivan, dit le terrible, fit-il brler le calculateur..... comme sorcier. GAL ZRO Un gentilhomme, membre amateur de l'Ancienne Acadmie des Sciences, ayant entendu disserter sur les quations, n'abordait plus ses confrres de mathmatiques qu'en leur demandant: Est-ce que c'est toujours gal zro? CLIPSE DU COLONEL On annonait une clipse de soleil. La veille au soir, le colonel d'un rgiment fait venir tous les sergents et leur dit: Une clipse de soleil aura lieu demain matin. Le rgiment se runira sur la place d'armes en petite tenue. Je viendrai moi-mme expliquer l'clipse avant l'exercice. Si le temps est couvert, on se runira au mange comme d'habitude. Aussitt les sergents de rdiger leur ordre du jour: Une clipse de soleil aura lieu demain matin, par ordre du colonel. Le rgiment se runira sur la place d'armes, o le colonel viendra diriger l'clipse en personne. Si le temps est couvert, l'clipse aura lieu dans le mange. DIX MOIS Bien avant de savoir compter, l'enfant se fait une certaine ide des nombres. M. Preyer parle d'un petit de dix mois auquel il tait impossible d'emporter une de ses neuf quilles sans qu'il s'en apert. dix-huit mois, cet enfant avait t habitu apporter sa mre deux mouchoirs qu'il remportait ensuite leur place; il ne lui en fut rendu un jour qu'un seul, il vint chercher le second avec un regard et des intonations qui indiquaient son dsir de l'obtenir. Voir sur les ides enfantines de grandeur et de nombre les expriences de M. Binet, dans la _Revue philosophique_ de juillet 1890. VALEUR RELATIVE Un marin, arrivant d'Australie, avec une caisse de coquillages prcieux, en prend un et se rend chez un marchand de curiosits. --Voulez-vous m'acheter ce coquillage? --Certainement, c'est superbe, j'en donne vingt-cinq francs. --Vingt-cinq francs, s'crie le marin avec joie, mais me voil riche, j'en ai apport six mille. --Doucement, dit le marchand, si vous en avez six mille... a vaut deux sous pice. CANCRE Il passait pour tel, ce pauvre garon, jusqu' l'incident qu'il nous raconte ainsi: Mon attention tait si tendue, que par moment je retenais mon haleine, comme un plongeur. Pas pas, je suivis la dmonstration, et je fus littralement abasourdi, lorsque le professeur arriva la conclusion, en m'apercevant que j'avais tout compris jusqu'au dernier mot. Aprs la joie de dcouvrir la vrit par lui-mme, la plus grande joie pour un homme, dans l'ordre des joies de l'esprit, est celle de concevoir la vrit dmontre. Il est probable que mon contentement se marqua sur ma figure car, lorsque le professeur se retourna de notre ct, il me sembla que c'tait moi qu'il regardait plus particulirement. Quand il demanda, comme d'habitude: Quelqu'un dsire-t-il venir au tableau pour reprendre cette dmonstration? quelques mains se levrent, la mienne fut du nombre. Pourquoi? Comment? Je ne saurais vraiment le dire, car lorsque je m'en aperus, il me sembla qu'elle s'tait leve spontanment, de sa propre autorit, sans me demander mon assentiment. Ce fut moi que le professeur dsigna d'un signe de tte plein de bienveillance. JULES GIRARDIN. FIN DU MONDE Lalande avait prpar en 1773 pour l'Acadmie des sciences un mmoire qu'une circonstance quelconque l'empcha de lire. Le bruit se rpandit dans le public que l'astronome y prdisait courte chance la destruction de notre plante. L'motion fut telle que le lieutenant de police demanda lire le mmoire; il n'y trouva rien d'alarmant et, pour calmer les esprits, il en ordonna la publication immdiate. Toutefois beaucoup de personnes restrent persuades qu'on avait supprim le passage menaant. On lit dans une chanson de l'poque: Oui, de vous landerirette Monsieur Lalande rira. TREIZE TABLE Voyez-vous treize humains en troupe, Attabls et mangeant la soupe, Sachez que l'un d'iceux sera Trpass quand l'an finira. Le _Club des treize_ a t fond Londres pour combattre les superstitions: les tables comportent toujours treize couverts et le menu est toujours compos de treize plats. LENTEMENT L'enfant ne fait d'abord de distinction qu'entre l'objet simple et la pluralit. l'ge de 18 mois seulement il distingue entre un, deux et plusieurs. En Europe, il faut arriver l'ge de 10 ans pour apprcier l'ide de centaine. L'enfant peut sans doute rpter par coeur la srie avant ce moment, mais sans dterminer intellectuellement le nombre dans son abstraction. HOUZEAU. LONGVIT Nous lisons dans une pice de vers Louis XVIII: Grand Dieu, c'est pour Louis que mon zle t'implore Prolonge ses jours prcieux! Laisse-nous en jouir quelques sicles encore! VITE C'est deux lieues, mon petit ami.--Mais en marchant vite, bien vite? NAF On a surpris un pauvre enfant s'acharnant rduire une fraction, une seule fraction,.. au mme dnominateur! Le mme, interrog sur les triangles semblables, traa un seul triangle au tableau: soit le triangle semblable ABC.... CONSCIENCIEUSE Madame ***, qui a du temps perdre, mesure chaque fois le diamtre et la circonfrence. N'essayez pas de lui expliquer... Elle fait comme ses aeules. Une autre dame, moins consciencieuse, faisait ainsi le compte de son ge: Je me suis marie 18 ans; mon mari en avait trente et il en a maintenant le double... donc j'ai 36 ans. Vous devez vous tromper, Madame, vous paraissez plus jeune que vous ne dites. PHILOSOPHIE SALADE Hier, raconte Kepler, fatigu d'crire et l'esprit troubl par des mditations sur les atomes, je fus appel pour dner, et ma femme Barbara apporta sur la table une salade.--Penses-tu, lui dis-je, que si, depuis la cration, des plats d'tain, des feuilles de laitues, des grains de sel, des gouttes d'huile et de vinaigre et des fragments d'oeufs durs, flottaient dans l'espace, le hasard pt les rapprocher aujourd'hui pour former une salade?--Pas si bonne, coup sr, me rpondit ma belle pouse, ni si bien faite que celle-ci. COMPAS Nul ne peut d'hrsie accuser le compas, Ni dcrter qu'un corps tournant ne tourne pas. PONSARD: _Galile._ ------ La terre, nuit et jour sa marche fidle, Emporte Galile et son juge avec elle! RACINE _fils_. ------ Plus d'une erreur passe et repasse Entre les branches d'un compas. BRANGER. UN FAUX PAS Je venais de lire, dans la _Revue scientifique_, un article de mcanique sur l'art de descendre d'omnibus. J'essayai cette fois de descendre par principes et..... je me foulai un pied. DTERMINISME Le monde matriel est soumis des lois rigoureuses. Celui qui connatrait les positions exactes de tous les corps, leur masse et les forces qui les sollicitent, pourrait prdire minutieusement les plus petits mouvements des plus petits d'entre eux. Tous les vnements, dit Laplace, ceux mmes qui, par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi ncessaire que les rvolutions du soleil.... La courbe dcrite par une simple molcule d'air ou de vapeur est rgle d'une manire aussi certaine que les orbites plantaires: il n'y a de diffrence entre elles que celle qu'y met notre ignorance. Le mme savant dit encore ailleurs: Une intelligence qui pour un instant donn connatrait toutes les forces dont la nature est anime et les situations respectives des tres qui la composent, si, d'ailleurs elle tait assez vaste pour soumettre ces donnes l'analyse, embrasserait dans la mme formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus lger atome: rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le pass seraient prsents ses yeux. MORT DE LA SCIENCE Et toi, divine mort, o tout rentre et s'efface, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dlivre-nous du temps, du nombre et de l'espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LECONTE DE LISLE. ALGBRE MORALE Je divise en deux colonnes, par un trait, une feuille de papier; j'cris en tte de l'une de ces colonnes le mot _pour_, en tte de l'autre le mot _contre_..... Lorsque j'ai runi sur ce petit mmorial une masse suffisante de raisons contradictoires, je me mets en devoir de peser leurs valeurs respectives; si je trouve que _deux_ raisons (une de chaque ct) soient de mme poids, je les limine toutes les deux; qu'_une_ raison _pour_ gale deux raisons _contre_, je supprime le tout; que _deux_ raisons _contre_ galent _trois_ raisons _pour_, j'efface les _cinq_, et ainsi de suite, jusqu' ce que je trouve enfin de quel ct penche la balance. B. FRANKLIN. ------ L'arithmtique est d'un besoin journalier et continuel dans le moral autant que dans les affaires; car, en cette vie, o tout est ml de probabilits et de doutes, de projets et d'obstacles, de demi-plaisir et de peine, tout est affaire de calcul. DIDEROT. ------ La morale est l'arithmtique du bonheur. VINET. ------ Il y a une morale plus haute. RELATIVIT Lorsque nous disons d'un arbre qu'il est grand ou petit, nous le comparons implicitement la moyenne stature des arbres au-dessus ou au-dessous de laquelle nous entendons exprimer qu'il se trouve, et nous ne pouvons nous exprimer ainsi que parce que la hauteur des arbres a deux limites qui mme ne se trouvent pas trs distantes l'une de l'autre; mais il ne saurait plus en tre de mme d'objets dont la grandeur ou la petitesse n'ont plus de limites ncessaires et celui qui, par exemple, demanderait une ligne droite de grandeur ordinaire, ferait une question dont l'ineptie serait manifeste pour tout le monde. Nous ne connaissons donc des grandeurs que les rapports qui existent entre elles, et c'est aussi tout ce qu'il nous est possible d'en faire connatre autrui. En vain tenterait-on de torturer la langue, d'y introduire des mots ou des tours nouveaux, jamais on ne parviendrait lui faire exprimer une grandeur indpendamment de quelque autre grandeur de sa nature. TERQUEM. TROP POSITIF Il faut bien distinguer entre la gomtrie utile et la gomtrie curieuse... Carrez des courbes tant qu'il vous plaira: vous montrez une extrme sagacit. Vous ressemblez un arithmticien qui examine les proprits des nombres au lieu de compter sa fortune... Un bon ingnieur vaut mieux que tous ces calculateurs de fadaises si difficiles. VOLTAIRE. ------ Je demandais un jour un grand gomtre, quoi servent les mathmatiques au-del des lments d'Euclide et de l'arithmtique dcimale.--Monsieur, me rpondit-il, cela sert faire des livres qui ne sont lus que par une demi-douzaine de personnes, faire arriver leur auteur l'Acadmie des Sciences...--J'entends bien quoi cela peut vous servir; mais moi, tout autre, quoi cela sert-il? J.-B. SAY. ------ Cet utilitarisme troit a t dj rfut plusieurs fois. LES JEUX Aprs les jeux qui dpendent uniquement des nombres, viennent les jeux o entre la situation, comme dans le tric-trac, dans les dames, et surtout dans les checs... Mais quoi bon cela? dira-t-on. Je rponds: perfectionner l'art d'inventer; car il faudrait avoir des mthodes pour venir bout de tout ce qui se peut trouver par raison. Aprs les jeux o n'entrent que le nombre et la situation, viendraient les jeux o entre le mouvement comme dans le jeu de billard, le jeu de paume, etc. Enfin, il serait souhaiter qu'on et un cours entier des jeux, traits mathmatiquement... LEIBNIZ. TRIANGLE ET POSIE Je forme un triangle, merveille! Le peuple des lois endormi S'agite avec lenteur, s'veille Et se droule l'infini. Avec trois lignes sur le sable, Je connais, je ne doute plus! Un triangle est donc prfrable Aux mots sonores que j'ai lus? SULLY-PRUDHOMME. Du mme pote: Et la terre suffit soutenir la base D'un triangle o l'algbre a dpass l'extase; L'astronomie atteint o ne meut plus l'azur. ................ C'est par une triangulation grandiose que nous calculons la distance des astres, qui se meuvent dans l'ther. Du mme encore: Ils rpondent: La cause et la fin sont dans l'ombre, Rien n'est sr que le poids, la figure et le nombre; Nous voulons conqurir un chiffre seulement. Il s'agit des positivistes qui se bornent aux faits et aux lois, sans remonter aux causes premires. GALIT CIRCULAIRE Le cercle, qui est le symbole de l'ternit, est aussi quelquefois le symbole de l'galit. Les anciens, pour ne donner de prfrence personne, ni aux dieux, ni leurs amis, crivaient leurs noms sur un cercle, de sorte que, ne leur donnant point de rang, on ne pouvait pas dire qui tait le premier, ni le second, ni le dernier dans leur estime. Tout tait gal, et l'honneur galement partag. L'institution des chevaliers de la Table ronde tait fonde sur un principe d'galit et la table tait un symbole. Dans les congrs, la table des ambassadeurs est ordinairement ronde, afin d'viter, autant que possible, les distinctions trop marques de prsance. UNE ROYAUT Les gomtres ont plus que d'autres besoin d'tre jugs par leurs pairs: la gomtrie en effet est un arcane. Elle tient ses assises part, dcerne ses prix sans phrases, et contemplant avec une juste fiert l'unit soumise en ses plus intimes profondeurs aux lois dont elle a saisi l'enchanement, se rfugie, calme et impassible, dans sa royaut silencieuse. C'est bien une royaut, en effet, et une royaut absolue qu'exerce cette science matresse qui ne connat pas le doute comme ses soeurs et n'a jamais, depuis le temps d'Euclide, bti sur le sable. JURIEN DE LA GRAVIRE. GOMTRIE ET MORALE Il y a, dit Leibniz, de la gomtrie partout et de la morale partout. C'est--dire qu'il y a du gomtrique jusque dans le moral et du moral jusque dans le gomtrique. En effet, les choses morales, les choses de l'me et de la volont, en tant qu'il s'y rencontre des rapports d'identit et de diffrence, d'galit et d'ingalit, sont sujettes la ncessit gomtrique; et, d'autre part, si la gomtrie est exclusive, dans son dveloppement, de toute ncessit purement morale, nanmoins, en juger par les travaux o on l'a rcemment le plus approfondie, elle semble avoir pour premier fondement des principes d'harmonie qu'on doit peut-tre concevoir, ainsi que l'avait sans doute compris Descartes, qui faisait tout dpendre du libre dcret de Dieu, comme l'expression sensible de l'absolue et infinie volont. On prtend, disait Aristote, que les mathmatiques n'ont absolument rien de commun avec l'ide du bien. L'ordre, les proportions, la symtrie, ne sont-ce pas de trs grandes formes de beaut? F. RAVAISSON. NOTRE PETITE TERRE Sduit par les illusions des sens et de l'amour-propre, l'homme s'est regard longtemps comme le centre du mouvement des astres; et son vain orgueil a t puni par les craintes qu'ils lui ont inspires. Enfin plusieurs sicles de travaux ont fait tomber le voile qui lui cachait le systme du monde. Alors il s'est vu sur une plante presque imperceptible dans le systme solaire, dont la vaste tendue n'est elle-mme qu'un point insensible dans l'immensit de l'espace. Les rsultats sublimes auxquels cette dcouverte l'a conduit sont bien propres le consoler du rang qu'elle assigne la terre, en lui montrant sa propre grandeur dans l'extrme petitesse de la base qui lui a servi pour mesurer les cieux. LAPLACE. CHEVEUX Je dis un jour Madame de Longueville que je pouvais parier et dmontrer qu'il y avait dans Paris au moins deux habitants qui avaient le mme nombre de cheveux, quoique je ne puisse pas marquer quels sont ces deux hommes. Elle me dit que je ne pouvais jamais en tre assur qu'aprs avoir compt les cheveux de ces deux hommes. Voici ma dmonstration, lui dis-je: je pose en fait que la tte la mieux garnie de cheveux n'en a pas plus de deux cent mille, et que la moins garnie est celle qui n'a qu'un cheveu. Si maintenant vous supposez que deux cent mille ttes ont toutes un nombre de cheveux diffrent, il faut qu'elles aient chacune un des nombres de cheveux qui vont depuis un jusqu' deux cent mille, car si on supposait qu'il y en avait deux parmi les deux cent mille qui eussent le mme nombre de cheveux, j'aurais gagn le pari. Or en supposant que ces deux cent mille habitants ont tous un nombre diffrent de cheveux, si j'y apporte un seul habitant de plus qui ait des cheveux et qui n'en ait pas plus de deux cent mille, il faut ncessairement que le nombre des cheveux, quel qu'il soit, se trouve de un jusqu' deux cent mille, et, par consquent, soit gal au nombre de cheveux de l'une des deux cent mille ttes, or au lieu d'un habitant en sus des deux cent mille, il y en a tout prs de huit cent mille, vous voyez bien qu'il faut qu'il y ait beaucoup de ttes gales en nombre de cheveux, quoique je ne les aie pas comptes. NICOLE. ------ Il parat que la clbre duchesse n'a jamais pu comprendre le raisonnement, un peu copieux, du philosophe. Schopenhauer a dit: La femme a les cheveux longs et les ides courtes. MYSTRE Parcourez le cercle des sciences, et vous verrez qu'elles commencent toutes par un mystre: le mathmaticien ttonne sur les bases du calcul des quantits imaginaires, quoique ses oprations soient trs justes; il comprend encore moins le principe du calcul infinitsimal, l'un des instruments les plus puissants que Dieu ait confis l'homme... JOSEPH DE MAISTRE. ------ Ces prtendus mystres sont devenus de moins en moins mystrieux. PLUS TARD Lorsque les lois gnrales de la nature ont t une fois bien saisies par l'esprit, lorsqu'il s'est familiaris avec le plus grand nombre des ralits matrielles de l'univers, l'tude des hautes mathmatiques devient pour lui extraordinairement attrayante: c'est alors qu'il aperoit les utiles applications des nombreuses vrits de cette science. Au contraire, les jeunes gens qui se livrent d'abord l'tude des mathmatiques pures et abstraites trouvent le plus souvent cette tude d'une aridit excessive; elle devient pour eux aussi fatigante que le serait pour d'autres la lecture du vocabulaire d'une langue qu'ils seraient certains de ne jamais parler..... DE GRANDSAGNE. MOURANT On dit que Barrow, voyant approcher la mort, en tmoigna de la joie en disant qu'il allait enfin apprendre, dans le sein de la divinit, la solution de beaucoup de problmes de gomtrie et d'astronomie..... Il aimait tellement la gomtrie qu'il avait crit ces mots la tte de son Apollonius..... Seigneur, quel gomtre tu es! Car, quoique la gomtrie n'ait point de bornes, tu vois, par une simple intuition, les vrits admirables qu'elle renferme. MONTUCLA. APPLICABLE TOUT Si l'on croit que la mthode des gomtres n'est pas applicable tout, on se trompe; si l'on prtend qu'il ne faut pas l'appliquer tout, on a raison. Chaque sujet a sa manire d'tre trait; la mthode gomtrique serait trop sche pour les matires d'agrment et nos langues trop imparfaites pour s'y prter, les acceptions des mots trop vagues, trop indtermines pour comporter cette rigueur. Mais si l'on doit se dispenser souvent de l'employer, il ne faut jamais la perdre de vue; c'est la boussole d'un bon esprit, c'est le frein de l'imagination. DIDEROT. FICTIF ET BORN Lorsqu'on prconise les mathmatiques, comme le modle par excellence d'une mthode pour apprendre raisonner, sait-on bien quelles conditions la logique de la gomtrie est si rigoureuse, pourquoi ses dmonstrations sont si videntes? Ces sciences qui se sont dcores du nom d'exactes, ne doivent cette exactitude qu' l'absence de ralit des objets sur lesquels elles oprent. Ces objets ne sont que des pures abstractions, des points de vue de l'esprit, des entits idales mais qui n'ont pas d'existence dans la nature. Toutes les proprits sont rigoureusement dtermines l'avance par la convention qui les nomme et qui les dfinit. Certainement la gomtrie est exacte; mais elle n'est pas relle. Avez-vous rencontr quelque part le triangle abstrait et la ligne droite des gomtres? O rsident les nombres spars des tres rels dont les proprits sont si multiples et si complexes, que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir tre dnombrs? Qu'est-ce qui fait enfin l'exactitude des mathmatiques? C'est l'troite simplicit des faits dont elles raisonnent; leurs formules ne sont si prcises, et si rigoureuses que parce que leur point de vue est born. Vous avez sous les yeux dix personnes, dix animaux mme ou dix plantes, et vous tes thologien ou pote. Tandis que votre esprit est entran travers les mille jugements divers que ce spectacle suggre au philosophe ou l'artiste, moi, algbriste, je raisonne des proprits du nombre dix. Dans une opration aussi simple, aussi pauvre, ct du monde de penses qui s'lve en vous, aurai-je grand sujet de me vanter si mes conclusions sont plus nettes, sont plus exactes que les vtres? DE LAPRADE. ------ Les notions mathmatiques ont, dans l'esprit, une ralit absolue. De ces ides simples, nous concluons rigoureusement toutes les proprits du nombre et de la forme, jusqu'aux plus fines et aux plus complexes. NATURALISTES Le mathmaticien se plat suivre un raisonnement rigoureux dans une direction unique. Le naturaliste, comme l'historien ou le jurisconsulte, est un homme dispos comparer plusieurs faits, dont aucun n'est absolument prouv, et plusieurs arguments, dont aucun n'est absolument rigoureux. Son travail consiste estimer des probabilits, pour conclure dans le sens le plus vraisemblable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les uns cherchent le raisonnement troit, profond et rigoureux des mathmatiques....; les autres prfrent le raisonnement large et plutt diffus, vari mais peu rigoureux des sciences d'observation. Il faut aux uns plus de force de raisonnement pour russir, aux autres plus de jugement. DE CANDOLLE. ------ Par le jugement, on pse le pour et le contre; par le raisonnement on suit les ides corrlatives. Le mathmaticien qui raisonne juste a quelquefois peu de jugement. MTAPHORES La gomtrie sert entre autres choses prouver l'esprit, comme le creuset sert prouver l'or; les bons esprits s'y raffinent, les esprits faux s'y vaporent. Les gomtres travaillent sur un terrain si solide qu'aprs y avoir pos la premire pierre, ils lvent sans crainte leurs btiments jusqu'aux cieux. Sur un terrain bien diffrent, les Philosophes btissent des difices superbes qu'on appelle systmes: ils commencent par les fonder en l'air, et quand ils croient tre parvenus au solide, le btiment s'vanouit, et l'architecte tombe des nues. R. DUFRESNY. HYPOTHSES Dans les autres sciences, dit Dugald Stewart, les propositions tablir doivent exprimer des faits, tandis que celles que les mathmatiques dmontrent, noncent seulement une _connexion_ entre certaines _suppositions_ et certaines _consquences_... Elles ont pour but, non de constater des _vrits_ concernant des existences relles, mais de dterminer la filiation logique qui dcoule d'une _hypothse_ donne. Si, partant de cette hypothse, nous raisonnons avec exactitude, il est manifeste que rien ne pourrait manquer l'vidence du rsultat. Kant fait remarquer qu'il n'y a que le concept de _quantit_ qui se prte une construction _a priori_. DBAT PDAGOGIQUE L'tude des mathmatiques est-elle favorable au dveloppement intellectuel du jeune homme? Peut-elle servir de pivot l'ducation librale? Trois philosophes anglais ont dbattu entre eux la question. Whewell veut beaucoup de mathmatiques, Hamilton les repousse (Fragments de philosophie traduits par Peisse) et Stuart Mill les exalte son tour. Nous ne pouvons rsumer cette clbre discussion; nous nous bornons trois extraits. ------ Toute personne qui s'est occupe de mathmatiques doit voir clairement la diffrence qui existe entre les mathmatiques et les faits empiriques, entre l'vidence des proprits d'un triangle et celle des lois gnrales de la structure des plantes. Le caractre spcial de la vrit mathmatique est qu'elle est ncessairement et invitablement vraie; et une des leons les plus importantes qu'on puisse retirer des tudes mathmatiques est de connatre qu'il y a des vrits de ce genre, et de nous familiariser avec leur forme et leur caractre. WHEWELL. ------ L'tude des mathmatiques, poursuivie avec modration et efficacement contrebalance, peut tre utile pour dtruire un dfaut, et dvelopper la qualit correspondante. Ce dfaut est l'habitude de la distraction; la qualit, l'habitude de l'attention soutenue. C'est l le seul avantage auquel puisse justement prtendre cette tude dans la culture de l'esprit. HAMILTON. ------ Si nous voulons bien dresser une intelligence, l'tude qui se recommande le plus nous est celle qui a l'avantage d'habituer de bonne heure l'esprit conserver en lui-mme un type de preuve complte. Un esprit ainsi meubl, s'il n'est pas suffisamment instruit des autres sujets peut commettre l'erreur de croire qu'il trouvera dans toutes les preuves une ressemblance parfaite avec le type qui lui est familier. On peut et on doit largir ce type par une grande varit d'tudes, mais celui qui ne l'a jamais acquis n'a pas le sentiment juste de la diffrence qui spare le prouv du non prouv: le premier fondement des habitudes scientifiques n'a pas t jet. STUART MILL. ------ ..... Dj Platon (Rpublique, livre VII) faisait observer que la science des nombres, en obligeant l'homme raisonner sur les nombres en soi et sur des vrits qui ne sont ni visibles ni palpables, a la vertu d'lever l'me. Les mathmatiques donnent au jeune homme la claire notion de la dmonstration et l'habituent former de longues suites d'ides et de raisonnements, mthodiquement enchans et soutenus par la certitude finale du rsultat. Aussi a-t-on pu dire, que celui qui n'a pas fait de gomtrie n'a pas le sentiment rigoureux de la certitude. Au point de vue moral, rien n'est plus propre que cette notion pour donner le respect absolu de la vrit. Les mathmatiques, l'algbre et l'analyse infinitsimale principalement suscitent un haut degr la conception des signes et des symboles, instruments ncessaires qui augmentent la puissance et la porte de l'esprit humain, en rsumant sous une forme condense et en quelque sorte mcanique tout un ensemble de relations: ces auxiliaires sont surtout prcieux en mathmatiques, parce qu'ils y sont adquats leurs dfinitions; caractres qu'ils ne possdent pas au mme degr dans les sciences physiques et naturelles. Quoi qu'il en soit, il y a l tout un ensemble de facults qui ne sauraient tre pleinement mises en jeu que par l'enseignement des mathmatiques. BERTHELOT. CULTURE D'EUCLIDE Quand un jeune homme d'un talent ordinaire commence tudier Euclide, tout l'tonne d'abord. Sa conception est incertaine et son jugement faible, il s'appuie en partie sur l'vidence de la chose, et en partie sur l'autorit du matre. Mais mesure qu'il avance travers les dfinitions, les axiomes, les propositions lmentaires, une plus grande lumire frappe ses regards. Le langage lui devient plus familier et produit des conceptions plus claires et plus nettes; son jugement s'affermit: il commence comprendre ce que c'est qu'une dmonstration, et il est impossible qu'il le comprenne sans s'y plaire; il s'aperoit que c'est une espce d'vidence indpendante de l'autorit; il lui semble qu'il sort d'un esclavage, et il se sent si fier de croire ainsi, qu'il se rvolte contre l'autorit, et voudrait avoir des dmonstrations pour toutes les vrits; il faut que l'exprience lui apprenne qu'une foule de choses ne sont pas susceptibles de cette sorte d'vidence et qu'il doit se rsigner des probabilits dans les choses qui lui importent le plus. TH. REID. CALCULS DES OUVRIERS Il faut que l'ouvrier calcule le produit comme l'emploi de ses ans, de ses mois, de ses jours, et je dirais presque de ses heures et de ses minutes. Il faut qu'il calcule ses forces et ses mouvements, pour n'en rien perdre, et pour en tirer les plus puissants rsultats. Il faut qu'il calcule et mesure les dimensions et la figure soit de ses outils, soit des objets auxquels il va donner la forme et la position requises; il faut qu'il calcule, chaque instant, des distances et des longueurs, des superficies et des volumes; il faut enfin qu'il suppute, et la quantit des matires premires, et le prix de son travail, valus d'aprs les principes de la gomtrie. CH. DUPIN. MTAPHYSIQUE ET MORALE Si quelqu'un voulait crire en mathmaticien dans la mtaphysique ou dans la morale, rien ne l'empcherait de le faire avec rigueur. Si on l'entreprenait comme il faut, je crois qu'on n'aurait pas lieu de s'en repentir. LEIBNIZ. ------ Le conseil nous parat plus facile donner qu' suivre. INTUITION L'intuition gomtrique c'est cette proprit de notre esprit qui nous permet de voir intuitivement derrire les formes relles et contingentes de notre univers physique, d'autres formes trs peu diffrentes mais simplifies, idales et se prtant, par suite de leurs dfinitions rigoureuses, la dduction gomtrique. CALINON. CALCUL Si calculer est raisonner, raisonner n'est pas calculer..... Un calcul n'est pas seulement un raisonnement, c'est un raisonnement sur des ides de quantit, et susceptible, par cette circonstance, d'tre fait avec des signes particuliers; en un mot, c'est un raisonnement ayant des caractres qui lui sont propres..... Le raisonnement est le genre, le calcul n'est que l'espce. C'est pour cela que vous pouvez transformer tout calcul en un raisonnement, mais que vous ne pouvez transformer tout raisonnement en un calcul. DESTUTT-TRACY. ------ La quantit tant par essence divisible en parties gales, les ides de grandeur jouissent de l'incommunicable proprit de pouvoir tre exactement reprsentes dans des symboles, chiffres ou lettres. Cette exacte rigueur d'expression permet l'esprit de concentrer son attention sur les symboles seuls, et en les combinant d'aprs des rgles trs simples, ce qui constitue _le calcul_. C'est ce qui fait que la forme, en mathmatiques, prend une si grande importance: une notation simplifie peut y amener une rvolution, comme il est arriv en algbre par l'introduction des exposants numriques, due Descartes. Telle est cette vertu merveilleuse des symboles, qu'on peut les employer avec succs sans tre en tat d'en saisir la vraie nature. Longtemps le calcul diffrentiel a dvoil les secrets les plus cachs de la quantit, avant qu'on ft parvenu lui assigner une base rationnelle. F. HUET. MOTS ET SIGNES Les signes et les mots, employs dans les raisonnements mathmatiques, reprsentent vritablement les choses elles-mmes; dans ce cas, lorsque nous employons le langage ou les signes, nous n'introduisons pas, en en faisant usage, des notions trangres; nous n'excluons non plus, raison de cette circonstance, rien qui se rapporte au fait dont il s'agit. W. HERSCHEL. SYLLOGISMES Voyez dans les _Lettres d'Euler une princesse d'Allemagne_ l'ingnieuse reprsentation de la thorie du syllogisme par les positions relatives des cercles. ------ Leibniz rappelle le mmorable exploit de deux logiciens zls mais de lourde cervelle, Herlinus et Dasypodius, qui mirent en syllogismes formels les six premiers livres d'Euclide. PLUS HAUT Vous apprenez les principes des sciences, soit mathmatiques, soit physiques, qui contiennent les lois de la nature: ce n'est pas proprement pour en connatre l'usage matriel; c'est surtout pour apprendre et vrifier que tout dans la nature est nombre, proportion, harmonie; c'est, davantage encore, pour acqurir, en considrant les nombres qui constituent les corps, une plus pleine conscience de ces autres nombres que notre me renferme, et par lesquels elle juge ceux du dehors, comme l'ont dit Platon et Shaftsbury; c'est enfin pour acqurir cet usage des rapports et des proportions intellectuels qui est l'exercice propre de la raison et qu'on appelle la logique. F. RAVAISSON. RAISONNEMENT Les tudes suivies l'cole polytechnique sont loin d'tre uniquement destines faire connatre une suite de calculs, de formules, de figures, de phnomnes physiques et chimiques. Leur utilit principale est d'exercer cette facult de l'intelligence laquelle on donne le nom de raisonnement. LAM. PARFAITEMENT Un avantage de l'tude de la gomtrie est de porter l'esprit croire qu'on ne sait suffisamment que ce qu'on sait parfaitement. Abb TERRASSON. LE NOMBRE! tez le _nombre_, vous tez les arts, les sciences, la parole et par consquent l'intelligence. Ramenez-le: avec lui apparaissent ses deux filles clestes, l'harmonie et la beaut, le cri devient _chant_, le bruit reoit le nom de _rythme_, le saut est _danse_, la force s'appelle _dynamique_, et les lignes sont des _figures_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jadis, un navigateur, jet par le naufrage sur une le qu'il croyait dserte, aperut en parcourant le rivage une figure de gomtrie trace sur le sable: il reconnut l'homme et rendit grce Dieu. Si cette figure n'et point t gomtrique, elle n'et t pour lui qu'une trace muette, oeuvre du hasard et non de l'intelligence; mais elle lui attestait le _nombre_ et par cela mme lui attesta l'homme. J. DE MAISTRE. MESURE DE L'ESPRIT La gomtrie a par elle-mme une beaut relle, indpendante de toute utilit vraie ou prtendue: quand elle n'aurait d'autres prrogatives, que de nous offrir sans aucun mlange des connaissances videntes et certaines, un si grand avantage ne la rendrait-il pas digne de notre tude? Elle est pour ainsi dire la mesure la plus prcise de notre esprit, de son degr d'tendue, de sagacit, de profondeur et de justesse. Si elle ne peut nous donner ces qualits, on conviendra du moins qu'elle les fortifie, et fournit les moyens les plus faciles de nous assurer nous-mmes, et de faire connatre aux autres, jusqu' quel point nous les possdons. D'ALEMBERT. ------ Ces considrations justifient l'importance attribue aux Mathmatiques dans la plupart des examens. ORIGINE Les mathmatiques, dit-on, ne peuvent avoir leur premire origine dans l'observation: car les objets qu'elles tudient sont fort diffrents de ceux que l'observation nous montre. Les mathmatiques raisonnent sur des cercles et des triangles parfaits; mais, dans la nature, aucun objet n'est parfaitement circulaire ni parfaitement triangulaire; les mathmatiques n'ont donc pu prendre leur objet l'observation de la nature, et les ides sur lesquelles elles raisonnent sont de pures crations de l'esprit. Voici la rponse qu'il convient de faire cette objection. Sans doute, aucun objet matriel n'est termin par des lignes parfaitement droites, par des surfaces parfaitement planes; mais chacun dvie de la ligne droite, de la surface plane dans un sens diffrent; si bien que, quand on fond en une ide unique les ides de ces divers objets, ces dviations en sens contraire se neutralisent. R. WORMS. ------ On a tent bien des fois, depuis Hume, d'expliquer les vrits gomtriques par les seules donnes de l'exprience. GNRALIT Nous allons chez le gros mathmaticien qui fume; nous le saluons et nous l'abordons ainsi: Monsieur, nous sommes philosophes, c'est--dire fort embarrasss et court. Il s'agit des propositions ncessaires; si vous en connaissez, comment les dcouvrez-vous? --Messieurs, c'est mon mtier, je n'en dcouvre pas d'autres; prenez des chaises; je vais en trouver devant vous. Avec de la craie, je trace sur le tableau un triangle ABC; par le sommet C je mne la parallle la base... Donc la deuxime somme qui est celle des angles du triangle, gale deux angles droits. Donc, ncessairement et universellement, la somme des trois angles gale deux angles droits. --Monsieur, comment avez-vous fait? --J'ai trac un triangle particulier, dtermin, contingent, prissable ABC pour retenir mon imagination et prciser mes ides. J'ai extrait de lui le triangle en gnral; pour cela, je n'ai considr en lui que des proprits communes tous les triangles, et je n'ai fait sur lui que des constructions, dont tout triangle pourrait s'accommoder. Analysant ces proprits gnrales et ces constructions gnrales, j'en ai extrait une vrit ou rapport universel et ncessaire. J'ai retir le triangle gnral compris dans le triangle particulier; ce qui est une abstraction. J'ai retir un rapport universel et ncessaire, contenu dans les proprits gnrales de la construction gnrale, ce qui est encore une abstraction. Pour dcouvrir une proprit gnrale et ncessaire, il suffit donc d'employer l'abstraction. TAINE. DISCIPLINE L'tude de la gomtrie est indispensable pour accoutumer l'esprit marcher pas pas, ne rien admettre sans preuve, ne se plaire qu'au vrai. Elle a de plus l'avantage d'exercer les forces de l'esprit, de l'accoutumer l'attention et de le rendre inventif, car rien n'exige plus d'invention que la solution des problmes: elle habitue deviner le vrai, lors mme que, pour le dcouvrir, on a recours des hypothses, parce que le rsultat fait toujours connatre si ces hypothses ont t bien choisies; enfin elle met un frein l'imagination et nous force la soumettre la raison. DELEUZE. DMONSTRATION ET SYLLOGISME La mthode des sciences mathmatiques est la dmonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le but de la dmonstration est d'tablir des vrits ncessaires; elle le fait en montrant que ces vrits sont les consquences logiques d'autres vrits admises comme videntes ou prcdemment dmontres. On voit par l en quoi la dmonstration, bien qu'elle se prsente sous forme dductive, diffre du syllogisme. Dans le syllogisme proprement dit, o n'intervient aucune considration touchant la vrit objective des propositions traites, la conclusion sort _ncessairement_ des prmisses; tant donn que A est B, et que B est C, il ne se peut pas que A ne soit pas C; mais une connaissance ncessaire peut fort bien n'tre pas une vrit ncessaire; la vrit des deux prmisses d'o sort ncessairement la conclusion n'est pas garantie; il suffit au logicien que la consquence soit extraite des prmisses, conformment aux lois de la pense. Tout autre est la dmonstration; elle est un instrument de science, et ce titre, elle n'a pas seulement tirer des consquences logiques, mais tablir des vrits; elle est astreinte toutes les rgles de la procdure logique; mais en mme temps elle a des principes qu'elle ne trouve pas dans le syllogisme proprement dit, principes ncessaires comme les vrits qu'elle tablit. LIARD. MTHODES DIVISEUR ET RAMASSE-TOUT Jean Mac, dans l'_Arithmtique de grand papa_, personnifie ainsi l'analyse et la synthse: le livre est enfantin, mais il est ingnieux et charmant. LA DIVISION Jadis, la division, qu'on appelait l'_pine_ de l'arithmtique, s'effectuait la franaise, la portugaise ou l'italienne. La rgle actuelle de l'opration a t rsume, par Leslie, en un seul vers: Divide, multiplica, subduc, transferque secantem. Un professeur, pour faire retenir la thorie rpute difficile de la division, disait: Dans le second cas, vous coupez la tte du diviseur et, dans le troisime, vous coupez la tte du quotient. ANATOMISTES O. Terquem crivait quelques jours avant sa mort: L'ouvrage de Borelli (_De motu animalium_) est un petit chef-d'oeuvre qui me procure des heures dlicieuses; on voit l'avantage qu'il y a aux anatomistes d'tre gomtres. Il est dsirer qu'on fasse sur le mme plan une nouvelle dition de l'_Anatomie descriptive de Richerand_, ce serait une excellente acquisition. Malheureusement, nos anatomistes sont peu gomtres et nos mdecins de faibles chimistes. FROMAGE M. Mannheim raconte qu'un ingnieur embarrass pour pratiquer un escalier tournant dans une vote hmisphrique, dit au conducteur de prparer l'pure. Le subalterne creusa dans un bloc de gruyre une cavit en forme de bassin, dressa dans l'axe une vis de pressoir qu'il fit tourner. La troue pratiquer dans le dme de pierre se dessina ainsi trs nettement. EXPRIENCE GOMTRIQUE Pour trouver l'aire de la cyclode, Galile pesa avec une grande prcision deux lames minces de mme matire, dont l'une tait gale au cercle et l'autre la cyclode engendre. Il constata par cette exprience que le poids de cette dernire est le triple de celui du cercle, rsultat prouv plus tard thoriquement par Pascal. Le succs de l'expdient tint la simplicit du rapport, non seulement commensurable, mais entier. JETONS BARDOT Ce sont des cubes en bois, les uns blancs et les autres noirs, l'aide desquels on explique matriellement la numration aux commenants. Dix de ces jetons, runis en une baguette, forment une _dizaine_; dix baguettes, runies en une plaque, forment une _centaine_; dix plaques superposes composent un cube qui est un _mille_. Continuons: si l'on groupait dix de ces gros cubes qui sont des mille, on aurait une _dizaine de mille_; si l'on juxtaposait dix dizaines de mille, la grande plaque serait une _centaine de mille_; si l'on tageait enfin dix des plaques prcdentes, on aurait un cube norme qui serait un _million_. Ainsi de suite pour la _dizaine de millions_, la _centaine de millions_, le _billion_, etc., etc. MACHINES ARITHMTIQUES On remarque, parmi les petites machines, les rglettes de Neper, l'inventeur des logarithmes, de Mannheim, de Lalanne, de Grenaille et d'Ed. Lucas, etc. Dans certains pays, tous les contrematres se servent couramment d'une rgle calcul. Les machines plus considrables sont d'abord celle de Pascal, simplifie par de Lpine et rcemment par Roth, qui en a rduit le volume; puis celle de Thomas de Colmar, l'aide de laquelle on multiplie en une demi-minute deux nombres de dix chiffres: on s'en sert aux Magasins du Louvre, l'Observatoire, aux Compagnies d'Assurances, etc.; on en vend plus d'une centaine par an. Il y a aussi la machine mouvement continu de Tchebychef. Toute machine arithmtique se compose de quatre organes essentiels: le gnrateur, le reproducteur, le renverseur et l'effaceur. On a reconnu que pour un calculateur exerc, il faut 7 minutes 19 secondes pour multiplier un nombre de 14 chiffres par un nombre de 8 chiffres. Les agents inorganiques, eux, ne se fatiguent gure et ne se trompent pas, moins que les ressorts ne se faussent. Mais, il y a les machines gomtriques, sans ressorts, et l'admirable machine de Tchebychef, qui se romprait plutt que de ne pas dire vrai. Voir M. d'Ocagne: _Nomographie. Les calculs usuels effectus au moyen des abaques._ INTGRATEURS ET INTGRAPHES Les intgrateurs sont des instruments qui effectuent mcaniquement la sommation d'une srie infinie de grandeurs infiniment petites, qu'il s'agisse d'une aire limite par une courbe, d'un travail mcanique, etc. Mais les planimtres, les totaliseurs dynamomtriques, etc., ne donnent que le rsultat final de l'intgration. Abdank-Abakonowicz est all plus loin: ses intgraphes donnent, sous forme d'un trac graphique, la loi complte qui rgit la sommation, en un mot ce qu'on peut appeler la courbe intgrale. Le planimtre polaire d'Amsler est celui qui semble tre appel l'emploi le plus frquent. Les applications des planimtres sont nombreuses; les contributions directes, les administrations du cadastre et des forts, le service topographique du gnie, les architectes, les ingnieurs, les gomtres arpenteurs ont recours ces instruments pour rsoudre ce problme si dlicat de la dtermination des aires planes contours curvilignes. En Allemagne, on possde un planimtre comme on a une bote de compas. ARITHMTIQUE POLITIQUE tant donnes la population, les moeurs, la religion, la situation gographique, les relations politiques, les richesses, les bonnes et mauvaises qualits d'une nation, trouver les lois qui lui conviennent. J. DE MAISTRE. ------ Nous ne demandons nos lgislateurs qu'une solution par approximations successives du problme pos. OPRATIONS ABRGES On faisait remarquer un candidat qu'il aurait pu employer les oprations _abrges_. Il rpliqua qu'il n'avait pas eu le temps. Lorsqu'on est press, on prfre la grande route qu'on connat bien au chemin de traverse dont on n'est pas sr. ------ La rflexion suivante de J.-J. Rousseau s'applique aux calculateurs de profession: .... alors on trouve des mthodes abrges dont l'invention flatte l'amour-propre, dont la justesse satisfait l'esprit et qui font faire avec plaisir un travail ingrat par lui-mme. GAUFRES Je n'oublierai jamais d'avoir vu Turin un jeune homme qui, dans son enfance, on avait appris les rapports des contours et des surfaces en lui donnant chaque jour choisir, dans toutes les figures gomtriques, des gaufres isoprimtres. Le petit gourmand avait puis l'art d'Archimde, pour trouver dans laquelle il y avait le plus manger. J.-J. ROUSSEAU. PLAIES Aristote dit que le mdecin constate que les plaies circulaires sont les plus longues gurir, et le gomtre dmontre qu'il ne peut en tre autrement, puisque de toutes les figures qui ont un primtre gal, le cercle est celle qui prsente la plus grande surface. TACHYMTRIE L'ingnieur Lagout, mort depuis quelques annes, est l'auteur d'une tentative de rnovation des mathmatiques, dans l'intention de les simplifier en les matrialisant, pour les mettre la porte du plus humble ouvrier. Il a eu quelques ides ingnieuses: son matriel et ses tableaux en couleur sont saisissants. Malheureusement, gris par son systme, l'inventeur a cru, bien tort, tre aussi rigoureux qu'Euclide. Son _prompt-mesurage_ n'est qu'un aperu populaire qui parle aux yeux. M. C. Rey a port sur la mthode ce jugement piquant et plus svre: La Gomtrie est la science qui apprend raisonner juste, mme sur des figures qui sont fausses, tandis que la Tachymtrie est un art qui apprend raisonner faux, sur des figures qui sont justes. VINGT CENTIMES Quand, sous le second empire, on frappa pour la premire fois des pices de vingt centimes, un homme d'esprit s'cria: on dira maintenant cinq fois quatre font vingt et non plus quatre fois cinq font vingt. J'ai lu dans un livre belge cette question inquitante: Le produit de un franc par un franc est-il gal au produit de cent centimes par cent centimes? POTAGE Dans son explication de l'addition, un lve avait oubli de dire qu'on n'ajoute que des choses de mme espce, le professeur lui demanda: Combien font 150 grammes de navets, 200 grammes de carottes et 225 grammes de pommes de terre?--Rponse: Cela ferait un excellent potage. Autre exemple. Un soldat aveugle portait cet criteau: batailles 8; blessures 10; enfants 6; total 24. ANARCHIE Le cinquime livre de la gomtrie fait le dsespoir des lves et des examinateurs, tant l'ordre et l'nonc des propositions varient. Legendre et Rouch ne s'accordent nullement et il y a beaucoup d'opinions intermdiaires. On demande un dictateur pour imposer une thorie unique. Dernire nouvelle: on annonce des prliminaires de paix. MTRES CARRS C'est grce la gomtrie que les marchands de mesures ne vendent ni mtres carrs ni mtres cubes. Quelques dames confondent encore le mtre courant, le mtre carr et le mtre cube. Un mot spirituel: le professeur avait fait crire au tableau le nombre 1000000000; il s'agit de mtres carrs, dit-il, combien cela pse-t-il? Bien peu de craie, rpondit l'lve. ANXIT On ne peut baser aucun raisonnement sur une srie divergente, c'est--dire sur une suite rgulire de termes dont la somme crot au-del de toute limite. Les gomtres du XVIIIe sicle n'ont gure tenu compte de la convergence des sries et c'est Cauchy qui a clair le premier la question. On raconte qu'aprs une communication de ce dernier l'Acadmie, Laplace quitta brusquement ses confrres, et se renferma chez lui pendant prs d'un mois, pour vrifier la convergence de toutes les sries sur lesquelles est fonde sa mcanique cleste. Heureusement, aucune n'tait divergente! Abel a dit que: Avec une srie divergente, on prouve tout ce qu'on veut, l'impossible aussi bien que le possible. IMPOSSIBLE En mathmatiques, il n'y a de vraiment impossible que le contradictoire. On peut lever l'impossibilit provisoire provenant d'une vue trop troite de la question: Pourquoi exiger le rsultat sous une certaine forme ou entre certaines limites? D'autre part, si vous ne trouvez pas la solution rigoureuse d'un problme, vous pouvez chercher des valeurs de plus en plus approches et raisonner l'approximation. RELIEFS Il s'agissait de passer au cubage des corps solides, et ceci fut plus difficile; les figures du tableau ne suffisaient plus; les enfants ne se rendaient pas compte de toutes les formes que reprsentait un simple trac. L'ide me vint de parler au vieux cuvelier Sylvestre, qui tout de suite comprit ce que je lui demandais; il me fit des cubes, des prismes, des cnes en bois, capables de se monter et de se dmonter, comme on le voulait; tout devint clair, sensible pour les lves. Nous raisonnions des choses, les pices en main, et nous faisions ensuite nos calculs. Ce systme de fabriquer des figures gomtriques en bois s'est depuis rpandu partout; des centaines d'ouvriers de la Fort-Noire ne font plus que cela. Quelques-uns ont pouss la chose jusqu' fabriquer des figures en cristal, afin d'en voir du premier coup d'oeil les artes et les angles opposs. ERCKMANN-CHATRIAN. ------ On veut enseigner aux enfants ce que c'est qu'un cne, comment on le coupe, le volume de la sphre, et on leur montre des lignes, des lignes! Donnez-leur le cne en bois, la figure en pltre, apprenez-leur cela comme on dcoupe une orange! J. VALLS. COTON ET MUSIQUE La fonction d'une variable indpendante la plus importante Liverpool est peut-tre le prix du coton. Une courbe montrant le prix du coton, s'levant quand ce prix est lev, s'abaissant quand il est bas, montre l'oeil toutes les variations si complexes de cette fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Songez la complexit de l'effet produit par un orchestre qui joue (un orchestre de cent instruments), et deux cents voix qui chantent en choeur, accompagnes par l'orchestre. Songez l'tat de l'air; songez combien il est dchir quelquefois... Une simple courbe, dessine de la mme manire que celle des prix du coton, reprsente tout ce que l'oreille peut entendre dans l'excution la plus complique. W. THOMSON. RGLES DE BOIS Ces pauvres instruments, avec lesquels il a rform l'astronomie, Copernic les avait taills et diviss lui-mme. Tycho-Brahe les a clbrs en vers latins: C'est avec ces frles morceaux de bois, ouvrage grossier et sans art, que Copernic entreprit de donner des lois au ciel et de rgler le cours des astres; il est parvenu, par son gnie, une hauteur o nul mortel n'avait atteint avant lui. monuments inestimables d'un si grand homme! Ils sont faits d'un bois vulgaire, et cependant l'or le plus pur plirait devant eux! ALPHABET Lorsqu'on apprend un enfant lire et crire, on peut lui donner quelques notions gomtriques, en lui faisant analyser les formes des majuscules romaines. Dans A, il y a un triangle dont deux cts sont prolongs; C est un arc; D un demi-cercle, avec son diamtre; E prsente des angles droits; H des parallles et une perpendiculaire; M des angles aigus, etc. TRAVAIL PERSONNEL On flicitait le chimiste Regnault de sa force en mathmatiques. Il rpondit: Notre principal professeur l'cole polytechnique tait si obscur que les sergents devaient se runir aprs chaque leon pour la refaire. C'est moi qui ai rdig, pendant quelque temps, les cahiers pour mes camarades. Vous pouvez vous figurer combien cela m'a fait travailler. RACTIFS On sait que le chimiste introduit des ractifs contenant des lments souvent trangers au produit qu'il veut obtenir, mais dont la prsence favorise les transformations intermdiaires que doit subir le phnomne: le mme rle appartient aux lignes auxiliaires que trace le gomtre, diagonales, droites parallles ou perpendiculaires des directions dtermines, etc., ces lignes sparent les lments primitifs, suggrent entre eux des groupements nouveaux, paralllogrammes, triangles gaux ou semblables, etc., et de ces figures l'analyse dgage certaines proprits qui ont un rapport plus direct avec la conclusion vise. H. HARANT. FAGOTS ET FAGOTS Un profane n'aperoit que des coefficients dans les quations; tous lui paraissent gaux en importance, et s'il veut se renseigner sur les solutions, il se figure qu'il faut aller les interroger sparment, de mme qu'on arrte dans la rue le premier ouvrier venu pour lui demander son chemin. Mais non, il y a des chefs qu'on n'aperoit pas; c'est leur bureau qu'il faut s'adresser. Soient, par exemple, dix quations littrales du premier degr dix inconnues. L'oprateur..... veut savoir si les solutions sont possibles, ou impossibles, ou indtermines. Qu'il n'aille donc pas interroger la vile plbe des coefficients. Non; il y a un personnage considrable qui sait le secret; c'est un polynome, le dnominateur commun. On l'appelle le _dterminant_ du systme; et ce nom est bien choisi, car c'est lui _qui vous sert dterminer_ la nature des solutions. LE P. POULAIN. ------ Le dterminant est aid par le conseil des numrateurs, assists eux-mmes de dterminants mineurs, etc. PLURALIT DES MONDES Les astronomes qui calculent les mouvements apparents des astres dans leur passage de chaque jour au mridien, ceux qui annoncent l'arrive des clipses, des phnomnes clestes, des comtes priodiques, ceux qui observent avec tant de soin les positions prcises des toiles et des plantes aux divers degrs de la sphre cleste, ceux qui dcouvrent des comtes, des plantes, des satellites, des toiles variables, ceux qui recherchent et dterminent les perturbations apportes aux mouvements de la terre par l'attraction de la lune et des plantes, ceux qui consacrent leurs veilles dcouvrir les lments fondamentaux du systme du monde, tous, observateurs ou calculateurs, sont des prcurseurs de l'astronomie nouvelle. Ce sont d'immenses travaux, des labeurs dignes d'admiration et de transcendantes oeuvres. Mais c'est l'arme du pass. Mathmaticiens et gomtres, dsormais le coeur des savants va battre pour une conqute plus noble encore. Tous ces grands esprits, en tudiant le ciel, ne sont en ralit, pas sortis de la Terre. Le but de l'Astronomie n'est pas de nous montrer la position apparente de points brillants, ni de peser des pierres en mouvement dans l'espace, ni de nous faire connatre d'avance les clipses, les phases de la lune ou des mares. Tout cela est beau mais insuffisant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le jour viendra, et trs prochainement, puisque tu es appel le voir, o cette tude des conditions de la vie dans les diverses provinces de l'univers sera l'objet essentiel--et le grand charme--de l'Astronomie. FLAMMARION. TRANSFORMATIONS Dans la Gomtrie ancienne les vrits taient isoles; de nouvelles taient difficiles imaginer, crer; et ne devenait pas gomtre inventeur qui voulait. Aujourd'hui chacun peut se prsenter, prendre une vrit quelconque connue, et la soumettre aux divers principes gnraux de transformation; il en retirera d'autres vrits, diffrentes ou plus gnrales; et celles-ci seront susceptibles de pareilles oprations; de sorte qu'on pourra multiplier, presqu' l'infini, le nombre des vrits nouvelles dduites de la premire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Peut donc qui voudra, dans l'tat actuel de la science, gnraliser et crer en gomtrie; le gnie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre l'difice. CHASLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INVISIBLE L'astronomie de l'invisible, n'est, pour ainsi parler, pas plus difficile que celle des astres observables. Le gomtre dans son cabinet de travail, n'a pas besoin de voir les astres pour en calculer la marche. Le Verrier l'a prouv en dcouvrant Neptune par le calcul, Bessel en dmontrant l'existence du compagnon de Sirius. Tous deux ont vu l'astre inconnu, comme Christophe Colomb voyait l'Amrique des rivages de l'Espagne, et, avec la mme foi, ils ont os assigner la place o devait les voir l'oeil merveill de l'astronome. WOLF. PRCISION Si de Parme comme centre, avec un rayon gal 60 lieues, on dcrit une demi-circonfrence, cette demi-circonfrence passe par les sommets des Alpes. NAPOLON. DEUX TENDANCES Il semble que l'on puisse aujourd'hui distinguer, dans les mathmaticiens, deux tendances d'esprit diffrentes. Les uns se proccupent principalement d'largir le champ des notions connues; sans se soucier toujours des difficults qu'ils laissent derrire eux, ils ne craignent pas d'aller en avant et cherchent de nouveaux sujets d'tude. Les autres prfrent rester, pour l'approfondir davantage, dans le domaine de notions mieux labores; ils veulent en puiser les consquences, et s'efforcent de mettre en vidence dans la solution de chaque question les vritables lments dont elle dpend. Ces deux directions de la pense mathmatique s'observent dans les diffrentes branches de la science; on peut dire toutefois, d'une manire gnrale, que la premire tendance se rencontre le plus souvent dans les travaux qui touchent au calcul intgral et la thorie des fonctions; les travaux d'algbre moderne et de gomtrie analytique relvent surtout de la seconde. E. PICARD. EN PROBLMES Exposez toute science de raisonnement sous forme de problmes proposs d'abord, et rsolus ensuite, la thorie rgulire et suivie ne venant qu'aprs pour coordonner et classer les vrits acquises. Sous la forme vive et saisissante de problmes, la science pntre plus profondment dans l'esprit dont les facults inventives sont d'ailleurs toujours en pleine action. DESBOVES. COEFFICIENTS DE CORRECTION Si l'on peut dire de la gomtrie rationnelle, telle qu'elle est enseigne depuis l'antiquit, que c'est l'art de faire des raisonnements exacts sur des figures fausses, par opposition on peut dire de la gomtrie pratique, dont on fait usage dans les levers de terrain, que c'est l'art de faire des figures exactes avec des instruments infidles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En gomtrie, n'y aurait-il pas un grand avantage faire inscrire des hexagones rguliers dans des circonfrences, avant de dmontrer que le ct de ces polygones est gal au rayon? Cette marche ne mettrait-elle pas en garde, contre les affirmations trop absolues de la thorie, l'esprit d'un lve qui aurait constat, par sa propre exprience, que rarement, la fin de l'opration la pointe du compas retombe sur le point de dpart? Cela ne le ferait-il pas rflchir aux causes d'insuccs de cette opration? Son professeur ne serait-il pas oblig de les lui expliquer? Et peu peu n'en viendrait-il pas se familiariser avec ce principe d'exprience, que, dans les applications des vrits les mieux dmontres, de celles qui prsentent le caractre le plus indubitable de la vrit absolue, on doit toujours compter, si je puis m'exprimer ainsi, avec les rsistances passives contre lesquelles il faut lutter dans chaque action matrielle. Si je ne me trompe, l'enseignement dirig dans cette voie, dvelopperait le jugement, le tact pratique. En tout cas, il viterait des illusions frquentes ceux qui acceptent comme des vrits absolues les rsultats des recherches physico-mathmatiques, recherches dans lesquelles on nglige tant de choses. GOULIER. ------ Le clbre topographe ne restait gure dans les rgions de l'idal. Il faisait la part des rsistances de la matire et des dfaillances de l'oprateur. HISTOIRE LE TRIBUNAL DES MATHMATIQUES Les instruments dont le tribunal des mathmatiques fait actuellement usage, pour rdiger l'almanach prsent S. M. Kouang-Siu et dsigner les jours fastes ou nfastes, ont t construits en 1670, sous la direction du Pre Verbiest, missionnaire belge. Ils ne permettent qu'une prcision de dix minutes de degr tandis que nous pouvons valuer l'aide des ntres jusqu'aux diximes de seconde, d'o une prcision six mille fois plus grande. On ne s'occupe gure Pkin que de calendrier et d'astrologie et on est port y croire la Terre toujours immobile au centre de l'espace cleste. Nous avons tenu entre les mains une table de sinus de l'empereur de Chine, Kang-Hi. Le texte, imprim en Europe, est prcd de 4 feuillets (8 pages), contenant des chiffres arabes et chinois tracs l'encre de Chine. Chaque page imprime des tables de sinus et tangentes est prcde et suivie de caractres chinois tracs au pinceau rouge. D'aprs une note ancienne qui se lit sur la garde et dont voici le texte, ces caractres seraient tracs par l'empereur lui-mme: L'empereur Kang-Hi se servit de ce livre lorsqu'il calculait l'europenne. Les caractres rouges sont de sa main. UNE CALOMNIE Sous prtexte de mesurer un degr du mridien, si bien dtermin par les Anciens, ils (les charlatans acadmiques) se sont fait accorder par le ministre 100 000 cus pour les frais de l'opration, petit gteau qu'ils se partageront en frres. MARAT, l'ami du peuple. DODCADRE Les doctrines mathmatiques des pythagoriciens devaient tre tenues secrtes. Un des initis (leur signe de reconnaissance tait le pentagone toil), nomm Hippasos, ayant dvoil la construction du dodcadre inscrit dans la sphre, fut noy en mer. JARDINIERS, QUINCAILLIERS, ETC. Le duc d'Argyle, ayant trouv les _Principia_ de Newton sur une pelouse de son chteau, interrogea le jardinier _Stone_: cet homme de trente ans avait appris seul les lments de mathmatiques, le latin et il comprenait Newton! Dans la suite, Stone a compos un trait de calcul diffrentiel, qu'on a traduit en franais pour complter celui de de l'Hpital. Aux tats-Unis, le commis quincaillier _Bowdwitch_, parvint aussi seul lire Newton. Aprs s'tre enrichi Boston, dans une compagnie d'assurances, il publia ses frais sa traduction de la Mcanique cleste de Laplace, augmente de commentaires. _lazar Fronce_ vivait vers 1625, aux environs de Grenoble; il tait jardinier dans un chteau; il faisait des observations l'aide d'instruments qu'il se construisait lui-mme. Le cordonnier hollandais, _Thodore Rembrandsz_, n vers 1610, publia un ouvrage tendu sur le systme de Copernic. Un ouvrier pelletier-fourreur, _Jean Jordan_, de Stuttgard, fut un mathmaticien et un mcanicien ingnieux. Un tisserand de Lisieux, nomm _Jean Lefvre_, tait assez fort mathmaticien pour calculer une table des passages de la lune au mridien. On l'attacha au bureau de la Connaissance des temps. Vers 1710, un berger d'cosse, _Jacques Fergusson_ s'tait construit en bois des instruments d'astronomie; il s'adonna aux mathmatiques et devint membre de la Socit royale de Londres. Le cultivateur saxon, _Jean-Georges Palitzch_, n en 1723, mathmaticien et astronome, correspondant de la Socit royale de Londres, employait ses loisirs tudier; il n'abandonna jamais le mtier de laboureur. L'astronome _Jean-Louis Pons_, n en 1761, d'abord concierge l'Observatoire de Marseille, a dcouvert 37 comtes. Un simple cordonnier, _Rigaut_, qui s'tait instruit seul, a prsent l'Acadmie des sciences de bons mmoires de mathmatiques. MATHMATICIENNES Sous le titre de _Les femmes dans la Science_, nous venons de publier, chez l'diteur Nony, un volume de 350 pages, orn de portraits et d'autographes. Voici un extrait de l'avant-propos. Depuis plus de quinze sicles, nous honorons Hypatie, cette grecque d'Alexandrie, si belle et si savante, lapide par une populace stupide. Les travaux d'astronomie et de mcanique de la marquise du Chtelet dfendent sa mmoire. Marie Agnesi, aprs avoir enseign le calcul infinitsimal l'Italie, est morte comme une sainte. l'occasion d'un problme pos par Napolon, Sophie Germain a cr, une des premires, la physique mathmatique. Mary Somerville a compos, aprs Laplace, une mcanique cleste. Une russe, Mme Kowalewski, couronne par notre Acadmie des Sciences, a t enleve, il y a quelques annes, en pleine floraison de son gnie. Nous avons runi, pour la premire fois, ces belles et nobles figures. Nous avons trac, de ces femmes hors pair et de quelques autres, des notices grands traits, sans dtails techniques. Le groupe d'lite a t encadr dans un tableau assez complet des autres savantes: l'arme en marche, avec son tat-major. Nous avons surtout tudi les savantes professionnelles, qui ont consacr aux tudes scientifiques la plus grande partie de leur vie, mathmaticiennes, physiciennes, naturalistes et philosophes. Puis sont venues les simples curieuses qui, l'occasion, ont dit leur mot sur les sciences; les collaboratrices qui ont aid les savants, discrtement et activement; les professeurs, les vulgarisatrices, modestes et utiles; enfin les protectrices, princesses ou riches bourgeoises, qui ont fond des prix dans les acadmies ou rpandu leurs bienfaits sous d'autres formes. Les unes et les autres, par des moyens divers, ont exerc une heureuse influence sur le progrs des sciences. Deux notes, provenant d'une collaboration varie, terminent le livre. Dans l'une, nous avons runi des opinions opposes sur cette question: _Si la femme est capable de science._ La seconde note est forme de _Menus propos sur les femmes et les sciences_, aperus divers, citations, anecdotes, penses, etc. SONS Ayant remarqu, un jour qu'il passait devant un atelier de forgerons, que les sons des marteaux formaient la quarte, la quinte et l'octave, Pythagore eut l'ide de peser les trois marteaux et, des rapports de leur poids, il conclut une thorie mathmatique de l'harmonie des sons. On sait que le mme philosophe a, dit-on, compos la table qui fait le dsespoir des petits enfants, et, ce qui est plus important, qu'il a dcouvert le carr de l'hypotnuse. l'occasion de cette admirable proposition, Pythagore a sacrifi une hcatombe aux dieux. DEUX DYNASTIES Depuis le milieu du XVIIe sicle jusqu' nos jours, les Bernoulli, d'origine suisse, ont t des savants distingus. Les anctres, les deux frres Jacques et Jean, mathmaticiens de premier ordre, ont dvelopp le calcul infinitsimal. Ensuite sont venus Nicolas II, Daniel, Jean II, Jean III, Jrme, Jacques II et Christophe. Le dernier descendant des grands Bernoulli, physicien et naturaliste, est mort Ble en 1863. Jean-Dominique Cassini, clbre astronome, fut le premier membre marquant de la famille. Son fils Jacques fut aussi astronome, son petit-fils Csar-Franois Cassini de Thury devint membre de l'Acadmie des sciences vingt-deux ans. Enfin son arrire-petit-fils Jacques-Dominique, directeur de l'Observatoire, termina la carte de France. RECOMMANDATION Sire, les princes clairs et gnreux aiment dcouvrir le mrite modeste et rparer envers lui les torts de la fortune. Ils se plaisent donner l'homme de gnie les moyens de jeter sur les sciences cet clat qu'elles recevront de ses travaux et qui rflchit sur leur gouvernement. ce titre, les soussigns, membres de l'Institut de France, se permettent de signaler la royale bienveillance de Votre Majest un jeune gomtre M. Abel, dont les productions annoncent un esprit de premier ordre, et qui nanmoins languit Christiania dans un poste peu digne de son rare et prcoce mrite. LEGENDRE, POISSON, LACROIX. COLE POLYTECHNIQUE La Convention tablit, en 1794, l'_cole centrale des travaux publics_, l'instigation de Monge, Lamblardie, Carnot et Prieur. Place au Palais-Bourbon, ne recevant que des externes, l'cole devait d'abord alimenter seulement le corps des ingnieurs civils et militaires. C'est en 1795 que l'cole prit son nom d'_cole polytechnique_ et son caractre actuel. Nous ne pouvons pas raconter ici sa glorieuse histoire, et nous allons nous borner quelques anecdotes. Dans la priode du dbut, chaque candidat doit faire constater par la municipalit de sa ville natale qu'il a constamment manifest l'amour de la libert et de l'galit et la haine des tyrans. On lit dans un rapport de l'poque: La manifestation du patriotisme a t gnralement nulle. Ils sont presque tous ignorants ou indiffrents, tandis que les enfants eux-mmes balbutient dj les principes et les hymnes de la libert! C'est en vain que j'ai tch, par des questions brusques, imprvues et mme captieuses, de suppler l'insuffisance des papiers qu'ils ont produits; presque tous m'ont montr qu'ils avaient toujours t indiffrents au bonheur de leurs semblables, leur propre bonheur et mme aux vnements... Quarante de ces jeunes gens, par leur insouciance de tout ce qui est bon, vertueux et utile, mritent d'tre rejets! Jeunes citoyens, disait plus tard un Ministre de l'Intrieur dans un discours, ayez toujours l'amour de la patrie. Si cet amour agit par sentiment sur le reste des hommes, il est permis de penser que c'est grce aux savants que cet amour est gomtriquement dmontr. Je peux le dire ici, dans la langue qui vous est familire, la libert est le thorme donn par la nature, la Rpublique en est la dmonstration, l'amour de la patrie en est le corollaire. Le dimanche matin, l'ordinaire est augment d'une omelette au lard, transformation conomique du plat qu'on appelait le cochon de Mme Laplace. En effet, la veuve de l'illustre gomtre, lorsqu'elle avait fond un prix pour l'lve sortant le premier et consistant dans les oeuvres de Laplace, avait dispos d'une somme dont le revenu devait tre employ donner un plat supplmentaire le dimanche. Ce plat consista au dbut en ctelettes de porc frais. En 1894, il y a eu de belles ftes polytechniciennes, l'occasion du centenaire de la fondation de l'cole. Des livres commmoratifs ont t publis. COLE NORMALE Cre Paris par la Convention, ses quinze cents lves externes reurent au Musum les leons des matres les plus illustres et ces leons, qui ont t recueillies, sont encore consultes. La plupart de ces lves enseignrent, leur sortie, dans les coles centrales des dpartements. C'est en 1808, que Napolon rorganisa l'cole qui, beaucoup moins nombreuse, devint un internat dans le Lyce Louis-le-Grand et dont les lves suivirent les cours du Collge de France, de l'cole polytechnique et du Musum. Elle a t transfre la rue d'Ulm, en 1847, et l'enseignement de ses Matres de confrences est devenu peu prs indpendant des cours extrieurs. Pendant la dernire guerre, les lves Lande et Szymanski ont gagn la mdaille militaire, M. Burdeau a t dcor de la lgion d'honneur et Lemoine a t tu l'ennemi. Deux plaques de marbre noir portent les noms de Lemoine et de Thuillier, lve de M. Pasteur, mort pour la science Alexandrie o il tait all tudier le cholra. la fin des vacances de Pques de 1895, l'cole normale a ft joyeusement son centenaire. Un grand et beau livre illustr, historique et biographique a t publi chez Hachette, grce une collaboration varie. Nous avions ouvert une souscription, en famille, pour faire face aux dpenses. Le reliquat a t dpos dans la caisse de l'Association des anciens lves. SCIENCES MILITAIRES Le marchal Vaillant proposait de crer l'Institut une section des sciences militaires.--Je ne connais pas cela, s'cria M. Chasles. Il y a la science, puis viennent les applications.--On eut beau faire, il ameuta tout le monde contre le projet des spcialistes. BROUETTES ET OMNIBUS La brouette, grce laquelle le manoeuvre ne s'puise plus transporter directement les fardeaux, et l'omnibus, le vulgaire omnibus chant comme symbole du progrs par Edmond About, ces deux inventions fort pratiques sont dues, dit-on, au grand Pascal. Le fait a t contest (voir l'_Intermdiaire des chercheurs et des curieux_ du 10 mai 1891). BONNE POLITIQUE Sous le second Empire, Cauchy, professeur la Facult des sciences, fut dispens d'un serment qu'il avait refus en 1830. La mme exception fut faite en faveur d'Arago, directeur de l'Observatoire, vulgarisateur et historien des sciences. PRCOCIT Pascal enfant ayant demand ce que c'tait que la gomtrie, on s'tait born lui rpondre qu'il s'agissait de faire des figures exactes et de trouver les proportions qu'elles avaient entre elles. Sur cette seule indication et sans aucun livre, Pascal devina tout le commencement d'Euclide jusqu' la trente-deuxime proposition. Lagrange disait en 1801 propos de Cauchy: vous voyez ce petit jeune homme, eh bien! il nous remplacera tous, tant que nous sommes de gomtres. Parmi les mathmaticiens prcoces on peut citer encore Huygens, Clairaut et J. Bertrand. TOMBEAU D'ARCHIMDE Je mis tous mes soins dcouvrir ce tombeau. Les Syracusains m'affirmaient qu'il n'existait point. force de recherches, je le trouvai enfin, couvert de ronces et de broussailles. Je fus guid, dans cette dcouverte, par quelques lignes d'une inscription qu'on disait avoir t graves sur le monument, et qui se rapportaient une sphre et un cylindre, poss au sommet du tombeau. Parcourant des yeux les nombreux tombeaux qui se trouvent vers la porte d'Agrigente, j'aperus une petite colonne qui s'levait au-dessus des buissons: il y avait la figure d'une sphre et d'un cylindre[4]. Je m'criai aussitt devant les principaux habitants de Syracuse qui m'accompagnaient. Voil ce que je cherche! Beaucoup se jetrent alors sur les broussailles pour les couper et mettre l'emplacement dcouvert. Ce travail achev, nous nous approchmes de la colonne. Nous vmes l'inscription moiti ronge par le temps. Ainsi, la plus noble et jadis la plus instruite des cits de la Grce ignorerait la place du tombeau du plus ingnieux de ses citoyens, si un inconnu d'Arpinum n'tait pas venu la lui apprendre. CICRON. [Note 4: Archimde a dmontr que toute sphre est les 2/3 du cylindre circonscrit.] ATTRACTION UNIVERSELLE Nous sommes redevables de cette importante dcouverte feu M. Newton. Ce grand philosophe et mathmaticien anglais se trouvait un jour couch dans un jardin, sous un pommier, une pomme lui tomba sur la tte, et lui fournit l'occasion de faire plusieurs rflexions. Il conut bien que c'tait la pesanteur qui avait fait tomber la pomme, aprs qu'elle eut t dgage de la branche, peut-tre par le vent ou quelque autre cause. Cette ide paraissait fort naturelle, et tout paysan aurait peut-tre fait la mme rflexion; mais le philosophe anglais allait plus loin. Il faut, dit-il, que l'arbre ait t fort haut; et c'est ce qui lui fit former la question si la pomme serait aussi tombe en bas dans le cas o l'arbre aurait t encore beaucoup plus haut, ce dont il ne pouvait pas douter. Mais si l'arbre avait t si haut qu'il parvnt jusqu' la lune, il se trouva embarrass de dcider si la pomme tomberait ou non. En cas qu'elle tombt, ce qui lui paraissait pourtant fort vraisemblable, puisqu'on ne saurait concevoir un terme, dans la hauteur de l'arbre, o la pomme cesserait de tomber; dans ce cas, il faudrait que la pomme et encore quelque pesanteur qui la pousserait vers la terre: donc, parce que la lune se trouverait au mme endroit, il faudrait qu'elle ft pousse vers la terre par une force semblable celle de la lune. Cependant, comme la lune ne lui tombait point sur la tte, il comprit que le mouvement en pourrait tre la cause, de la mme manire qu'une bombe peut passer au-dessus de nous sans tomber verticalement en bas. Cette comparaison du mouvement de la lune avec une bombe le dtermina examiner plus attentivement la chose, et, aid des secours de la plus sublime gomtrie, il trouva que la lune suivait dans son mouvement les mmes rgles qu'on observe dans le mouvement d'une bombe; de sorte que s'il tait possible de jeter une bombe la hauteur de la lune et avec la mme vitesse, la bombe aurait le mme mouvement que la lune. Il a seulement remarqu cette diffrence, que la pesanteur de la bombe cette distance de la terre serait beaucoup plus petite qu'ici-bas. EULER. ------ On rapporte que Newton, voulant calculer la quantit dont la lune tombe vers la terre en une seconde et ayant dispos les oprations arithmtiques, reconnut qu'il allait obtenir ce qu'il pressentait. Son motion fut si grande qu'il ne put continuer le calcul et qu'il fallut qu'un de ses lves l'achevt. TOUT PAR DIX Lors de la cration du systme mtrique, on avait song diviser le jour en vingt heures, chaque heure en cent minutes, etc., et la circonfrence en quatre cents _grades_, le grade en cent minutes, etc. Cette question de la dcimalisation du temps et de la circonfrence revient sur l'eau aujourd'hui. PRTRES MENACS Au plus fort de la Terreur, Lalande, quoique paroissien mdiocre, cacha l'Observatoire plusieurs prtres menacs de mort. Je vous ferai passer, leur dit-il, pour des lves astronomes: nous nous occupons du Ciel, vous et moi. CIEL EN CRISTAL Le ciel est ce qui tourne incessamment autour de la terre et de la mer sur deux pivots qui forment les extrmits d'un axe: car en ces endroits, la puissance qui gouverne la nature a fabriqu et mis ces pivots comme deux centres, l'un au-dessus de la terre et de la mer, en haut du ciel et derrire les toiles du septentrion, l'autre l'oppos, sous la terre, vers le midi; et autour de ces deux pivots, comme autour de deux centres, elle a mis de petits moyeux, pareils ceux d'une roue et d'un tour, sur lequel le ciel tourne continuellement. VITRUVE. ------ On voit, par ce passage, que les anciens ont cru l'existence de cieux solides de cristal, tournant sur deux pivots matriels. ATHNES Lysias apprit la fois l'arithmtique par principes et en se jouant: car pour en faciliter l'tude aux enfants, on les accoutume tantt partager entre eux, selon qu'ils sont en plus grand ou en plus petit nombre, une certaine quantit de pommes ou de couronnes; tantt se mler, dans leurs exercices, suivant des combinaisons donnes, de manire que le mme occupe chaque place son tour. Apollodore ne voulut pas que son fils connt ni ces prtendues proprits que les Pythagoriciens attribuent aux nombres, ni l'application qu'un intrt sordide peut faire du calcul aux oprations du commerce. Il estimait l'arithmtique, parce qu'entre autres avantages elle augmente la sagacit de l'esprit et le prpare la connaissance de la gomtrie et de l'astronomie. Lysias prit une teinture de ces deux sciences. Avec le secours de la premire, il pourrait plus aisment asseoir un camp, presser un sige, ranger des troupes en bataille, les faire rapidement mouvoir dans une marche ou dans une action. La seconde devait la garantir des frayeurs que les clipses et les phnomnes extraordinaires inspiraient il n'y a pas longtemps aux soldats. ABB BARTHLEMY. PORTRAIT CHERCH La ville de Dax, patrie du chevalier de Borda, n en 1733 et mort en 1799, devait lever une statue cet illustre ingnieur, gomtre et marin. Le comit charg de recueillir les souscriptions a rapidement trouv les fonds ncessaires, mais il a t en prsence d'une difficult srieuse, qui a menac mme de rduire nant ses patriotiques intentions: on ne possdait aucun portrait du chevalier de Borda. Le comit fit appel tous ceux qui pouvaient dtenir un buste, un portrait ou une miniature. Peine inutile: Borda n'avait jamais song poser devant un statuaire ou un peintre quelconque. On se trouvait donc expos un avortement imprvu quand on se souvint qu'il y avait Brest un vaisseau portant le nom de Borda, bord duquel tait installe l'cole navale. On sut que la poulaine de ce navire tait orne d'un buste dor: ce ne pouvait tre que celui du chevalier de Borda. On s'adressa donc la marine pour en obtenir une photographie. La difficult allait donc tre tranche. Erreur! Le vaisseau le _Borda_, avant de recevoir ce nom illustre, avait t baptis du nom de Valmy et l'on apprit en mme temps que le buste qui en ornait la poulaine tait celui de Kellermann, le vainqueur des Prussiens en 1792. Mais en poursuivant les recherches, on parvint trouver dans le Muse naval du port de Brest, o Borda a longtemps servi comme ingnieur et comme inspecteur gnral des constructions, non pas un buste mais bien deux, portant son nom, au milieu de beaucoup d'autres bustes portant les noms illustres de Jean-Bart, de Vauban, etc. Mais, nouvelle cause d'indcision, ces deux bustes ne se ressemblent pas: l'un reprsente les traits d'un personnage gras et suffisamment joufflu; l'autre prsente l'aspect d'un homme maigre et fluet. Lequel des deux bustes est le bon? Les deux assurment, si ce que l'on suppose est fond, savoir que l'un, le fluet, a d reprsenter Borda dans sa jeunesse, et l'autre, le joufflu, dans son ge mr, une poque o le chevalier a d prendre de l'embonpoint. moins que ce ne soit ni l'un ni l'autre, ce qui serait regrettable mais ce qu'on ne saurait supposer. Quoi qu'il en soit, la Marine se rendant au dsir de la ville de Dax, a expdi au comit d'organisation la photographie des deux bustes dissemblables qu'elle possde. On a choisi et la statue de Borda a t rige le 24 mai 1891. SURSUM CORDA. Une grande erreur est de penser que l'enthousiasme est inconciliable avec les vrits mathmatiques. Je suis persuad qu'il est tel problme, de calcul, d'analyse de Kepler, de Galile, de Newton, d'Euler, la solution de telle quation, qui supposent autant d'invention, d'inspiration que la plus belle ode de Pindare. Ces pures et incorruptibles formules, qui taient avant que le monde ft, qui seront aprs lui, qui dominent tous les temps, tous les espaces, qui sont, pour ainsi dire, une partie intgrante de Dieu, ces formules sacres qui survivront la ruine de tous les univers, mettent le mathmaticien qui mrite ce nom, en communication avec la pense divine. Dans ces vrits immuables, il savoure le plus pur de la cration; il prie dans sa langue. Il dit au monde comme cet ancien: Faisons silence, nous entendrons le murmure des dieux! EDGARD QUINET. ------ Il est des vrits scientifiques, dit Descartes, qui sont des batailles gagnes; racontez aux jeunes gens les principales et les plus hroques de ces batailles: vous les intresserez aux rsultats mmes des sciences, et vous dvelopperez chez eux l'esprit scientifique, au moyen de l'enthousiasme pour la conqute de la vrit; vous leur ferez comprendre la puissance de raisonnement qui a amen les dcouvertes actuelles et en amne d'autres. Quel intrt prendraient l'arithmtique et la gomtrie, si l'on joignait un peu de leur histoire l'exposition de leurs principales thories, si l'on assistait aux efforts des Pythagore, des Platon, des Euclide, ou, plus tard des Vite, des Pascal, des Leibniz! Les grandes thories, au lieu d'tre des abstractions mortes et anonymes, deviendraient des vrits vivantes, humaines, ayant leur histoire, comme une statue qui est de Michel-Ange, comme un tableau qui est de Raphal. ALFRED FOUILLIE. PRCURSEUR D'aprs Grgori et Maclaurin, Pythagore aurait devin la loi prcise de la gravitation universelle. Voici un curieux extrait du premier de ces savants: Une corde de musique, dit Pythagore, donne les mmes sons qu'une autre corde, dont la longueur est double, lorsque la tension ou la force avec laquelle la dernire est tendue est quadruple; et, la _gravitation d'une plante est quadruple de la gravitation d'une autre, qui est distance double_. En gnral, pour qu'une corde de musique puisse devenir l'unisson d'une corde plus courte de mme espce, sa tension doit tre augmente dans la mme proportion que le carr de sa longueur est plus grand; et _afin que la gravit d'une plante devienne gale celle d'une autre plante plus proche du soleil, elle doit tre augmente proportion que le quarr de sa distance au soleil est plus grand_. Si donc nous supposons des cordes de musique _tendues du soleil chaque plante_, pour que ces cordes deviennent l'unisson, _il faudrait augmenter leur tension, dans les mmes proportions qui seraient ncessaires pour rendre les gravits des plantes gales_. C'est de la similitude de ces rapports que Pythagore a tir sa doctrine de l'harmonie des sphres. COURTISANS Louis XVIII dit, un jour, un mathmaticien clbre: Monsieur, vous pourriez peut-tre m'aider rsoudre un problme? Comment se fait-il qu'ayant t accompagn par une cinquantaine de personnes quand je suis parti pour Gand, j'en trouve aujourd'hui dix mille qui prtendent y avoir t avec moi? UN DUEL N en 1811, variste Galois, mathmaticien de gnie, est mort vingt ans dans un duel. M. P. Dupuy a publi, en 1896, une notice sur Galois, dans les Annales de l'cole normale suprieure et il a reconstitu, avec un soin extrme, une vie malheureuse et peu connue. VRIT HISTORIQUE Dans le premier volume de son _Cours d'tudes historiques_, Daunou explique assez longuement pourquoi, suivant lui, le calcul n'est pas applicable l'apprciation des tmoignages en histoire. On trouve sur le mme sujet, dans _les Indications de Clio_ par Zchokke, cette anecdote assez curieuse. Un amateur avait enregistr, d'aprs les journaux du temps, le nombre des victimes de la Rvolution et des guerres de l'Empire. Il tait arriv ainsi au total de 142.214.817 morts et il allait publier ce grand nombre avec dtails et preuves l'appui, lorsqu'un ami lui fit remarquer l'absurdit du rsultat. L'Europe ne comptait que cent quatre-vingts millions, de sorte que les journalistes l'avaient presque dpeuple en vingt ans! LGENDE J'ai entendu dire qu'aux environs de Naucratis d'gypte exista un des plus anciens dieux, celui auquel est consacr l'oiseau qu'on appelle Ibis: que son nom est Theut, et que le premier, il avait dcouvert le Nombre, le Calcul, la Gomtrie, les Dames et les Ds. PLATON (Phdre.) INVENTEURS N'est-il pas, pour le moins, aussi ncessaire d'enseigner les ressources employes, diverses poques, par les hommes de gnie, pour parvenir la vrit, que les efforts pnibles qu'ils ont t ensuite obligs de faire pour la dmontrer selon le got des esprits ou timides ou peu capables de se mettre leur porte? PONCELET. DOCUMENTS Que, dans l'tude des mathmatiques, on fasse table rase du pass, qu'on les enseigne dgages de tout document historique, cela n'est pas sans inconvnients. J.-B. DUMAS. NAPOLON Arago rapporte ces paroles de Napolon M. Lemercier, membre de l'Institut: Pensez-vous que si je n'tais pas devenu gnral en chef et l'instrument d'un grand peuple, j'aurais couru les bureaux et les salons pour me mettre dans la dpendance de qui que ce ft, en qualit de ministre ou d'ambassadeur? Non, non! je me serais jet dans l'tude des sciences exactes, j'aurais fait mon chemin dans la route des Galile et des Newton; et puisque j'ai russi constamment dans mes grandes entreprises, eh bien! je me serais hautement distingu aussi par des travaux scientifiques; j'aurais laiss le souvenir de belles dcouvertes: aucune autre gloire n'aurait pu tenter mon ambition. On conserve aux Archives de l'Institut un rapport de Laplace, Bonaparte et Lacroix (23 octobre 1799) sur un mmoire de Biot intitul: _Considrations sur les quations aux diffrences mles._ Napolon trouvait avec une facilit prodigieuse la solution de problmes gomtriques trs compliqus. Il tonnait Monge lui-mme. EXPRIMENTONS Les progrs des sciences exprimentales ont insensiblement amen les esprits concevoir toute science sur leur modle. Le type de certitude scientifique tait autrefois la dmonstration gomtrique; c'est maintenant la vrification exprimentale. Non que les mathmatiques aient rien perdu, nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d'ailleurs, la possibilit d'une mesure exacte avec la rduction une formule mathmatique est de plus en plus le signe d'une thorie scientifique faite; mais nous regardons moins volontiers du ct de la gomtrie pure. OLL-LAPRUNE. ------ Les mathmatiques, transcendantes surtout, ne conduisent rien de prcis sans l'exprience: c'est une espce de mtaphysique gnrale o les corps sont dpouills de leurs qualits individuelles;--il resterait faire un grand ouvrage qu'on pourrait appeler l'_Application de l'Exprience la Gomtrie ou Trait de l'Aberration des Mesures_. DIDEROT. ------ l'aide de quelques axiomes, tirs soit de l'esprit humain, soit de l'observation et en procdant uniquement par voie de raisonnement, la gomtrie avait commenc, ds le temps des Grecs, lever ce merveilleux difice, qui a subsist et qui subsistera toujours sans aucun changement essentiel. La logique rgne ici en souveraine, mais c'est dans le monde des abstractions. Les dductions mathmatiques ne sont certaines que pour leur ordre mme; elles n'ont aucune existence effective en dehors de la logique. Si on les applique l'ordre des ralits, elles y constituent un instrument puissant, mais elles ne sont pas autre chose; leurs affirmations tombent aussitt sous la condition commune, c'est--dire que les prmisses doivent tre tires de l'observation, et que la conclusion doit tre contrle par cette mme observation. BERTHELOT. ------ Les sciences de la matire relvent toutes, sans exception, des sciences de l'esprit, parmi lesquelles on doit ranger les mathmatiques... Pas une application ne serait possible sans le secours de leurs formules abstraites, pas le plus petit progrs sans leur concours et leur permission. CHARRAUX. ------ Dans les mathmatiques, on suit surtout une mthode dductive. Une science ne peut tre considre comme arrive la perfection que quand, l'exemple des mathmatiques, toutes les vrits partielles peuvent tre dmontres l'aide de quelques axiomes gnraux. La division des sciences en inductives et dductives ne se rapporte qu' leur dveloppement successif. Plus la science est parfaite, plus la dduction y a d'application. BOUGAEV. HARDIESSE La thorie des parallles n'a fait aucun progrs depuis Euclide jusqu'au commencement de notre sicle. Tous les efforts pour dmontrer le _postulatum_ d'Euclide ou une proposition quivalente taient rests infructueux, lorsque Lobattcheffsky en 1829 et Bolyai en 1832, changeant rsolument de voie, conurent et excutrent sparment le projet hardi de supposer que la proposition n'tait pas vraie et de constituer un nouveau systme de gomtrie non contradictoire, en poussant jusqu' ses dernires limites le dveloppement de leur hypothse. Gauss qui par ses propres mditations avait obtenu les mmes rsultats ds 1792, sans toutefois avoir rien publi sur ce sujet, assura par son patronage le succs de l'oeuvre de Lobattcheffsky qui, crivait-il Schumacher avait trait la matire de main de matre. Depuis lors, un grand nombre de gomtres, parmi lesquels il faut surtout citer Riemann et Beltrami, ont considrablement agrandi le champ de ces spculations. ROUCH. PREMIRE SCIENCE Les mathmatiques tant une science de raisonnement, dans laquelle l'observation n'a presque rien, et l'exprience absolument rien faire, a d tre constitue longtemps avant les autres sciences. Il est clair que pour compter ou pour comparer des grandeurs entre elles, l'homme n'a pas eu besoin de connatre la nature. Le calcul et la gomtrie se sont donc forms dans une indpendance absolue vis--vis des autres catgories de connaissances. Mais, par cela mme, le calcul et la gomtrie ont eu pendant des sicles, un dveloppement de perfection trs suprieur ce qu'exigeaient les besoins de la vie en socit. Chez les Anciens, les seuls esprits cultivs jouissaient de la contemplation des vrits abstraites formules par Pythagore, Archimde et Euclide. Aussi ces vrits indispensables l'tablissement des sciences d'observation comme l'astronomie, et des sciences exprimentales comme la physique, taient-elles condamnes attendre que le dveloppement de la vie collective et acquis des proportions convenables. FOUCOU. CANONISS Saint Anatolius est l'auteur d'_Institutions arithmtiques_. Gerbert, devenu pape sous le nom de Saint Sylvestre II, tait un remarquable mathmaticien. Saint Guillaume d'Hirschau a crit sur le comput ecclsiastique et invent des instruments d'astronomie. Enfin, d'aprs Cantor, l'historien des mathmatiques, Boce, et Symmaque, auraient aussi t canoniss. ------ Voici un extrait de la prface jansniste d'une gomtrie rformatrice due Arnauld: Entre les exercices humains qui peuvent le plus disposer l'esprit recevoir les vrits Chrestiennes avec moins d'opposition et de dgoust, il semble qu'il n'y en ait gures de plus propre que la gomtrie. Car rien n'est plus capable de dtacher l'me de cette application aux sens, qu'une autre application un objet qui n'a rien d'agrable selon les sens; et c'est ce qui se rencontre parfaitement dans cette science. Elle n'a rien du tout qui puisse favoriser tant soit peu la pente de l'me vers les sens; son objet n'a aucune liaison avec la concupiscence; elle est incapable d'loquence et d'agrment dans le langage; rien n'y excite les passions; elle n'a rien du tout d'aimable que la vrit, et elle la prsente l'me toute nue et dtache de tout ce que l'on aime de plus dans les autres choses. ------ Agripa, l'auteur du _Trait de la vanit des sciences_, est d'avis diffrent: Combien que ces disciplines (les mathmatiques) n'aient caus en l'glise de Dieu gures d'hrsies, ou point du tout, si est ce que comme dit Saint Augustin, elles sont inutiles notre salut, plutt nous dtournant de Dieu, et induisant pcher que autrement; et ne sont ainsi que Saint Hierome affirme, sciences de personnes craignans Dieu. ------ Michelet fait, dans son _Journal_, cette dclaration assez inattendue de sa part. J'aime assez ce rgime: les mathmatiques et l'vangile; il y a l tout ce qu'il faut pour l'me. LANGUE ET LITTRATURE TYMOLOGIES _Calcul_ vient du mot latin signifiant _caillou_, parce qu'on comptait jadis avec des cailloux, d'o le titre l'_Arnaire_ d'un ouvrage d'Archimde. Au XIIe sicle, l'indien Bhscara a fait un livre, le _Bijaganitam_, sur le comptage l'aide des graines. Au XVIe sicle, nous nous servions de jetons: Enseigne l'arithmtique et calcul, tant au jet qu' la plume. Au dbut de la comdie de Molire, c'est l'aide de jetons que le malade imaginaire additionne le compte de son apothicaire. Madame de Svign crit sa fille qu'elle vient de faire le compte de sa fortune avec les jetons de l'abb (de Coulanges), qui sont si justes et si bons. Le mot calcul a conserv son sens tymologique, lorsqu'il s'agit des petites pierres qui se forment dans la vessie. (Maladie de la pierre.) Les tymologies de calcul, arithmtique et gomtrie, sont claires, mais _algbre_ viendrait de l'arabe _Al-jbr_, raccorder un membre, rtablir le tout d'aprs ses parties? En espagnol, algbriste signifie chirurgien. TRIGONOMTRIE DRAMATIQUE Lisez le roman de Jules Verne intitul: _Histoire de trois Russes et de quatre Anglais._ Il est question des angles adjacents la base du 8e triangle, du 103e logarithme de la table de Volaston, d'un calculateur menac par les crocodiles, de deux registres vols par des singes, etc., etc. Trianguler ou mourir, voil la devise de ces fiers oprateurs. Les aventures relles de Delambre et Mchain, puis de Biot et Arago sont autrement mouvantes. (Voyez _La mesure du mtre_, un petit livre de W. de Fonvielle.) BIEN RDIGER la suite d'une tude de M. J. Liouville, lve-ingnieur, insre en 1830 dans les _Annales de Mathmatiques_, le rdacteur, Gergonne avait crit. Je crois devoir m'excuser vis--vis du lecteur de lui livrer un mmoire aussi maussadement, je puis dire aussi inintelligiblement rdig... Je ne prtends contester aucunement la capacit mathmatique de M. Liouville: mais quoi sert cette capacit, si elle n'est accompagne de l'art de disposer, de l'art de se faire lire, entendre et goter. Malheureusement, il n'est aujourd'hui que trop de jeunes gens, de beaucoup de mrite d'ailleurs qui regardent, comme un accessoire indiffrent ce que je regarde, moi, comme le mrite essentiel, le mrite par excellence, au dfaut duquel tout le reste n'est absolument rien. On sait que Liouville a fond le clbre Journal de Mathmatiques qui porte encore son nom. THTRE SCIENTIFIQUE Sous ce titre, M. de Mirval a essay de dramatiser plusieurs pisodes de la vie des savants, par exemple, les perscutions de Kepler. Ponsard avait dj fait un _Galile_ en cinq actes. Enfin Louis Figuier, le clbre vulgarisateur, a aussi publi des pices curieuses donnes scientifiques: _la Science au thtre_, 2 vol. UN VAUDEVILLE Lors de l'invention du calcul infinitsimal, il donna lieu un vaudeville et un air intitul: _les Infiniment petits_, o l'on plaisantait sur la frle sant du marquis de l'Hpital et sur les caprices de la marquise. Madame de l'Hpital a rfut, dans le _Journal des Savants_ de 1691, les thories gomtriques d'un nomm Lamontre. LES MATHMATICIENS C'est l le titre d'une comdie du hollandais Langendick (1715); il s'agit d'un tuteur bafou, comme d'habitude, par son pupille, pendant qu'il disserte sur les sciences avec un vieil ami. TRE SUR SON TRENTE ET UN Au moyen-ge, des rglements fort svres punissaient non seulement les ouvriers qui avaient employ dans leur fabrication des matires premires avaries, mais encore ceux qui ne donnaient pas leurs produits les formes et les dimensions requises. En ce qui concernait les tisserands de laine, ces rglements allaient jusqu' fixer le nombre de fils dont devait se composer la trame. On trouve ce sujet des dtails curieux dans l'_Histoire de l'industrie franaise_, d'Alexis Monteil. Le collage de la chane, le foulage, le feutrage, le soufrage, le calendrage, tout est prvu, sans oublier la longueur ni la largeur de la pice; et le contrevenant pouvait tre condamn, en certain cas, avoir le poing coup, ce qui tait bien fait, car les honntes tisserands voulaient conserver leurs deux mains. Suivant la qualit des draps, la trame devait se composer de 1400 ou de 1800 fils. Pour le drap fin destin aux vtements de luxe, le nombre de fils tait de 30 fois 100 fils; ce qui fit donner ce drap le nom de _trentain_. Porter du _trentain_ tait donc le fait d'un homme riche qui ne regardait pas aux dpenses de la toilette. _Trentain_, terme technique, se mtamorphosa facilement en trente-un dans la bouche de ceux qui ne connaissaient pas l'origine de cette appellation; et comme l'usage a prvalu de dire _trente et un_, ces mots sont rests pour dsigner une toilette soigne. BIBLIOGRAPHIE Ne pas prendre le _Trait de la Roulette_, de Pascal, pour une tude sur le jeu du mme nom: il s'agit de la courbe appele aussi _cyclode_. Bien se garder de confondre le _Trait des Fluxions_, de Newton ou de Maclaurin, ni une tude sur les Caustiques, avec un livre de mdecine. Les deux plus anciens manuscrits franais d'algorithme et de gomtrie sont la Bibliothque Sainte-Genevive. Ils datent de 1275 et ont t publis par M. Charles Henry. On a un trait d'arithmtique imprim Trvise en 1478 et deux Bamberg en 1482 et 1483. L'allemand Ratdolt, mort en 1505, a imprim le premier des figures dans un texte de mathmatiques. RPERTOIRE D'aprs le Rpertoire bibliographique des sciences mathmatiques, en voie de publication, les crits sont rpartis d'aprs leur objet, _indpendamment des mthodes_, en _classes_ dsignes par une lettre capitale; les classes seront subdivises en _sous-classes_ dsignes par la lettre capitale de la classe affecte d'un exposant; les classes et les sous-classes sont partages en _divisions_ dsignes par un chiffre arabe; les divisions en _sections_ dsignes par une minuscule latine; les sections en _sous-sections_ reprsentes par une minuscule grecque. La notation relative un crit mathmatique est note dans un encadrement rectangulaire. Ainsi L^{1}4_b[alpha]_ est la notation qui dsigne un mmoire traitant des proprits du lieu gomtrique d'un angle droit circonscrit une conique. En effet L signifie _coniques et quadriques_; L^{1}, _coniques_; L^{1}4, _tangentes aux coniques_; L^{1}4_b_, _tangentes aux coniques faisant un angle donn_; la sous-section [alpha] traite du cas o l'angle est droit. Les auteurs ou diteurs d'crits mathmatiques originaux sont pris d'accompagner le titre de ces crits de la notation symbolique qui indique leur place dans la classification du rpertoire. Le Secrtaire de la commission permanente du Rpertoire est M. Laisant, 162, avenue Victor Hugo, Paris. Le rpertoire parat chez Gauthier-Villars par sries de 100 fiches in-32, 2 fr. la srie. Les 5 premires sries sont en vente. FIGURES On ne saurait contester les relations des mathmatiques avec la littrature. La rhtorique sacre ou profane lui emprunte ses plus belle _figures_. Le Nouveau-Testament abonde en _paraboles_; les crivains anciens et modernes ont fait avec succs usage de l'_ellipse_ et du _cercle_; tel orateur vhment a recours l'_hyperbole_; tel autre a fait briller ses arguments sous les vives couleurs du _prisme_. Certain grand gnral n'a-t-il pas eu l'heureuse inspiration d'associer la beaut gomtrique des _pyramides_ leur fabuleuse antiquit? GRAVITATION Dans le centre clatant de ces orbes immenses, Qui n'ont pu nous cacher leur marche et leurs distances, Luit cet astre du jour par Dieu mme allum, Qui tourne autour de soi sur son axe enflamm; De lui partent sans fin des torrents de lumire; Il donne, en se montrant, la vie la matire, Il dispense les jours, les saisons et les ans des mondes divers autour de lui flottants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Par del tous ces cieux, le Dieu des cieux rside. VOLTAIRE. Pourquoi ces mouvements et ces orbes divers Que six mondes errants tracent dans l'univers? Quel pouvoir auprs d'eux retient leurs satellites? O l'ardente comte a-t-elle ses limites? Pourquoi l'astre du jour, sur son axe agit, Vers le centre commun semble-t-il arrt? Tout fut lanc des mains du crateur suprme. Tout pse, attire, fuit, par un destin pareil; Le moindre grain de sable attire le soleil. Soumis aux mmes lois, dous d'une puissance Qui s'accrot par leur masse et perd par la distance, Les astres voyageurs dans les plaines du ciel Exercent l'un sur l'autre un effort mutuel. DARU. VANOUISSEMENT Que dites-vous? Comment? Je n'y suis pas: vous plairait-il de recommencer? Vous voulez, Acis, me dire qu'il fait froid; que ne disiez-vous: il fait froid! Ce passage de La Bruyre m'est revenu en mmoire l'occasion d'une locution nouvelle dj fort rpandue, et qui consiste nommer _varit vanouissante_ le cas particulier d'une conique qui se rduit un point ou deux droites. J'avoue que je n'ai pas compris tout d'abord. En bon franais, une _varit vanouissante_ devrait vouloir dire une varit qui s'vanouit, qui cesse d'exister, en sorte qu'une ellipse qui cependant est un genre et non une varit cesserait d'tre une varit quand elle se rduirait un point. Quel galimatias! Revenons La Bruyre. Vous voulez dire, Acis, que votre courbe se rduit un point ou deux droites: dites qu'elle se rduit un point ou deux droites. Mais, rpondez-vous, cela est bien uni et bien clair, et d'ailleurs qui ne pourrait en dire autant? Qu'importe, Acis? Est-ce un si grand mal d'tre entendu quand on parle et de parler comme tout le monde? PROUHET. APOLOGUE ORIENTAL DDI LA COMMISSION DES EXERCICES PHYSIQUES Un savant s'embarque sur une nacelle pour traverser un large fleuve. Il dit au batelier: --Connais-tu l'histoire? --Non. --Alors tu as perdu la moiti de ta vie. Connais-tu les mathmatiques? --Non. --Alors tu as perdu les trois quarts de ta vie! peine le savant avait-il prononc ces mots qu'un coup de vent fit chavirer la barque. --Sais-tu nager? demande son tour le batelier, au pauvre professeur qui se dbattait dans les flots. --Hlas, non. --Eh bien, tu as perdu ta vie tout entire. DIVINE PROPORTION La locution Moyenne et extrme raison viendrait de ce que si l'on considre la petite partie, la grande partie et la droite entire, on peut dire que, dans cet ordre, la raison de l'extrme gale la raison de la moyenne. Quoi qu'il en soit, Lucas de Burgo consacre 66 pages aux mrites d'une proportion qu'il qualifie de divine. ------ Un moderne, M. de Bonald affirme, dans sa _Lgislation primitive_ une autre proportion, obscure mais merveilleuse aussi, qui rglerait tout. On doit donc tablir cette proportion gnrale: _la cause est au moyen, ce que le moyen est l'effet_; ce qu'on peut considrer comme une expression algbrique A : B :: B : C, dont on fait l'application toute sorte de valeurs. ------ J.-J. Rousseau avait dj dit qu'il y a proportion continue entre le souverain, le prince et le peuple. Mais il avait ajout qu'on ne doit pas conclure une moyenne proportionnelle calculable par racine carre. En empruntant un moment des termes de gomtrie, je n'ignore pas que la prcision gomtrique n'a pas lieu dans les quantits morales. PHOBOS ET DEIMOS Ces deux satellites de Mars, rcemment dcouverts, ont t devins, grce un hasard singulier, par Voltaire dans son roman de _Micromegas_ et par Swift qui en attribue l'observation aux astronomes de Laputa. On lit dans Micromegas: En ctoyant la plante Mars... nos deux voyageurs virent deux lunes qui servent de satellites cette plante, et qui ont chapp aux regards de nos astronomes. Or, ce n'est qu'en 1877 que Hall a dcouvert les deux satellites de Mars. FOUGUEUX Il se livrait son temprament d'algbriste. Ce n'tait point des chiffres minuscules qu'il employait dans ses calculs, non! c'taient des chiffres fantaisistes, gigantesques, tracs d'une main fougueuse. Ses 2 et ses 3 s'arrondissaient comme des cocottes de papier; ses 7 se dessinaient comme des potences, et il n'y manquait qu'un pendu; ses 8 se recourbaient comme de larges lunettes; ses 6 et ses 9 se parafaient de queues interminables. Et les lettres avec lesquelles il tablissait ses formules, les premires de l'alphabet, _a_, _b_, _c_, qui lui servaient reprsenter les quantits connues ou donnes, et les dernires, _x_, _y_, _z_, dont il se servait pour les quantits inconnues ou dterminer, comme elles taient accuses d'un trait plein, sans dlis, et plus particulirement ses _z_, qui se contorsionnaient en zig-zags fulgurants! Et quelle tournure, ses lettres grecques, les [pi], les [lambda], les [omga] etc., dont un Archimde ou un Euclide eussent t fiers! Quant aux signes, tracs d'une craie pure et sans tache, c'tait tout simplement merveilleux. Ses + montraient bien que ce signe marque l'addition de deux quantits. Ses-, s'ils taient plus humbles, faisaient encore bonne figure. Ses X se dressaient comme des croix de Saint-Andr. Quant ses =, leurs deux traits, rigoureusement gaux, indiquaient vraiment que J.-T. Maston tait d'un pays o l'galit n'est pas une vaine formule, du moins entre types de race blanche. Mme grandiose de facture, pour ses <, ses >, pour ses [>/<] dessins dans des proportions extraordinaires. Quant au signe [V], qui indique la racine d'un nombre ou d'une quantit, c'tait son triomphe, et, lorsqu'il le compltait de la barre horizontale pour cette formule: [V] il semblait que ce bras indicateur dpassant la limite du tableau noir, menaait le monde entier de le soumettre ses quations furibondes! Et ne croyez pas que l'intelligence mathmatique de J.-T. Maston se bornt l'horizon de l'algbre lmentaire! Non! Ni le calcul diffrentiel, ni le calcul intgral, ni le calcul des variations ne lui taient trangers, et c'est d'une main sre qu'il traait ce fameux signe de l'intgration; cette lettre effrayante dans sa simplicit, [intgrale] somme d'une infinit d'lments infiniment petits! Il en tait de mme du signe [sigma], qui reprsente la somme d'un nombre fini d'lments finis, du signe [infini] par lequel les mathmaticiens dsignent l'infini, et de tous les symboles mystrieux qu'emploie cette langue incomprhensible du commun des mortels. JULES VERNE. ------ J.-T. Maston est le hros du roman _Sans dessus dessous_ (1889): des amricains achtent la calotte polaire qu'ils veulent utiliser, aprs avoir chang la direction de l'axe de la terre, l'aide d'un choc formidable. Malheureusement le calculateur a donn par mgarde 40.000 mtres au lieu de 40.000 kilomtres la circonfrence terrestre. NERF DE LA GUERRE Je dois avant tout louer l'activit et le dvouement du vaillant capitaine Tycho-Brahe, qui, sous les auspices des souverains de Danemark, Frdric et Christian, a, pendant vingt annes successives, tudi, chaque nuit et presque sans relche, toutes les habitudes de l'ennemi, dvoil ses plans de campagne et dcouvert les mystres de ses marches. Les observations, qu'il m'a lgues, m'ont aid bannir cette crainte vague et indfinie qu'on prouve d'abord pour un ennemi inconnu... Enfin l'ennemi se rsigna la paix, et par l'intermdiaire de sa mre la nature, il m'envoya l'aveu de sa dfaite, se rendit prisonnier sur parole, et l'Arithmtique et la Gomtrie l'escortrent sans rsistance jusque dans notre camp. Depuis lors, il a montr qu'on peut se fier sa parole; content de son sort, il ne demande qu'une grce Votre Majest: toute sa famille est dans le ciel; Jupiter est son pre, Saturne son aeul, Mercure son frre, et Vnus son amie et sa soeur; habitu leur auguste socit, il brle de les retrouver et voudrait les voir avec lui, jouissant, comme il le fait aujourd'hui, de votre hospitalit; il faut pour cela profiter de nos succs et poursuivre la guerre avec vigueur; elle n'offre plus de prils, puisque Mars est en notre pouvoir. Mais je supplie Votre Majest de songer que l'argent est le nerf de la guerre, et de vouloir bien commander son trsorier de livrer votre gnral les sommes ncessaires pour la leve de nouvelles troupes. KEPLER. BARME SUFFIT Tu me crois obsd par un mauvais gnie, Alcippe, tu te plains de l'trange manie Qui fait qu'en ma maison devenu prisonnier, D'un flot d'_x_ et d'_y_ je couvre mon papier. Laisse l, me dis-tu, l'algbre et ses formules, Laisse l ton compas, laisse l tes modules; C'est un emploi bien triste et des nuits et des jours Que d'intgrer sans fin et de chiffrer toujours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mais ont-ils ces mortels que le destin caresse, Au calcul intgral demand la richesse? Vois ce vieux financier. Sans cesse son comptoir, Il revient supputer son doit et son avoir. D'enchrir sur Euclide il n'a point la folie; Il ajoute, soustrait, divise ou multiplie, Et, de Barme seul coutant la leon, Laisse dormir en paix Descartes et Newton. CAUCHY. ------ M. Faurie, mort il y a quelques annes, avait compos, dit-on, un pome pique sur la guerre de Crime. CARR LONG Ma chambre est situe sous le quarante-huitime degr de latitude, selon les mesures du pre Beccaria; sa direction est du levant au couchant; elle forme un carr long qui a trente-six pas de tour, en rasant la muraille de bien prs. Mon voyage en contiendra cependant davantage; car je la traverserai souvent en long et en large, ou bien diagonalement, sans suivre de rgle ni de mthode.--Je ferai mme des zig-zags, et je parcourrai toutes les lignes possibles en gomtrie, si le besoin l'exige. X. DE MAISTRE. BEAUX ESPRITS L'esprit gomtrique donne beaucoup de flegme, de modration, d'attention et de circonspection. ... Tout ce qui fera donc ces esprits brillants, qui on a donn par privilge le titre de beaux esprits, je veux dire l'abondance, la varit, la libert, la promptitude, la vivacit; tout cela est directement oppos aux oprations gomtriques, qui sont simples, lentes, sches, forces et ncessaires. D. HUET. ------ Je sais qu'on me dira que les mathmatiques rendent particulirement appliqu; mais elles n'habituent pas rassembler, apprcier, concentrer: l'attention qu'elles exigent, est, pour ainsi dire, en ligne droite. Mme DE STAL. PIGRAMME Deux rois de France, Charles VI et Louis XV, ont reu tort le surnom de _bien-aim_. Les Parisiens firent au dernier cet pitaphe: Ci-gt Louis le quinzime, Du nom de bien-aim le deuxime; Dieu nous prserve du troisime! IMAGE Platon dit que la ligne droite est celle dont les points milieux ombragent les extrmes. Il dit aussi que le plan est une surface dont les parties du milieu ombragent les extrmes. Ces dfinitions, qui font image, sont pleines de grce et de posie. ICONOLOGIE La gomtrie est reprsente par une femme, d'ge moyen, couverte d'un voile blanc et transparent. Un globe est ses pieds et elle trace, avec un compas, un cercle sur un papier o sont dj d'autres figures. TROIS-SIX On dsigne, sous cette brve indication, l'alcool dont la force est telle qu'avec trois parties de cet alcool et trois d'eau, on fait six parties d'alcool ordinaire. SYNTAXE La syntaxe franaise est incorruptible. C'est de l que rsulte cette admirable clart, base ternelle de notre langue... On dirait que c'est d'une gomtrie tout lmentaire, de la simple ligne droite, que s'est forme la langue franaise. RIVAROL. SCIENCES OU LETTRES? Votre rpublique dose, mesure et rgle l'homme; la mienne l'emporte en plein azur; c'est la diffrence qu'il y a entre un thorme et un aigle. --Tu te perds dans le nuage. --Et vous dans le calcul. --Il y a du rve dans l'harmonie. --Il y en a aussi dans l'algbre. Je voudrais l'homme fait par Euclide. --Et moi, dit Gauvain, je l'aimerais mieux fait par Homre. --......... --......... --..... La rpublique, c'est deux et deux font quatre. Quand j'ai donn chacun ce qui lui revient... VICTOR HUGO. ADMIRATION L'tranget de cette science m'tonnait; rien ne m'y avait prpar dans ma vie. Tout tait galement nouveau, inattendu, comme si j'eusse respir sur une autre plante perdue aux confins de l'univers. Et je n'tais pas assez fantasque pour ne pas jouir de ces vrits inbranlables, les mmes partout, les seules qui m'eussent donn jusque l le sentiment de la certitude. C'taient mes yeux comme des colonnes d'meraude, fixes, immuables, qui se dressaient tout coup au milieu du chaos que mon intelligence enfermait. Je m'appuyais avec scurit sur ces colonnes; le monde se raffermissait mes yeux, et j'osais m'engager plus avant. J'aimais comme un Pythagoricien la puret incorruptible de la gomtrie. M. Clerc, intraitable sur les figures que nous devions tracer comme au burin, faisait de cette incorruptibilit un devoir. La langue de l'algbre, mystrieuse et lumineuse, me saisissait. Ce que j'admirais surtout dans cet idiome, c'est qu'il ne consent exprimer que des vrits gnrales, universelles, et qu'il ddaigne les vrits particulires. Je lui attribuais en cela une fiert que je refusais aux idiomes humains; ce point de vue l'algbre me semblait la langue du Dieu de l'esprit. Je comprenais assez bien aussi le genre de style propre l'algbre; j'tais frapp de l'art avec lequel les mathmaticiens loignent, rejettent, liminent peu peu tout ce qui est inutile pour arriver exprimer l'absolu, avec le plus petit nombre possible de termes, tout en conservant dans l'arrangement de ces termes un choix, un paralllisme, une symtrie qui semble tre l'lgance et la beaut visible d'une ide ternelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si l'algbre m'avait frapp, je fus bloui par l'application de l'algbre la gomtrie... L'ide, la possibilit d'exprimer une ligne, une courbe par des termes algbriques, par une quation, me parut aussi belle que l'Iliade. Quand je vis cette quation fonctionner et se rsoudre, pour ainsi dire, toute seule, entre mes mains, et clater en une infinit de vrits, toutes galement indubitables, galement ternelles, galement resplendissantes, je crus avoir en ma possession le talisman qui m'ouvrait la porte de tous les mystres. EDGARD QUINET. ------ E. Quinet s'est prpar l'cole polytechnique, comme Victor Hugo et Sully-Prudhomme. EN MORALE Les mathmatiques rendent l'esprit juste en mathmatiques, tandis que les lettres le rendent juste en morale. J. JOUBERT. PASCAL Il y avait un homme qui, douze ans, avec des barres et des ronds avait cr les mathmatiques; qui, seize, avait fait le plus savant trait des coniques qu'on et vu, depuis l'antiquit; qui, dix-neuf, rduisait en machine une science qui existe tout entire dans l'entendement; qui, vingt-trois, dmontra les phnomnes de la pesanteur de l'air et dtruisit une des plus grandes erreurs de l'ancienne physique; qui, cet ge o les autres hommes commencent peine natre, ayant achev de parcourir le cercle des connaissances humaines, s'aperut de leur nant et tourna toutes ses penses vers la religion. CHATEAUBRIAND. ------ Peut-tre ce singulier phnomne (la supriorit de Pascal comme crivain) doit-il en partie s'expliquer par l'influence mme des tudes abstraites qu'avait embrasses Pascal une poque o ces hautes connaissances, destitues encore de la perfection et de la facilit des mthodes, imposaient l'esprit l'effort d'une cration continuelle. Tout tait originalit dans une tude incomplte et renaissante. Une sorte d'enthousiasme et d'imagination leve s'attachait tous les essais de la science. L'amour de la vrit est une source sublime laquelle Pascal puisait; il en tira son loquence. Le bon got, le mpris des faux ornements et de la vaine Rhtorique naquirent pour lui de la grandeur des objets dont il avait occup son intelligence. L'originalit le suivit de la Gomtrie dans les lettres; il inventa son langage comme il avait trouv ses mthodes en gomtrie, et il enleva sa science favorite cette vigueur de dduction et ces raisonnements irrsistibles qui devinrent les armes de sa parole. VILLEMAIN. HEUREUX Que les Gomtres sont heureux! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oh! produire une indiscutable beaut, comme celle d'un thorme dmontr avec une simplicit ingnieuse, avec lgance en un mot, et d'une si haute porte que la prdiction d'un mouvement cleste en dpende! Vous est-il permis, vous autres artistes, vous surtout potes, de goter jamais le tranquille orgueil d'une cration pareille? SULLY-PRUDHOMME. BEAUT DE LA SCIENCE De l'oeuvre d'un Fresnel, d'un Ampre, d'un Cauchy, d'un Chasles, d'un Bernard, d'un Pasteur, d'un Berthelot, pour ne citer que des noms appels rester l'ternel honneur de notre pays et de notre temps, pouvons-nous admirer la beaut moins que la grandeur et l'utilit incomparables? En lisant les mmoires de Gauss, dont l'ge bientt sculaire n'a pas encore terni l'exquise fracheur, ne retrouvons-nous pas la fois, dans les dtails, ces splendides arabesques enlaces par l'imagination inpuisable des artistes de l'Orient; dans l'ensemble, un de ces temples merveilleux que les architectes de Pricls levaient aux divinits hellniques? CH. MRAY. RSULTATS NOMBRES CURIEUX M. Badoureau, ingnieur des Mines, donne les nombres suivants, dans son livre _Les Sciences exprimentales en 1889_: l'aile de la mouche peut faire 230 rvolutions par seconde.--La vitesse des trains atteint quelquefois 30m par seconde et approche de la vitesse maximum des hirondelles.--Le zro absolu serait -273: on n'a pu refroidir aucun corps jusqu' cette temprature.--L'homme brle actuellement 400 millions de tonnes de charbon par an.--La distance des deux molcules voisines d'eau liquide est de un millime de micron (Tait).--Ne produisent de la lumire que les vibrations d'ther dont la dure est comprise entre 1/394 et 1/758 de trillionime de seconde.--Nous voyons des corps situs 100 quintillions de mtres.--Le nombre des molcules dans un mtre cube de charbon, la surface de la Terre, comprend 26 ou 27 chiffres. PATIENCE Un amricain a consacr, pendant trois ans, huit heures par jour compter les versets, mots et lettres de la Bible. Il a trouv 31.175 versets, 773.692 mots, 3.556.480 lettres, 6.855 fois le nom Jehova, 46.227 fois la conjonction _et_, etc. Les Musulmans ont, de leur ct, un tel respect pour le Koran qu'ils savent jusqu'au nombre des mots et mme des lettres qui le composent: 77.639 mots et 323.015 lettres. UN COMPTEUR Un homme qui consacrerait sa vie noncer ou crire la suite des nombres atteindrait peine un milliard: le temps lui manquerait pour aller plus loin. Notre dette publique exige 1.292.319.475 francs par an sur un budget qui s'lve trois milliards onze millions neuf cent soixante-quatorze mille huit cent vingt-huit francs. PYRAMIDES La grande pyramide carre prsente des particularits qui supposent une science avance(?) Chaque face triangulaire est quivalente au carr de la hauteur de la pyramide. La section mridienne est l'aire de la base dans le rapport de 1 [pi]. Son poids est celui de la terre dans le rapport de 1 10^{15}. Elle est exactement oriente suivant le mridien et le parallle 30 degrs. Elle contient les lments de la distance de la terre au soleil, etc., etc. LOXODROMIE Les navigateurs ne suivent pas le plus court chemin sur la sphre, qui est l'arc de grand cercle entre les points extrmes, mais la courbe appele _loxodromie_ qui coupe tous les mridiens sous le mme angle et qui est figure par une droite sur la carte marine: ce qui permet de diriger facilement le navire. Cependant sur les bateaux vapeur, on ralise une conomie de charbon en suivant l'arc de grand cercle. La raison commerciale l'emporte ainsi sur la raison dmonstrative. CALENDRIER Le bourgeois gentilhomme de Molire demandait son matre de philosophie de lui enseigner le calendrier. Ce n'est pas si simple qu'on croit et on peut consulter sur le sujet une notice scientifique d'Arago. Lorsqu'en 1582, le pape Grgoire XIII fit sa clbre rforme, les protestants rsistrent d'abord, prfrant, a-t-on dit, tre en dsaccord avec le soleil que d'tre d'accord avec le pape. On craignait des objections populaires, lorsqu'en 1816 le temps moyen fut substitu au temps vrai pour les horloges et les montres, mais la rforme passa inaperue. Ne rglez pas votre montre sur un cadran solaire. Il obit au soleil et marque le temps _vrai_, tandis que nos horloges marquent le temps _moyen_: l'cart peut atteindre vingt minutes. QUATION DU 45e DEGR Un fait qui se rattache la vie scientifique de Vite, et que je vais vous raconter, rvle en mme temps l'estime dont Henri IV honorait son savant conseiller. Ce roi montrait, un jour, Fontainebleau, un ambassadeur de Hollande, les splendides et coteuses curiosits du palais, et l'entretenait en mme temps de quelques-unes des clbrits de son royaume. L'ambassadeur se permit de faire sur ce dernier sujet une rserve aux loges du roi: Sire, dit-il, vous n'avez pas cependant ici de mathmaticien. Un gomtre flamand, nomm Adrien Romanus, vient de publier un ouvrage dans lequel il dfie tous les savants de l'Europe de rsoudre un problme qu'il leur propose, et de tous les mathmaticiens de notre temps cits dans son livre, je n'en ai trouv aucun qui ft franais.--Si fait, si fait, rpondit vivement le roi, nous en avons un excellent; qu'on aille qurir M. Vite. On soumit notre savant qui avait suivi la cour Fontainebleau, le problme de Romanus. Pour tout autre que le savant et rudit Fontenaisien, l'nigme et t embarrassante. Il ne s'agissait de rien moins que de rsoudre une quation du 45e degr, renfermant 24 termes dont l'un est arbitraire et dont les autres sont multiplis par des nombres, la plupart de neuf chiffres, c'est--dire de plusieurs centaines de millions d'units. Vite, aprs avoir examin attentivement cette quation, eut le plaisir de retrouver une ancienne connaissance. C'tait une des nombreuses quations auxquelles donne lieu la division des arcs de cercle en parties gales. Il aperut aussitt la solution qui faisait seule l'objet du problme d'Adrien Romanus... ... Mais ce qu'il y eut de plus piquant, fut la remarque de Vite que ce problme admettait vingt-deux autres solutions auxquelles le bon Romanus n'avait pas song. ALLEGRET. STATISTIQUE FUNBRE Il meurt un tre humain par chaque seconde, sur l'ensemble du globe terrestre, soit 86.400 par jour, soit environ 31 millions par an, ou plus de 3 milliards par sicle. UNIFICATION DE L'HEURE On a distribu la Chambre des dputs un projet de loi, contresign par tous les ministres, ayant pour objet l'adoption de l'heure, temps moyen de Paris, comme heure lgale en France et en Algrie. C'est, en langage vulgaire, l'unification de l'heure sur toute l'tendue du territoire franais, en Corse et en Algrie, que propose le gouvernement. La diversit des heures, dit l'expos des motifs, se justifiait une poque o la vie locale tait prdominante, o les relations extrieures ne comportaient pas les mmes exigences que de nos jours, o, du reste, les moyens pratiques d'avoir rapidement l'heure de la capitale eussent fait dfaut. Le dveloppement du commerce et de l'industrie, l'tablissement des lignes tlgraphiques et des chemins de fer ont dsormais rendu invitable l'adoption de l'heure unique. Dj, tout ce qui tient aux relations par lettres ou par tlgrammes, c'est--dire presque toute la vie active, a continuellement besoin et se sert de l'heure de Paris. L'administration des postes et tlgraphes rgle les pendules ou cartels de tous ses tablissements d'aprs l'heure, temps moyen de Paris. Cette heure est transmise, au dbut de la journe, dans les bureaux tlgraphiques et les bureaux mixtes. Elle est prise aux horloges des gares de chemins de fer et porte par des courriers aux bureaux de poste non pourvus de tlgraphes. Il en rsulte que la plupart des agglomrations ont les plus grandes facilits avoir l'heure, sans observations, sans cadrans solaires et sans calculs. D'ailleurs, l'unification horaire est adopte dj par de nombreuses villes et le monde savant rclame instamment cette rforme qui a fait l'objet de voeux manant d'associations scientifiques et du bureau des longitudes. L'expos des motifs fait remarquer que cette modification sera peine sensible sur la plupart des points du territoire et que l'inconvnient passager qu'elle prsente aura pour contrepoids des avantages positifs qui le compenseront largement. Il rpond au surplus la principale objection par l'observation trs judicieuse qui suit: Quant l'objection qu'aprs la rforme le midi lgal ne concidera plus jamais avec le passage du soleil au mridien, on ne voit pas en quoi ce nouveau midi, milieu du jour, perd ne point s'accorder avec la culmination du soleil. Ce phnomne astronomique n'arrive Paris peu prs midi que _quatre fois par an_, au moment o l'quation du temps s'vanouit, et ce ne sera point la diffrence de hauteur du soleil ce moment qui pourra, sans instruments, indiquer la modification survenue dans l'heure du lieu. Il n'y aurait de relle objection que si l'adoption de l'heure unique devait modifier la rgularit de la vie agricole, le soleil rglant d'ordinaire les travaux des champs. Mais cette rgularisation de la journe par le soleil n'est pas absolue; le paysan n'a besoin de l'heure qu' une demi-heure prs; il se lve mme, l't, avant que le soleil paraisse, et les changements apports ses habitudes ne seront pas apprciables. ------ Voici l'article unique de la loi promulgue le 14 mars 1891: L'heure lgale en France et en Algrie est l'heure temps moyen de Paris. ANCTRES Des esprits peu rflchis se doutent-ils qu'il n'est pas un de nous la 20e gnration par exemple, qui n'ait 1 048 576 anctres? Ce simple calcul, trs connu dans la doctrine de la consanguinit, tablit vritablement cet tonnant rsultat. Tout le monde peut s'en convaincre par une progression gomtrique dont le premier terme est 2 et qui doit toujours crotre en raison double, puisque chaque individu a deux premiers anctres, son pre et sa mre, qui doivent aussi le jour deux personnes. Cette progression est donc [] 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256..., etc. On trouvera, en la suivant, que chaque homme a, dans le vingtime degr de parent ou la vingtime gnration, un million quarante-huit mille cinq cent soixante et seize anctres. Cette combinaison a t donne pour exacte dans un ouvrage de Mirabeau. _Lett. de cachet_, p. 281. FIL DE SOIE Un curieux a fait le calcul ci-aprs, qu'il est peut-tre peu facile de vrifier. --La ville de Lyon consomme annuellement un million de kilogrammes de soie monte ou tordue de diffrentes manires. Il faut quatre cocons pour produire un gramme de soie; la consommation lyonnaise en absorbe donc elle seule 4 milliards 200 millions. La longueur du fil de soie d'un cocon est en moyenne de 500 mtres. Les quatre milliards 200 millions fils annuellement pour l'industrie lyonnaise formeraient ensemble, d'aprs cela, un fil de 2100 milliards de mtres ou 2 milliards 100 millions de kilomtres. Cette longueur fait quatorze fois la distance de la terre au soleil, et 5494 fois celle de la lune la terre. Elle ferait aussi 52505 fois le tour de la terre sur l'quateur, et 200 mille fois le tour de la lune. MORTS Un oisif a calcul que depuis la cration du monde, il est mort 26 quatrillions 628 trillions 843 billions 285 millions 75 mille 840 individus de l'espce humaine. Nous rcrivons ci-dessous ce grand nombre: 26 628 843 285 075 840. THORME MILITAIRE Deux troupes s'quivalent quand le produit de leur coefficient mcanique par leur courage et par le carr de leur effectif est le mme. STPHANOS. Le courage est-il une grandeur mesurable? FANTAISIES LA SAVANTE Vous devriez.... M'ter, pour faire bien, du grenier de cans, Cette longue lunette faire peur aux gens, Et cent brinborions dont l'aspect importune: Ne point aller chercher ce qu'on fait dans la lune Et vous mler un peu de ce qu'on fait chez vous, O nous voyons aller tout sans dessus dessous. MOLIRE. ------ Elle rsout d'un mot, en plaant sa fontange, Ces grandes questions qui terrassent Lagrange. On voit sur sa toilette un Euler, un Pascal, Salis et barbouills de rouge vgtal. Elle trouve en Newton je ne sais quoi d'aimable Et l'algbre a pour elle un charme inexprimable. Le soir dans un donjon, d'un regard curieux, Au bout d'une lunette interrogeant les cieux, Son oeil observateur y poursuit la comte; Lalande tous les ans lui vole une plante. COLNET. UN OUBLI Le rgiment d'artillerie en garnison dans notre ville est parti pour les grandes manoeuvres, _en oubliant d'emporter les trajectoires_. (_Extrait d'un journal de Toulouse, lors de la guerre de Tunisie_.) ------ D'aprs J. Janin: M. Arago, l'oeil la lunette, voit la plante dcrire, _ la fois_, les deux axes de son ellipse. VENGEANCE Tout le monde a entendu parler des automates de Vaucanson, des joueurs de flte, de tambourin ou d'checs; des canards qui barbottaient, avalaient le grain et le digraient, etc. L'ingnieur mcanicien inventa aussi des machines pour la fabrication des soieries de Lyon, mais les ouvriers s'ameutrent contre lui. Il rpondit en construisant un ne qui excutait une toffe fleurs. NEPTUNE On cite quelquefois ce vers de Lemierre, pote oubli, Le trident de Neptune est le sceptre du monde. Ce vers (solitaire) a t appliqu l'astronome Le Verrier, tout puissant sous le second empire. C'tait un savant illustre, le continuateur de Laplace: on lui a lev une statue dans la cour de l'Observatoire de Paris. MADRIGAL ALGBRIQUE Sans doute vous serez clbre Par les grands calculs de l'algbre, O votre esprit est absorb: J'oserai m'y livrer moi-mme; Mais, hlas! A + C - B N'est pas = je vous aime. VOLTAIRE. PLUS QUE PROBABLE Un bonhomme, ayant rv qu'il gagnerait un terne la Loterie, consulte un ami sur le choix du numro. L'autre est d'avis qu'un fou pourra, sur ce point, donner un bon conseil. Ils vont aux Petites-Maisons. Le pensionnaire les coute attentivement, puis il crit un chiffre sur un bout de papier... et l'avale. Revenez demain, dit-il, je vous assure que le numro sera sorti. VIEUX REFRAINS Te souvient-il alors Du thorme de Taylor? Nous n'y vmes tous deux Que du feu. Par des tmoins je me suis laiss dire Que parfois Sturm et le bon Grono Allaient chercher, pleins d'un charmant dlire, Un thorme au fond d'un vieux tonneau. DIPLOMATIE ET POLITIQUE Quelques-uns affirment encore, dit en souriant le diplomate, que le plus court chemin est la ligne droite. N'en croyez rien, mon jeune ami. LES MODRS Deux et deux font quatre, assure l'un; l'autre rplique avec nergie que deux et deux ne font que trois; l'homme du juste milieu conclut que deux et deux font trois et demi. SOURD PARLANT La Condamine est aujourd'hui Reu dans la troupe immortelle; Il est bien sourd,--tant mieux pour lui! Mais non muet,--tant pis pour elle. PIRON. ZRO ACADMIQUE Quant Labruyre se prsente Pourquoi faut-il crier haro? Pour faire un nombre de quarante Ne fallait-il pas un zro! Variante: Trente-neuf joints zro, Si j'entends bien mon numro, N'ont jamais pu faire quarante; D'o je conclus, troupe savante, Qu'ayant vos cts admis Cottin, cette masse pesante, Le digne cousin de Louis, La place est encor vacante. Dans le mme ordre d'ides, on peut citer ce madrigal de Boufflers Mme de Stal: Je vois l'Acadmie o vous tes prsente; Si vous m'y recevez, mon sort est assez beau. Nous aurons tous deux de l'esprit pour quarante, Vous comme quatre et moi comme zro. Les variantes sont nombreuses: Ils sont l quarante qui ont de l'esprit comme quatre. N'oublions pas le distique de Fontenelle: Sommes-nous trente-neuf, on est nos genoux, Et sommes-nous quarante, on se moque de nous. TIERS ET DEMI Quel est le tiers et demi de cent? C'est cinquante, puisque le tiers d'une chose plus la moiti de ce tiers, c'est tout simplement la moiti de la chose. AMUSETTES 1 [pi] est incommensurable, en effet: vache = [bta][pi]; d'o vachel = [bta][pi]_l_; changeant l'ordre des facteurs, cheval = [bta][pi]_l_; d'o [pi] = cheval/[bta]_l_=cheval/oiseau. 2 bouteille 1/2 pleine = bouteille 1/2 vide, d'o, en divisant les deux membres par 1/2, bouteille pleine = bouteille vide. 3 10 centimes = 2 sous; d'o, en levant au carr, 100 centimes ou un franc = 4 sous. 4 Pour peupler un colombier, il suffit de dcrire une circonfrence avec un jonc pour rayon; en effet, on a ainsi: deux pigeons. 5 Dire l'tendue et le prix d'un champ o du champagne a t bu minuit par trois cardinaux.--Rponse: 1 hectare, 7 ares, 3 centiares. 6 Si six scies scient six cigares, six cent six scies scient six cent six cigares: ce n'est plus une rgle de trois, c'est une rgle de six ou de scies. 7 Trois joueurs jouent ensemble toute une nuit. Aprs la dernire partie, il se trouve qu'ils ont gagn chacun 20 fr.--C'taient trois joueurs de violon. 8 Obtenir le nombre 21 avec trois villes de France et seulement 20 en ajoutant une quatrime.--Troyes, Foix, Cette, Autun. Etc., etc. BON PLACEMENT Voil de l'argent bien plac! s'cria le duelliste, en sentant la balle s'aplatir sur une pice de cinq francs, place dans la poche de son gilet. MRY. SPECTACLE TOURNANT Quelquefois, par exemple, je me figure que je suis suspendu en l'air, et que j'y demeure sans mouvement, pendant que la terre tourne sous moi en vingt-quatre heures. Je vois passer sous mes yeux tous ces visages diffrents, les uns blancs, les autres noirs, les autres olivtres. D'abord ce sont des chapeaux, et puis des turbans, et puis des ttes chevelues, et puis des ttes rases; tantt des villes clocher, tantt des villes longues aiguilles qui ont des croissants, tantt des villes tours de porcelaine, tantt de grands pays qui n'ont que des cabanes; ici de vastes mers, l des dserts pouvantables; enfin toute cette varit infinie qui est sur la surface de la terre. FONTENELLE. OISEAUX De six oiseaux, en tuant trois, combien en demeure? Il n'en demeure aucun, les autres s'enfuient. TABARIN. JOUETS MATHMATIQUES E. Lucas nous a encore donn rcemment la Fasioulette, la Pipopipte, la Tour d'Hano, l'Icosagonal et l'Arithmtique diabolique. C'est drle et instructif. X, Y ET Z X... est mon nom; je ne sais quel caprice Me fit donner un nom si dur, si sec; J'eus pour cadet un frre qu'en nourrice On baptisa du joli nom d'Y... Pour complter cette liste gentille Il nous survint un tiers frre pun Qu'on nomma Z..., et voil la famille Dont j'ai l'honneur, Messieurs, d'tre l'an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Je suis tout ce que l'on ignore, Ce que l'imprudente Pandore Cherchait au fond de son crin . . . . . . . . . . . . . . . . Je disparais sitt qu'on m'a tenu, Et plus l'esprit marche et progresse Plus devant lui j'agrandis l'inconnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cette boutade, dont nous ne citons que quelques vers, est due un de nos grands anciens l'cole polytechnique (Promotion de 1834). ------ Vacquerie, ancien candidat, dit en parlant de lui-mme: On le tordit, depuis les ailes jusqu'au bec, Sur l'affreux chevalet des x et des y. RASSURANT --Docteur, l, vraiment, est-ce que j'en reviendrai? --Infailliblement! rpond le mdecin qui tire un imprim de sa poche. Et faisant lire ce papier au malade: --Tenez, voil la statistique de votre cas. Vous voyez qu'on en gurit un sur cent. --Eh bien! fait le malade effray. --Eh bien! vous tes le centime que j'ai entre les mains et les 99 premiers sont morts. PLAIDOIRIE EN CHIFFRES Le docteur Flamand, garde national, ayant manqu son service le 5 fvrier, adressa l'ptre suivante au conseil de discipline: Mes manquements, Messieurs, ne sont pas trs comm..... 1 Aujourd'hui je demande indulgence pour................ 2 Ma mre tait malade en la ville de................... 3 Pour partir l'instant j'ai fait le diable ......... 4 Vous m'avez, il est vrai, command pour le............ 5 Mais auprs d'un malade il faut tre pr.............. 6 Pour appliquer temps l'onguent et la lan............ 7 Dieu merci! j'ai vaincu la fivre et la pit........... 8 J'ai fait la malade un estomac tout ................ 9 Vous pardonnerez bien mon zle, cad................. 10 Et, pour un fils, vos coeurs ne seront pas de br..... 11 Alors je monterai des gardes par..................... 12 (aines). Le conseil de discipline, qui tait ce jour-l plus spirituel que de coutume, lui rpliqua en ces termes: Vous ftes, on le sait, autrefois pour chaque......... 1 Un modle de zle, et c'est vraiment hi............... 2 Qu'il n'en soit plus ainsi; votre maman de............ 3 N'est qu'un prtexte ici, dont sans vous mettre en.... 4 Vous auriez d parler en termes plus suc.............. 5 En effet, vous vit-on jamais aux exer................. 6 Aux gardes! Non, sans doute, ainsi votre pla.......... 7 Ne peut mettre nant la citation du................. 8 l'htel Bazancourt vous irez donc le................ 9 La cour vous y condamne: l vous irez, san............ 10 Mditer loisir si nous sommes de br................. 11 Et vous y resterez, Monsieur, jusques au.............. 12 LE CAF Il peut du philosophe gayer les systmes, Rendre aimables, badins, les gomtres mmes Par lui l'homme d'tat, dispos aprs dner, Forme l'heureux projet de nous mieux gouverner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il peut de l'astronome claircissant la vue L'aider retrouver son toile perdue. BERCHOUX. SILENCIEUX Il y avait Amadan une clbre Acadmie, dont le premier statut tait conu en ces termes: _Les Acadmiciens penseront beaucoup, criront peu, et ne parleront que le moins possible._ On l'appelait l'_Acadmie silencieuse_, et il n'tait point en Perse de vrai savant qui n'et l'ambition d'y tre admis. Le docteur Zeb, auteur d'un petit livre excellent, intitul le Billon, apprit, au fond de sa province, qu'il vaquait une place dans l'Acadmie silencieuse. Il part aussitt; il arrive Amadan, et, se prsentant la porte de la salle o les Acadmiciens sont assembls, il prie l'huissier de remettre au prsident ce billet: _Le docteur Zeb demande humblement la place vacante._ L'huissier s'acquitta sur-le-champ de la commission; mais le docteur et son billet arrivaient trop tard; la place tait dj remplie. L'Acadmie fut dsole de ce contre-temps; elle avait reu, un peu malgr elle, un bel esprit de la Cour, dont l'loquence vive et lgre faisait l'admiration de toutes les ruelles, et elle se voyait rduite refuser le docteur Zeb, le flau des bavards, une tte si bien faite, si bien meuble! Le prsident charg d'annoncer au docteur cette nouvelle dsagrable, ne pouvait presque s'y rsoudre, et ne savait comment s'y prendre. Aprs avoir un peu rv, il fit remplir une grande coupe, mais si remplie, qu'une goutte de plus et fait dborder la liqueur; puis il fit signe qu'on introduist le candidat. Il parut avec un air simple et modeste, qui annonce presque toujours le vrai mrite. Le prsident se leva, et, sans profrer une seule parole, il lui montra d'un air afflig la coupe emblmatique, cette coupe si exactement pleine. Le docteur comprit de reste qu'il n'y avait plus de place dans l'Acadmie; mais, sans perdre courage, il songeait faire comprendre qu'un acadmicien surnumraire n'y drangerait rien. Il voit ses pieds une feuille de rose, il la ramasse, il la pose dlicatement sur la surface de l'eau, et fait si bien qu'il n'en chappe pas une seule goutte. cette rponse ingnieuse, tout le monde battit des mains, on laissa dormir les rgles pour ce jour-l, et le docteur Zeb fut reu par acclamation. On lui prsenta sur-le-champ le registre de l'Acadmie, o les rcipiendaires devaient s'inscrire eux-mmes. Il s'y inscrivit donc, et il ne lui restait plus qu' prononcer suivant l'usage, une phrase de remerciement. Mais, en acadmicien vraiment silencieux, le docteur Zeb remercia sans dire mot. Il crivit en marge le nombre _cent_, c'tait celui de ses nouveaux confrres; puis en mettant un zro devant le chiffre, il crivit au-dessous: _Ils n'en vaudront ni moins, ni plus_ (0100). Le prsident rpondit au modeste docteur avec autant de politesse que de prsence d'esprit. Il mit le chiffre _un_ devant le nombre _cent_ et il crivit: _ils en vaudront dix fois davantage_ (1100). ABB BLANCHET (apologues orientaux): Nous pensons que ce prsident dut crire: ils en vaudront mille de plus. PARADOXES ET SINGULARITS Nous passons maintenant aux exceptions, aux fantaisies et aux trangets qui peuvent nous intresser aussi dans une certaine mesure. Cette troisime partie du livre se distingue parfois assez faiblement de la prcdente. Les ides hardies et neuves, qui sont les paradoxes d'aujourd'hui, seront peut-tre les vrits de demain. PHILOSOPHIE AXIOMES ET THORMES Qu'est-ce que la plupart de ces axiomes dont la gomtrie est si orgueilleuse, si ce n'est l'expression d'une mme ide simple par deux signes ou mots diffrents? Celui qui dit que _deux et deux font quatre_ a-t-il une connaissance de plus que celui qui se contenterait de dire que _deux et deux font deux et deux_? Les ides de tout, de partie, de plus grand et de plus petit ne sont-elles pas, proprement parler, la mme ide simple et individuelle, puisqu'on ne saurait avoir l'une sans que les autres se prsentent toutes en mme temps? Nous devons, comme l'ont observ quelques philosophes, bien des erreurs l'abus des mots; c'est peut-tre ces mmes abus que nous devons les axiomes. Je ne prtends point cependant en condamner absolument l'usage: je veux seulement faire observer quoi il se rduit; c'est nous rendre les ides simples plus familires, par l'habitude, et plus propres aux diffrents usages auxquels nous pouvons les appliquer. J'en dis peu prs autant avec les restrictions convenables, des thormes mathmatiques. Considrs sans prjugs, ils se rduisent un assez petit nombre de vrits primitives. Qu'on examine une suite de propositions de gomtrie dduites les unes des autres, en sorte que deux propositions voisines se touchent immdiatement et sans aucun intervalle, on s'apercevra qu'elles ne sont que la premire proposition qui se dfigure, pour ainsi dire, successivement et peu peu, dans le passage d'une consquence la suivante, mais qui pourtant n'a point t rellement multiplie par cet enchanement et n'a fait que recevoir diffrentes formes... ... On peut donc regarder l'enchanement de plusieurs vrits gomtriques comme des traductions plus ou moins diffrentes et plus ou moins compliques de la mme proposition, et souvent de la mme hypothse. Ces traductions sont au reste fort avantageuses par les divers usages qu'elles nous mettent la porte de faire du thorme qu'elles expriment; usages plus ou moins estimables, proportion de leur importance et de leur tendue. Mais tout en convenant du mrite rel de la traduction mathmatique d'une proposition, il faut reconnatre aussi que ce mrite rside originairement dans la proposition mme. C'est ce qui doit nous faire sentir combien nous sommes redevables aux gnies inventeurs qui, en dcouvrant quelqu'une de ces vrits fondamentales, source et, pour ainsi dire, original d'un grand nombre d'autres, ont rellement enrichi la gomtrie et tendu son domaine. D'ALEMBERT. COMPTABLE Les vrits mathmatiques... sont moins des vrits que des outils pour en acqurir, puisque, faisant abstraction de la nature des choses, elles ne s'occupent que de leur grandeur ou de leur forme. Elles me laissent, au regard du monde, comme ferait un comptable, qui, voulant dresser l'tat de sa caisse, tablirait le nombre de ses billets, sans se proccuper de leur valeur. J. WALLON. ------ Les mathmatiques ne dveloppent l'esprit que sous une face. Elles ont pour unique objet la _forme_ et la _quantit_. Elles s'arrtent donc pour ainsi dire la surface des choses, sans pntrer jusqu' leurs qualits essentielles, jusqu' leurs relations internes, de beaucoup les plus importantes. KLUMPF. ------ Aprs cette premire tape, indispensable, on ira plus loin, si l'on peut. ------ LOGIQUES ANGLAISES Certains de nos contemporains d'outre-Manche ont tent de rgnrer la logique, en lui donnant un caractre mathmatique. ------ De Morgan, aprs avoir rappel que, dans toute langue, il y a des noms positifs et des noms ngatifs, comme vertbr et invertbr, dit que tout nom, sans exception, doit tre considr comme pouvant tre pris positivement ou ngativement. Le mot _homme_, par exemple, s'applique positivement Alexandre et ngativement Bucphale, qui tait un non-homme. Si U est la totalit considre et X sa partie positive, sa partie ngative U - X est dsigne par _x_. Les propositions s'crivent alors symboliquement sous forme d'galits. ------ Boole gnralise le problme de la dduction qui n'est d'abord que l'limination d'un terme moyen dans un systme de trois termes. Il considre un nombre quelconque de termes et se propose d'liminer autant de termes moyens qu'on voudra. Le logicien s'est ainsi propos d'appliquer l'algbre la logique: il adopte les symboles 1 (tout) et 0 (rien), puis _x_, _y_, _z_, etc., pour reprsenter les choses, en tant que sujets de nos conceptions, et les signes, +, -, , =, pour les appliquer aux oprations de l'esprit. ------ Enfin Stanley Jevons a imagin, l'instar des machines arithmtiques, une _machine logique_ qui est un petit piano 21 touches, les unes correspondant aux termes positifs ou ngatifs (sujets ou prdicats) et les autres aux oprations: copules, etc. On raisonne pour ainsi dire mcaniquement, en jouant de ce piano. AVANT LEIBNIZ ET NEWTON On a vraiment lieu de s'tonner que le _Calcul infinitsimal_ n'ait pas t invent plus tt, surtout quand on songe que ceux qui, par mtier, se livrent des travaux d'une certaine prcision, auraient d y tre conduits comme par la main. Ainsi, tout charpentier ou tailleur de pierre est journellement mme de voir qu'il est peu prs impossible que l'outil, destin suivre la marque pour diviser une planche ou une pierre, entame exactement le milieu de la ligne trace, qu'il y a presque toujours des dviations, plus ou moins sensibles autour de ce milieu, et que la somme de ces dviations peut devenir trs marque. Un marchand qui aune un morceau d'toffe, et le coupe suivant la marque trace, n'ignore pas combien il lui est facile de retenir son profit une fraction de mesure qui chappe l'oeil de l'acheteur le plus vigilant; et il sait qu' la longue les sommes de ces quantits imperceptibles peuvent faire des aunes ou des mtres entiers. Il en est de mme du dtaillant qui vend les denres au poids: des grains de poussire, salissant le plateau d'une balance, s'ajoutent au poids, et les sommes de ces infinitsimales, indfiniment rptes, n'chappent pas l'esprit mercantile. Il est regretter que ces dtails de la vie matrielle, qui ont leur importance, aient toujours t jugs indignes d'un penseur. Si les philosophes, l'poque o la philosophie comprenait toutes les connaissances humaines, avaient daign y porter leur attention, ils auraient devanc les grands philosophes gomtres du XVIIe sicle. F. HOEFER. ------ Confusion entre le trs petit et l'infiniment petit. PDANT Un instituteur, aprs avoir fait compter des billes et autres objets matriels aux bambins, s'cria, avant de passer aux nombres isols: Attention, je vais faire des abstractions! L'HARMONIEN Le Civilis (homme actuel) est l'Harmonien (homme perfectionn?) comme 12 est 32, c'est--dire comme l'addition est la multiplication, car le nombre 32 est le produit de 8 par 4, c'est--dire du premier cube par le premier carr, tandis que 12 n'est que la somme de ces deux chiffres. A. TOUSSENEL. ------ Les attractions sont proportionnelles aux destines. CHARLES FOURIER. LA MTAGOMTRIE Quelques mathmaticiens philosophes se sont propos de reconstituer la gomtrie, sans admettre que par un point on ne peut mener qu'une parallle une droite. De l des _gomtries non euclidiennes_ o la somme des angles d'un triangle n'est plus gale deux droits: dans celle de Riemann, elle est plus petite que deux droits et dans celle de Lobatschewski, elle est plus grande. On peut interprter ces hypothses singulires en prenant pour surface fondamentale l'ellipsode et l'hyperbolode deux nappes. ------ On a aussi parl d'une gomtrie plus de trois dimensions et considr ce qu'on appelle l'_hyperespace_. Il s'agit simplement des quations plus de trois variables, mais les calculs ne sont susceptibles d'aucune traduction concrte. ------ La gomtrie euclidienne est, _ leur sens_, une premire approximation, applicable en toute rigueur aux figures infiniment petites et, avec une approximation suffisante, aux figures finies dont les dimensions ne dpassent pas certaines limites... En dehors de ces limites, la mme gomtrie usuelle peut au contraire, d'aprs eux, tomber compltement en dfaut, ou conduire aux erreurs les plus grossires pour des figures assez grandes. BOUSSINESQ. ------ Des trois axiomes de la gomtrie, le premier seul (celui de la distance et de ses proprits essentielles) est un _axiome principal_, c'est--dire indispensable pour l'tablissement d'un systme quelconque de gomtrie. Les deux autres (celui de l'augmentation indfinie de la distance et celui de la parallle unique) sont secondaires ou de simplification. Ils servent uniquement carter des systmes de gomtrie plus compliqus que le systme usuel, mais cependant complets, logiquement possibles et conduisant en pratique aux mmes rsultats que la gomtrie usite, dans les limites de nos moyens de mesure... La gomtrie gnrale se divise en trois branches: la gomtrie usite, la gomtrie abstraite et la gomtrie doublement abstraite. Dans la seconde on ne se prive que du troisime axiome, tandis que dans la troisime on se prive aussi du second. Les trois gomtries s'appellent quelquefois euclidienne, gaussienne et riemanienne. DE TILLY. ------ Je ne parlerai point de la Gomtrie _n_ dimensions; ce n'est que de l'Analyse, sous des noms emprunts la Gomtrie. Cette tude remonte aux _lieux analytiques_ de Cauchy, qui, du moins, ne cherchait pas cacher sa pense et donner le change par des dmonstrations absurdes (_Comptes-rendus_, 1847). Au moyen de ces espaces, dont nous ne pouvons avoir aucune ide, et aussi, peut-tre, au moyen de la considration des points et des lignes distance _infinie_ ou _imaginaire_, dont je crains que les modernes n'aient un peu _abus_, on dpouille la Gomtrie de ce qui forme son meilleur avantage et son charme particulier, de la proprit de donner une reprsentation sensible aux rsultats de l'Analyse et l'on remplace cette qualit par le dfaut contraire, puisque des rsultats qui n'auraient rien de choquant, sous leur forme analytique, n'offrent plus de prise l'esprit ou paraissent _absurdes_ lorsqu'on les exprime par une nomenclature gomtrique, supposant des points, des lignes ou des espaces qui n'ont aucune existence relle, et dont l'admission rpugne au bon sens ou dpasse l'intelligence. GENOCCHI. ------ Quelqu'un a dit que les hommes pourraient douter des vrits mathmatiques, s'ils y avaient intrt; ce n'est pas assez dire, ils peuvent en douter, par curiosit d'esprit et par simple libert de supposer. RENOUVIER. ------ Tout l'objet des nogomtres, dit encore le mme philosophe, est de s'exercer des analyses mathmatiques sur des hypothses varies, sans se proccuper d'aucune autre vrit que de celle du rapport des conclusions aux prmisses. ------ Les gomtries singulires qui ont surgi dans ces dernires annes (gomtries fin-de-sicle) ne doivent inquiter aucun esprit. Ce sont de purs exercices de logique: des chercheurs paradoxaux se sont demand ce qu'il resterait de la gomtrie, si l'on refusait d'admettre le postulatum des parallles. La gomtrie non euclidienne n'est, suivant M. Mouret, qu'un art, une sorte de posie gomtrique ou de jeu intellectuel. LOI DE MALTHUS L'conomiste Malthus a _prtendu_ que, tandis que la subsistance croissait en progression arithmtique, la population croissait en progression gomtrique, c'est--dire beaucoup plus vite, de l une rupture d'quilibre redouter. Le remde consisterait ralentir l'accroissement de la population.--Crainte chimrique, la population peut crotre librement. Sa vitesse d'accroissement a diminu, hlas, en France. L'ME ET LA VIE Pour peindre plus exactement la diffrence entre l'me et la vie, Lordat fait usage d'une comparaison emprunte la gomtrie. Il reprsente la vie comme un fuseau, qui a un diamtre presque nul son extrmit commenante, va en se renflant sans cesse jusqu'au milieu, puis dcrot insensiblement et finit par redevenir presque nul. Au contraire, l'me est reprsente par une parabole. Partie d'un point imperceptible, la parabole se dveloppe lentement, mettant deux lignes symtriques, qui s'allongent sans cesse pour se perdre dans l'infini. L. FIGUIER. ------ Voir l'_Alliance entre l'me pensante et la force vitale_, par Lordat. Ce mdecin philosophe admet que l'me gagne en force chez le vieillard, tandis que la vie s'affaiblit. SCEPTICISME Ce sont des triangles, des carrs, des cercles et d'autres figures semblables; ils les mlent et les confondent en forme de labyrinthes. Ce sont aussi des lettres ranges comme un bataillon spar en plusieurs compagnies: c'est par ces momeries qu'ils blouissent les sots. ERASME. ------ Qui pourra jamais me persuader que d'un amas confus de petites lignes, de croix, etc., de chiffres, etc., dont leurs livres sont remplis et qui peut-tre sont mis au hasard (sic), on puisse jamais dduire des inventions utiles aux hommes et avantageuses la socit? SEXTUS EMPIRICUS. ------ Je te ferai voir, dans ce trait, qu'il n'y a pas moins de sujets de doute en mathmatiques qu'en physique, en morale, etc. HOBBES. ------ Nous dmontrons les vrits mathmatiques, parce que nous les faisons. VICO. ------ Ce qu'on appelle vrits mathmatiques se rduit des identits d'ides, et n'a aucune ralit. BUFFON. ------ Le gomtre avance de supposition en supposition, et retournant sa pense sous mille formes, c'est en rptant sans cesse _le mme est le mme_, qu'il opre tous ses prodiges. CONDILLAC. ------ Rien n'est moins exact, dit M. Liard, que cette doctrine qui ne tendrait rien moins qu' faire du systme entier des mathmatiques une vaste tautologie, o tout progrs apparent se rduirait une ternelle rptition. Les notions qu'unissent les propositions mathmatiques ne sont pas des redites les unes des autres; si le nombre 10 est gal 5 + 5, il diffre de la somme 5 + 5 par la forme impose la runion des 10 units ici assembles en un seul nombre, l groupes en deux nombres gaux;.... si la somme des trois angles d'un triangle est quivalente deux angles droits, autre chose est tracer dans l'espace les trois angles de ce triangle, autre chose y tracer deux angles droits. ------ Lorsque Archimde dmontre que le cercle quivaut au triangle qui aurait pour base la circonfrence et pour hauteur le rayon, il ne s'agit l ni d'identit, ni d'galit: un cercle et un triangle ne sont pas une seule et mme chose! Ampre repoussait bien loin ce qu'il appelait _la ridicule identit_. AVENIR L'avenir tient dans le prsent, comme les proprits du triangle tiennent dans sa dfinition. P. BOURGET. ------ Aphorisme inconciliable avec la libert humaine. BORN L'homme ne voit pas faux, comme le supposent les sceptiques subjectifs; il voit born. Il juge son univers grand et vieux; ce n'est pourtant que _a_ dans la formule [infini] + _a_, or, dans ce cas, _a_ = 0. RENAN. NOMBRE INFINI Tout nombre, c'est--dire toute somme d'units relles, est essentiellement fini; car, puisque chacun des nombres obtenus par des additions successives ne diffre du prcdent que par une unit, tous ces nombres successifs sont donc ncessairement finis la fois, le second par le premier, le troisime par le second, etc. Tout nombre est ncessairement pair ou impair, premier ou non premier; s'il est pair, il ne contiendra pas tous les nombres impairs; s'il est premier, il ne contiendra pas le dernier des nombres premiers, car la srie des nombres premiers est illimite. En tous cas, qu'il soit premier ou non premier, il ne contiendra pas son carr, son cube, sa quatrime puissance; il ne sera donc pas plus grand que tout nombre donn; il ne sera pas infini, mais fini. Tout nombre est essentiellement fini, donc le nombre des hommes qui ont exist sur la terre est fini et il y a eu un premier homme; donc le nombre des rvolutions de la terre _autour du soleil_ est fini et il y a eu une premire rvolution.... ABB MOIGNO. LES PRINCIPES On peut dire _a priori_ qu'il est absurde d'essayer de dmontrer par l'analyse les principes de la gomtrie et de la mcanique. Ces principes sont vidents ou rsultent de l'exprience. Tout calcul les prsuppose. Nous admettons difficilement des gomtries sans aucune figure et des mcaniques o l'on ne parle que d'quations diffrentielles. TULIPES Vous savez que le tout est plus grand que sa partie et que, qui ajoute choses gales choses gales, les touts sont gaux: vous savez toutes les mathmatiques... Les tulipes qui naissent prsent taient bien enveloppes dans celles qui fleurissaient il y a 600 ans. Ainsi les quations de l'algbre sont-elles bien enveloppes dans les propositions que je viens de vous dire; mais il ne tient qu' les en tirer. Elles y sont: vous voyez les plus simples et les plus aises en sortir, puis les autres. Je ne vous apprends rien, mais je vous fais voir jusqu'o va ce que vous saviez. FONTENELLE. ------ Toutes les vrits mathmatiques sont _implicitement_ contenues dans les premires notions, soit, mais il s'agit de les dgager! LIGNE DE CONDUITE La ligne courbe reprsente le cours de la vie pratique, toute de ncessit, de rapport avec nos proches, nos semblables, ou pleine de mnagement pour autrui, de concessions rciproques, de sacrifices mutuels. La ligne droite reprsente la vie thorique, l'idal, l'ide indpendante, absolue. Mme PAPE-CARPENTIER. ------ Cet extrait est tir du livre _Le secret des grains de sable_ o l'auteur recherche les heureuses corrlations qui relient la gomtrie et le sentiment. MOULIN On peut comparer les mathmatiques un moulin d'un travail admirable, capable de moudre tous les degrs de finesse; mais ce qu'on en tire dpend de ce qu'on y a mis, et comme le plus parfait moulin du monde ne peut donner de la farine de froment si l'on n'y met que des cosses de pois, de mme des pages de formules ne tireront pas un rsultat certain d'une donne incertaine. HUXLEY. ------ Les mathmatiques sont comme un moulin caf qui moud admirablement ce qu'on lui donne moudre, mais qui ne rend pas autre chose que ce qu'on lui a donn. FARADAY. ------ Il me semblait que rsoudre un problme de gomtrie par les quations, c'tait jouer un air en tournant une manivelle. J.-J. ROUSSEAU. ------ Lorsqu'on raisonne, on ne peut demander aux prmisses que ce qu'elles contiennent. Le calcul constitue une _mthode_ rapide d'analyse, pour rsoudre les problmes. On pourrait, aprs coup, rtablir tous les intermdiaires. SANS AXIOMES _La Gomtrie sans axiomes_ est le titre d'un livre anglais de Perronet Thomson, traduit par Van Tenac, o les axiomes, incorpors dans les dfinitions, ne sont pas formellement noncs. IMAGES LOINTAINES Supposez maintenant que vous vous loigniez de la terre avec une vitesse _suprieure_ celle de la lumire, qu'arrivera-t-il? Vous retrouverez, mesure que vous avancerez dans l'espace, les rayons partis avant vous, c'est--dire les photographies, qui, de seconde en seconde, d'instant en instant, s'envolent dans l'tendue. Si, par exemple, vous partez en 1867 avec une vitesse gale celle de la lumire, vous garderez ternellement l'anne 1867 avec vous. Si vous allez plus vite, vous retrouverez les rayons partis aux annes antrieures et qui emportent avec eux les photographies de ces annes. Pour mieux mettre en vidence la ralit de ce fait, je vous prie de considrer plusieurs rayons lumineux partis de la Terre diffrentes poques. Le premier est je suppose, celui d'un instant quelconque, du 1er janvier 1867. raison de 75000 lieues par seconde, il a, au moment o je vous parle, dj fait un certain trajet depuis le moment de son dpart et se trouve maintenant une certaine distance, que j'exprimerai par la lettre A. Considrons maintenant un second rayon parti de la Terre cent ans auparavant, le 1er janvier 1767: il est de cent ans _en avance_ sur le premier, et il se trouve une distance beaucoup plus grande, distance que j'exprimerai par la lettre B. Un troisime rayon, celui, je suppose, du 1er janvier 1667, est encore _plus loin_, d'une longueur gale au trajet que parcourt la lumire en cent ans. J'appelle C le lieu o en est ce troisime rayon. Enfin, un quatrime, un cinquime, un sixime, sont respectivement des 1er janvier 1567, 1467, 1367, etc., et sont chelonns des distances gales, D, E, F, s'enfonant de plus en plus dans l'infini. Voil donc une srie de photographies terrestres chelonnes sur une mme ligne, de distance en distance, dans l'espace. Or _l'esprit_ qui s'loigne en passant successivement par les points A, B, C, D, E, F, y retrouve successivement l'histoire sculaire de la Terre ces poques. FLAMMARION. ------ Un moraliste, plus ingnieux que solide, puise dans les considrations prcdentes un encouragement au bien. En effet, l'image d'un meurtre ne disparat plus et, l'ternelle honte du meurtrier, cette image qui s'envole dans l'espace proclame le crime jusqu'aux astres les plus lointains. LOI DES SENSATIONS Les sensations sont proportionnelles aux logarithmes des impressions ou des excitations. WEBER. ------ C'est l un nonc curieux et obscur attribu aussi Fechner et qui a t gnralement contest. C'est le propre des phnomnes vitaux, assure Bichat, d'chapper tous les calculs. L'assertion est trop absolue, mais il faut tre prudent en ces dlicates matires. PLUS GRANDS ET PLUS PETITS La suite continue des nombres entiers, fractionnaires, incommensurables, o le cas simple est trs exceptionnel, est une conception dlicate. ------ Quelque petit que soit un nombre, il y a exactement autant de nombres plus petits que lui que de nombres plus grands, puisque un nombre quelconque correspond son inverse. ------ On trouve dans les mathmatiques des rgions philosophiques--ce ne sont pas les plus claires--o se complaisent certains esprits. NOMBRE MYSTRIEUX Que celui qui a de l'intelligence compte le nombre de la bte... son nombre est six cent soixante-six. Il s'agit de l'Antechrist. TRE OU NANT Qu'est-ce que l'lment infinitsimal? C'est la grandeur dcroissante jusqu' s'vanouir, et prise au moment o elle s'vanouit, car avant, ce serait trop tt, et aprs ce serait trop tard. C'est la grandeur prise au moment o, cessant d'tre quelque chose, elle n'est pas encore rien du tout, c'est--dire au moment o elle participe la fconde identit de l'tre et du nant. HEGEL. ------ Trs subtil et peu clair. CONCILIATION Le mouvement dans l'espace d'un corps soumis l'action d'une force donne et partant d'une position aussi donne doit tre absolument dtermin. C'est donc par une sorte de _paradoxe_ que les quations diffrentielles dont ce mouvement dpend peuvent tre satisfaites par plusieurs quations qui remplissent en outre les conditions initiales du mouvement. POISSON. ------ On peut rattacher cette remarque deux travaux philosophico-mathmatiques plus ingnieux que solides. 1 _Accord de la libert morale avec les lois du mcanisme_, par Saint-Venant (_Comptes rendus_ du 15 mars 1877); 2 _Conciliation du vritable dterminisme avec l'existence de la vie et de la libert morale_, par Boussinesq (_Comptes rendus_ du 19 fvrier et du 5 mars 1877.) M. J. Bertrand dit propos de ces tentatives: Quand une table rigide et pesante repose par plus de trois pieds sur un sol parfaitement dur, l'effort support par chaque pied est indtermin. Le calcul l'affirme mais ni les physiciens ni les gomtres ne l'ont cru un instant; ils se sont bien gards surtout de supposer chaque pied la facult de choisir, en lui prtant une volont devenue indispensable. CERTITUDES ANTRIEURES Il y a des certitudes qui ne reposent pas sur l'exprience. Je sais qu'il y a des polygones de 7, de 11, de 13 cts, etc., tout en sachant qu'on ne peut, actuellement du moins, les construire gomtriquement. On admet qu'il y a un carr gal un cercle donn, et personne ne s'avisera plus de chercher ce carr. Rien de plus ais que de former une quation du _m_^{e} degr, en se donnant au pralable _m_ racines relles ou imaginaires; l'quation une fois forme, on sait qu'elle a ces racines et pourtant on ne peut pas toujours les dgager. Or, comment sait-on qu'il y a des polygones rguliers de 7, de 11, de 13 cts, etc., qu'il y a un carr gal un cercle donn...? Par un raisonnement d'analogie et d'induction, celui-ci par exemple: Je sais diviser une droite en 7 parties gales; si la circonfrence tait rectifie, je pourrais la diviser en 7 parties gales. Y a-t-il une droite gale une circonfrence donne? Oui, car une circonfrence est finie et peut crotre indfiniment par infiniment petits; une ligne droite est dans le mme cas, donc on peut faire crotre une ligne droite de manire lui donner la longueur de la circonfrence propose. J. DELBOEUF. ------ On peut tre sr de l'existence d'une figure sans savoir la construire, d'un nombre sans savoir le calculer. COMMENCEMENT Toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas remplis, et ces lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce qui semble tenir de plus prs aux connaissances prliminaires la gomtrie. PONCELET. CONTINUIT D'aprs le principe de continuit de Leibniz, le repos serait un mouvement infiniment petit; la concidence, une distance infiniment petite; l'galit, la dernire des ingalits, etc. MUNITO C'tait surtout la manire dont ce chien faisait une addition qui tait curieuse voir! Des chiffres taient marqus sur des morceaux d'os de la grandeur des dominos. Son matre lui posait trois ou quatre ranges de trois ou quatre chiffres chacun, Munito regardait, puis, s'il avait: 3 9 7 il allait prendre un carr d'os, et apportait au bas un neuf; puis il retenait un, et allait ainsi jusqu'au bout sans la moindre erreur. JAMES ROUSSEAU. ------ D'aprs Delboeuf, les serins ne comptent que jusqu' trois et une chienne intelligente ne sait pas distinguer trois de quatre. Houzeau croit que les mulets savent compter au moins jusqu' cinq. Le garde-chasse Leroy admet cette limite suprieure pour les corbeaux. Romanes a enseign un chimpanz compter jusqu' cinq. Nous ne garantissons pas ces diverses assertions. SCEPTICISME MATHMATIQUE Autrefois on prenait pour base de la gomtrie abstraite l'espace rel, avec les lois que l'exprience rvle, avec les trois dimensions auxquelles sont soumis tous les corps qui tombent sous nos sens. Aujourd'hui les gomtres s'affranchissent de ces conditions vulgaires; ils supposent des espaces diffrents, quatre, cinq, six dimensions ou davantage; ils appliquent ces hypothses fantastiques l'analyse mathmatique, et les voil partis, dans un monde imaginaire, la poursuite de conclusions trs logiquement dduites, mais devant lesquelles l'esprit se perd. Puis, quand ils reviennent ce vieil espace traditionnel au sein duquel nous habitons, ils prtendent que ces lois n'ont pas, devant la raison, plus de valeur que les espaces tranges o la somme des angles d'un triangle est infrieure ou suprieure deux angles droits, o une courbe peut servir de parallle une ligne droite. Le rsultat de cette dbauche d'analyse, c'est le scepticisme mathmatique. D'HULST. CHIMRES La pierre philosophale, le mouvement perptuel, la quadrature du cercle, le dsintressement parfait, etc. DEUX ET DEUX Vous ne rencontrez nulle part dans la nature deux objets identiques: dans l'Ordre Naturel, _deux et deux ne peuvent jamais faire quatre_, car il faudrait assembler des units exactement pareilles, et vous savez qu'il est impossible de trouver deux feuilles semblables sur un mme arbre..... Vous pouvez ajouter le ducat du pauvre au ducat du riche, et vous dire au trsor public que ce sont deux quantits gales; mais aux yeux du penseur l'un est certes moralement plus considrable que l'autre. H. DE BALZAC. ------ Les mathmatiques sont la science des formes et des quantits; le raisonnement mathmatique n'est autre que la simple logique applique la forme et la quantit. La grande erreur consiste supposer que les vrits qu'on nomme _purement_ algbriques sont des vrits abstraites ou gnrales. Et cette erreur est si norme, que je suis merveill de l'unanimit avec laquelle elle est accueillie. Les axiomes mathmatiques ne sont pas des axiomes d'une vrit gnrale. Ce qui est vrai d'un rapport de forme ou de quantit est souvent une grossire erreur relativement la morale. Par exemple, dans cette dernire science, il est communment faux que la somme des fractions soit gale au tout.... Il y a une foule d'autres vrits mathmatiques qui ne sont des vrits que dans des limites de rapport. Mais le mathmaticien argumente incorrigiblement d'aprs ses _vrits finies_, comme si elles taient d'une application gnrale et absolue... EDGAR POE (_La lettre vole_). CRITRIUM Quelques-uns disent que le mouvement excentrique ou d'extension parat indiquer une supriorit physique ou morale. Un professeur de gomtrie prtend qu'il juge trs vite du caractre d'un lve par sa manire de tracer spontanment une circonfrence au tableau: les _forts_ la tracent de dedans en dehors, les _mous_ de dehors en dedans. ME DE LA TERRE Kepler croyait que la terre a une me qui la guide. Cette me, dit-il, a le sentiment des raisons et des proportions gomtriques; c'est ainsi que la terre peut apprcier les distances, valuer les angles et reconnatre s'ils sont harmoniques ou incongrus. COEUR ET RAISON Le coeur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace, et que les nombres sont infinis; et la raison dmontre ensuite qu'il n'y a point deux nombres carrs dont l'un soit double de l'autre. Les principes se sentent, les propositions se concluent; et le tout avec certitude, quoique par diffrentes voies. Et il est aussi ridicule que la raison demande au coeur des preuves de ces premiers principes pour vouloir y consentir, qu'il serait ridicule que le coeur demandt la raison un sentiment de toutes les propositions qu'elle dmontre, pour vouloir les recevoir. PASCAL. ------ Il a t donn bien peu d'hommes de sentir aussi vivement les choses abstraites. ABSTRACTIONS Qu'est-ce que les mathmatiques? Des sciences toutes _formelles_. L'arithmtique et l'algbre sont la rhtorique des nombres. On raisonne et on raisonne, on dduit et on dduit, tant donn n'importe quoi dans l'abstrait. On applique les principes gnraux des problmes particuliers et la solution de ces problmes devient un petit talent mcanique, comme la syllogistique du moyen ge, ou comme la machine raisonner de Raymond Lulle. La science mme du mouvement, la reine du sicle, la mcanique, roule encore sur des relations formelles dans l'espace et dans le temps, et elle ne cesse pas de dduire, de raisonner perte de vue sur une hypothse qui est l'quivalent scientifique d'une matire de discours latin. Il est vrai que, dans un cas, il faut raisonner juste; dans l'autre, ce n'est pas ncessaire, et mme, quand la cause soutenir est mauvaise, il est bon de draisonner. Mais le mathmaticien ne raisonnera pas mieux qu'un autre dans la vie relle parce qu'il sera habitu raisonner dans l'abstrait, dduire des consquences rectilignes d'une hypothse, non observer et runir toutes les donnes de l'exprience, non induire, deviner, apprcier les probabilits. L'esprit mathmatique, dans la vie prive et dans la vie publique, c'est l'art de ne voir qu'un des cts de la question. Dans les sciences mathmatiques, nous faisons nous-mmes nos dfinitions; dans la ralit, c'est l'exprience qui nous les impose et, sans cesse, les transforme, les corrige par des dterminations nouvelles. Nous trouvons toujours dans les rsultats plus que nous n'avions mis dans nos dfinitions et dans nos principes. Nous avions dit: deux et deux font quatre, et nous trouvons cinq; nos troites formules sont dbordes par la nature et par la vie. ALFRED FOUILLIE. ------ Selon d'Alembert, pour acqurir la sagacit, cette qualit premire de l'esprit, il faut s'exercer aux dmonstrations rigoureuses, mais ne pas s'y borner. BENZINE La benzine, pour l'allemand, c'est C^{6}H^{6}, un hexagone ou un paralllpipde, puisque cette tendance amne reprsenter les corps chimiques par des images gomtriques ou des formules d'algbre; la benzine, pour l'anglais, est un produit qui sert dtacher. LON A. DAUDET. ------ On connat le mot de Lagrange: la chimie devient aussi facile que de l'algbre. SYMBOLES Dans les mathmatiques le raisonnement est devenu automatique un si haut degr, que les mathmaticiens ont presque tous perdu de vue le point de dpart, et qu'on les tonne beaucoup, quand on leur rappelle que les symboles des mathmatiques ne sont pas de pures crations de l'esprit... qu'un symbole n'est un symbole qu'autant qu'il symbolise quelque chose, et que sous chaque signe il y a la chose signifie. Malgr cet oubli de la chose et le souci du signe, les raisonnements des mathmaticiens sont cependant rigoureux et les rsultats auxquels ils parviennent sont exacts, mais on ne peut dire qu'ils aient une notion adquate de la science sur laquelle s'exercent leurs efforts. G. MOURET. AXIOMES Quel est le fondement de notre croyance aux axiomes? Sur quoi repose leur vidence? Je rponds: Ce sont des vrits exprimentales, des gnralisations de l'observation. JOHN STUART MILL. ------ La gomtrie est fonde sur l'observation; mais sur une observation si familire et si vidente que les notions premires qu'elle fournit pourraient sembler intuitives. LESLIE. ------ Assertions trs contestables. Nous les avons dj discutes. PASSIONS Si la gomtrie s'opposait autant nos passions et nos intrts prsents que la morale, nous ne la contesterions et nous ne la violerions gure moins, malgr toutes les dmonstrations d'Euclide et d'Archimde. LEIBNIZ. CONCEPTIONS La gomtrie ne prouve rien du tout de l'existence des choses, mais seulement ce qu'elles sont, suppos qu'elles existent rellement. LE P. BUFFIER. HYPERESPACE Imaginons un tre rduit un point, mais dou d'intelligence et de sens, assujetti pouvoir se dplacer sur une ligne droite pour fixer les ides, mais ne pouvant sortir de cette droite; supposons que ses sens soient tels qu'ils ne lui permettent pas d'avoir conscience du monde extrieur son domaine qui est la droite en question. Si cet tre est conduit faire de la gomtrie, il ne fera que de la gomtrie une dimension; appelons cet tre A. On peut de mme imaginer un tre B assujetti se mouvoir dans un monde rduit une simple surface et n'ayant pas conscience du monde extrieur cette surface. Si B fait de la gomtrie, cette gomtrie sera deux dimensions. Nous autres, nous pouvons faire de la gomtrie trois dimensions, parce que notre espace est constitu de telle sorte que trois quantits sont ncessaires pour dfinir la position d'un point; B fait de la gomtrie deux dimensions, parce que deux quantits seulement lui sont ncessaires pour dfinir la position d'un point dans l'espace dont il a conscience. On peut donc se demander si ce que nous considrons comme notre univers ne serait pas une varit d'un espace plus de trois dimensions, dont l'organisation simple de nos sens nous empcherait d'avoir connaissance. H. LAURENT. CHERCHEUR La vie la plus belle, la mieux remplie, la moins sujette aux dceptions, est encore celle du fou sublime qui cherche dterminer l'inconnue d'une quation racines imaginaires. H. DE BALZAC. LES MARIER On pourrait se passer compltement de l'ide de nombre et emprunter tout l'ide d'espace. L'algbre est une symbolie ou criture hiroglyphique qui exprime les faits de dplacement dans des espaces nombre variable de dimensions: l'arithmtique raconte ce qui se passe dans un espace une dimension; l'algbre des fonctions algbriques dans des espaces deux dimensions; l'algbre des quantits complexes, dans un espace _n_ dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . qui la palme? la symbolie? la graphie? Il serait bien difficile de dcider, chacun suivant son organisation crbrale peut accorder son vote l'une ou l'autre. Pour viter des discussions interminables, le mieux serait, je crois, de les marier. ARNOUX. GRADGRIND C'est dans son roman _Les temps difficiles_ que Dickens nous prsente ce personnage. Thomas Gradgrind, monsieur, l'homme des faits, l'homme qui procde d'aprs le principe: deux et deux font quatre, rien de plus, et qu'aucun raisonnement n'amnera jamais concder une fraction en sus! Thomas Gradgrind, monsieur, avec une rgle et des balances, et une table de multiplication dans la poche, monsieur, toujours prt mesurer et peser le premier colis humain venu et vous en donner exactement la jauge... VALEUR VARIABLE Un franc, considr aujourd'hui, ne valait pas encore un franc hier et il vaudra plus d'un franc demain, du moins dans certaines questions de finance. L'hypothse du placement continuel intrts composs est une fiction hardie et certains pessimistes attribuent une partie des souffrances de la socit moderne, l'excrable fcondit de l'argent. J'ai deux voisins; l'un se lamente de ce que l'argent ne rapporte plus que 2%; l'autre rclame le prt gratuit. HISTOIRE CALCUL MENTAL Mme de Lautr, dont parle Mme de Genlis, faisait dans les salons, des multiplications de nombres de huit chiffres. Diner, le berger de Stuttgard, devint pniblement matre d'cole. N'ont pas perc davantage les autres petits calculateurs prodiges: Annich, Buxton, Colburn, Bidder, Pughiesi, Magiamele, etc. Malgr les meilleures leons, Henri Mondeux n'a pas pu s'lever au dessus des calculs numriques. De nos jours, c'est Inaudy, qu'on promne comme une curiosit: il a t prsent l'Acadmie des Sciences, comme son prdcesseur. Inaudy n'est pas un visuel, c'est un auditif: il a pu retenir _d'un seul coup_ jusqu' 42 chiffres. La capacit de sa mmoire est le secret de sa force. Dans leur enfance, Gauss et Ampre ont calcul trs vite, mais cette facult s'est ralentie chez eux ds qu'ils se sont livrs la recherche mathmatique. ------ Un de nos amis, lorsqu'il voyageait, dcomposait de tte les numros des wagons en facteurs premiers, en prenait la racine carre, etc. TAUTOCHRONE ET BRACHISTOCHRONE La _cyclode_ ou roulette, qui a t tudie par Pascal, jouit de deux proprits bien curieuses. Un point pesant descendant le long de sa concavit arrive toujours dans le mme temps au sommet infrieur, de quelque hauteur qu'il parte. De plus, c'est cette courbe, et non une ligne droite, que doit dcrire un point pesant pour descendre dans le moins de temps possible. QUADRATURE DU CERCLE Il est dit, dans la Bible, qu'il y avait, dans le Temple de Salomon, un grand bassin hmisphrique dont le diamtre tait de dix coudes et la circonfrence de trente. ------ J'tais semblable ce gomtre qui s'efforce de quarrer le cercle et cherche en vain dans sa pense le principe qui lui manque. DANTE. ------ PISTHTROS.--Mais, dites-moi, quels instruments avez-vous l? MTON.--Ce sont des rgles pour mesurer le ciel... J'appliquerai une rgle droite et je prendrai si bien mes dimensions, que _je ferai d'un cercle un carr_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PISTHTROS.--...Croyez-moi, retirez-vous au plus vite. ARISTOPHANE. ------ Plutarque affirme qu'Anaxagore avait trouv la quadrature du cercle. Roger Bacon parle de la question comme si elle tait compltement connue de son temps. Or il est maintenant prouv qu'on ne peut rsoudre le clbre problme avec la rgle et le compas. LONGUES FORMULES Dans la _Thorie de la lune_, de l'astronome Delaunay (qui s'est noy en se baignant Cherbourg) il y a une formule dont le second membre occupe 138 pages. L'oeuvre de Delaunay comprend dans le premier volume l'expression de la longitude de la lune et, dans le second, celle de sa latitude. On m'a parl d'un mmoire d'Olbers qui se compose d'une seule phrase. CONCESSION L'Acadmie des Sciences de Paris se refusa pendant quelque temps admettre une doctrine (il s'agit des infiniment petits) qui semblait altrer la puret gomtrique; elle vit natre d'ardentes discussions dans lesquelles plusieurs de ses membres, s'attachant avec obstination de fausses ides qu'ils s'taient formes, et des locutions qui les choquaient sans qu'ils voulussent considrer le fond des choses, contestrent non seulement la rigueur des raisonnements, mais encore l'exactitude des rgles de Leibniz. Cette opposition fut utile, en forant les _gomtres infinitsimaux_ donner une forme nette aux principes contests, qui peut-tre n'avaient t mal compris des uns que pour avoir t jusque-l mal expliqus par les autres. Leibniz lui-mme, que les plus grands gomtres de l'Europe avaient enfin admir et compris, loin de s'envelopper dans sa gloire et de mpriser les critiques, ne ddaigna pas de rpliquer avec courtoisie des adversaires qu'il estimait malgr la faiblesse de leurs arguments. Sa rponse au _Journal de Trvoux_ est reste clbre par une concession singulire qui semblerait passer condamnation sur le manque de rigueur qu'on lui reprochait; il assimile en effet les infiniment petits des divers ordres des grandeurs incomparables cause de leur extrme ingalit, comme le serait un grain de sable par rapport au globe de la terre. Un tel langage, il faut l'avouer, ne signifie rien de prcis et conduirait confondre l'infiniment petit avec le trs petit. Leibniz ressemble dans cette circonstance, dit Fontenelle, un architecte qui a fait un btiment si hardi qu'il n'ose lui-mme s'y loger, tandis que d'autres, plus confiants que lui, s'y logent sans crainte, et qui plus est, sans accident. Mais cette citation, on doit ajouter que, la lettre de Leibniz n'tant pas crite pour des gomtres, la concession qui semble trop timide n'tait peut-tre que prudente. J. BERTRAND. PIERRE AIGUISER Robert Record (auquel nous devons le signe =, _gale_) a publi, en 1557, la seconde partie de son arithmtique, sous le titre de _Whetstone of wit_ c'est--dire Pierre aiguiser l'esprit. C'est un dialogue, et, l'lve tant surpris par les deux racines de l'quation du second degr, le matre lui rpond: Cette varit de racines fait voir qu'une seule quation peut servir deux questions diffrentes. La nature de la question vous indiquera facilement laquelle de ces deux racines vous devez prendre; et il est des cas o vous pourrez les prendre toutes les deux. CHOSE Les premiers algbristes italiens appelaient l'inconnue la chose, de l le nom de _cossites_ donn ces initiateurs. CHICANE Qu'Euclide se donne la peine de dmontrer que deux cercles qui se coupent n'ont pas le mme centre, qu'un triangle renferm dans un autre a la somme de ses cts plus petite que celle des cts du triangle dans lequel il est renferm, on n'en sera pas surpris. Ce gomtre avait combattre des sophistes obstins, qui se faisaient gloire de se refuser aux vrits les plus videntes; il fallait qu'alors la Gomtrie et, comme la logique, le secours des raisonnements en forme, pour fermer la bouche la chicane. CLAIRAUT. QUADRATURES ET RECTIFICATIONS Je ne cite pas ici comme une vritable quadrature celle que dcouvrit Hippocrate de Chio d'un espace termin par des arcs de cercle (lunules), qui retranchent d'un ct d'un espace rectiligne, ce qu'ils y avaient ajout de l'autre; cette quadrature, et d'autres semblables que l'on a donnes depuis, ne sont que des espces de tours de passe-passe. Mais la subtilit d'Archimde lui fit trouver un espace curviligne vritable quarrable. C'tait l'espace parabolique, dont il dtermina exactement la mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dcouvrir, comme a dcouvert le subtil Bernoulli, que la circonfrence du cercle est son diamtre comme une quantit imaginaire (le logarithme de moins un) est une autre quantit imaginaire (la racine carre de moins un), ce n'est qu'un jeu d'esprit qui nous rejette dans des abmes plus profonds que ceux dont nous voulions sortir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descartes, qui la gomtrie doit tant, sut qu'il y avait des courbes dont on dterminait les aires: mais il crut qu'il n'y en avait aucune dont on pt dterminer la longueur; et assura l'impossibilit de toute rectification. Cependant un gomtre qui n'tait pas lui comparer, rectifia une courbe qui porte encore son nom (la parabole de Neil); et bientt aprs une infinit d'autres courbes furent rectifies. MAUPERTUIS. AVATAR DU NOMBRE Voici, d'aprs Ed. Lucas, quelques-unes des transformations curieuses et subtiles du nombre: au dbut, on fit des marques sur les arbres et des stries sur les os des animaux; le nombre prit plus tard la forme digitale (Alcuin); il devint ensuite successivement mystique (Pythagore), nuptial (Platon); magique (Persans), abracadabrant (Zoroastre); premier ou compos, entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable, exact ou approch (Euclide); triangulaire, carr, pentagonal, polygonal, pyramidal (Diophante); cubo-cubique (Indiens); ortho-triangulaire, congruent (Arabes); sourd, aveugle (Moyen-ge); plaisant et dlectable (Bachet), rcratif (Ozanam); indivisible (Cavalieri); diffrentiel, incrmentiel (Leibniz), fluent (Newton); exponentiel, logarithmique, rhabdologique (Neper); parfait, amiable, abondant, dficient, aliquotaire (Fermat, Frnicle, etc.); congru ou incongru (Gauss); complexe, idal, norme (Kummer); rel ou imaginaire, quivalent, anastrophique (Cauchy); quipollent (Bellavitis); quaternion (Hamilton); enfin hypertranscendantal (Hermite). AU BRSIL La rpublique a t proclame au Brsil, le 15 novembre 1889. Le promoteur du mouvement rvolutionnaire fut Benjamin Constant Botelho de Magalhes, n en 1833 d'un pre portugais et d'une mre brsilienne. lve de l'cole militaire puis astronome l'Observatoire, il avait une aptitude distingue pour les mathmatiques. Il avait t class le premier la suite d'un concours pour une chaire de calcul infinitsimal. QUADRATEUR Au XVIIIe sicle, le chevalier de Caussans, prtendit avoir rsolu la quadrature du cercle et dposa mille cus chez un notaire pour celui qui prouverait la fausset de sa solution. Une dame fit la preuve et actionna Caussans devant le Chtelet. Les juges indulgents dclarrent le pari nul et le quadrateur mourut dans l'impnitence finale. Ceux qui ne savent pas de mathmatiques, dit La Caille, n'ont que trop souvent le malheur de trouver la quadrature exacte du cercle refuse aux autres. RUDITS Baardi avait cherch le point du Ciel o Dieu plaa le soleil, lors de la cration. Il venait de dcouvrir ce point, dit l'abb Barthlemy, et il me le montra sur un globe. Moreri affirme que: Adam avait une profonde connaissance des sciences et surtout de l'astronomie dont il apprit plusieurs secrets ses enfants, et il grava sur deux tables diverses observations qu'il avait faites sur le cours des astres. Ils croient savoir bien des choses, les rudits. MOUJIK Je ne dois savoir qu'une chose, ma langue et celle de l'glise, avec les lois du calcul; quant aux autres sciences, si j'en ai besoin, je les apprendrai moi-mme. TOLSTO. CLUB la Socit populaire de Colmar, Bach employa presque toute une sance rfuter un citoyen du Mont-Adour qui avait envoy un procd pour valuer exactement la racine carre de 2. (tude, de M. Vron-Rville, sur la Rvolution dans le Haut-Rhin.) CERCLE DE POPILIUS Popilius, envoy du peuple romain et porteur d'une sommation du Snat l'adresse d'Antiochus, traa un cercle autour de ce roi, en lui prescrivant de rpondre, avant de sortir du cercle. VIEUX COMPTE Parmi les objets dcouverts par Lartet dans la clbre grotte spulcrale d'Aurignac, appartenant la priode quaternaire et la fin de l'ge du Mammouth, on remarque une lame de bois de renne prsentant sur l'une de ses faces planes, de nombreuses raies transversales, galement distances, avec une lacune d'interruption qui les divise en deux sries; sur chacun des bords latraux ont t entailles de champ d'autres sries d'encoches plus profondes et rgulirement espaces. On serait tent, dit Lartet, de voir l des signes de numration exprimant des valeurs diverses ou s'appliquant des objets distincts. MARCHAL DE SAXE Le marchal est mort cinquante-cinq ans et l'on s'est amus composer ainsi son pitaphe en vers blancs: Son courage l'a fait admirer de chac................ 1 Il eut des ennemis mais il triompha................. 2 Les rois qu'il dfendit sont au nombre de........... 3 Pour Louis son grand coeur se serait mis en......... 4 Des victoires par an il gagna plus de............... 5 Il fut fort comme Hercule et beau comme Thyr........ 6 Pleurez, braves soldats, ce grand homme _hic ja_.... 7 Il mourut en novembre et de ce mois le.............. 8 Strasbourg contient son corps en un tombeau tout.... 9 Pour tant de _te Deum_, pas un _de profun_.......... 10 -- 55 MTHODES DMONSTRATIONS FAUSSES 1 Deux ttradres de bases quivalentes et de hauteurs gales sont quivalents: on partage la hauteur commune en beaucoup de parties gales, on mne des plans parallles aux bases et l'on considre comme des prismes les troncs partiels extrmement minces.--On n'a jamais le droit de considrer comme parallles des droites qui ds leur origine diffrent de direction. 2 Pour dmontrer qu'une fraction qui a pour termes des nombres premiers entre eux est irrductible, il ne suffit pas de dire qu'alors on ne peut plus diviser les deux termes par un mme nombre.--En effet, peut-tre pourrait-on simplifier une fraction autrement que par voie de division, par exemple en retranchant aux deux termes des nombres convenables. 3 Il ne faut pas dire, pour arriver au volume de la sphre par la mthode des limites, qu'on inscrit la sphre un polydre _rgulier_ dont on augmente indfiniment le nombre des faces.--Il n'y a en effet que cinq polydres rguliers et celui qui a le plus de faces en a vingt. DANS LA RUE Chasles exagre un peu, lorsqu'il affirme, dans son _Aperu historique_, qu'on ne peut se flatter d'avoir clair et rduit convenablement une thorie, tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu de mots un passant dans la rue. Poinsot dclare, de son ct, en parlant des mathmatiques, que ce n'est jamais assez simple. Il faut pourtant reconnatre que certaines conceptions mathmatiques ne deviendront jamais accessibles tous. (Chimre de l'instruction intgrale.) Les hautes mathmatiques, dit M. Richet, deviennent de plus en plus difficiles et il n'y a gure plus d'une vingtaine de personnes dans le monde qui soient en tat de comprendre tous leurs dveloppements. NOMBRE INDISPENSABLE Voici un quatrain mnmonique pour retenir le rapport [pi] de la circonfrence au diamtre: Que j'aime faire apprendre un nombre utile aux sages! Immortel Archimde, artiste ingnieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur? Pour moi, ton problme eut de pareils avantages. Les nombres de lettres de chaque mot donnent les chiffres successifs. [pi] = 3,14159265.... Si l'on ne veut que les cinq premires dcimales de [pi], retenir que: un quatre, un cinq font neuf. Pour l'inverse, 1/[pi], souvent utile, 1/[pi] = 0,3183098.., on peut se dire, sans faire de politique, que les trois journes de 1830 sont un 89 renvers. SANS CHIFFRES Je voudrais qu'on ft faire toute l'arithmtique aux enfants avant qu'ils connussent la forme d'un chiffre. HEISS. ------ On raconte que Alcuin faisait compter jusqu' dix mille, avec les dix doigts. Il vaut mieux compter de tte, en se rappelant que le calcul mental commence par la gauche, c'est--dire par les units les plus fortes. ------ Voici une boutade d'un anonyme sur les chiffres: Le nombre, rduit la condition de chiffre, a cess d'tre l'_Ordre_ et a perdu sa vertu surnaturelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quand l'huissier griffonne ses sommations, la blanchisseuse ses mmoires, l'picier ses factures, quand le traiteur enfle l'addition de ses menus, ce sont des chiffres que je vois tomber de toutes parts; je relve le front et regarde les cieux, ce sont les nombres que j'y vois resplendir. NEMZETSEG. NUMROTAGE Ces signes + et - n me rappellent ces poteaux qui indiquent au piton la route qu'il doit suivre; et, si j'en crois mes jambes, une lieue droite est aussi longue qu'une lieue gauche. Dans les villes, ces poteaux sont remplacs par des plaques o sont inscrits les noms des rues et les numros des maisons. Paris, par exemple, lorsqu'on va de la Bastille la Madeleine, on rencontre successivement sur les boulevards: la rue du Temple gauche en mme temps que la rue du Faubourg-du-Temple droite, puis les rues Saint-Martin et du Faubourg-Saint-Martin, etc. Eh bien! l'algbre donne la Ville de Paris un moyen bien simple de supprimer ce nom de faubourg qui ne saurait convenir de belles rues qui ne sont pas au-del de son enceinte. Pour cela, il suffit de donner, par exemple, le signe + aux numros de la rue Montmartre, et le signe- ceux de la rue dite Faubourg-Montmartre. La chose une fois convenue, on pourra effacer le mot faubourg sans le moindre inconvnient. REDOULY. ------ En chronologie, on considre comme positives les dates postrieures Jsus-Christ et comme ngatives celles qui sont antrieures. LE POSTULATUM Le postulatum des parallles fait, depuis tant de sicles, le scandale de la gomtrie et le dsespoir des gomtres. D'ALEMBERT. ------ Au commencement de ce sicle, Lobatschewski et Bolyai ont enfin tabli l'impossibilit de la dmonstration du postulatum d'Euclide. ------ Autre aspect de la question: Les lignes parallles peuvent tre considres selon deux notions diffrentes: l'une ngative et l'autre positive. La ngative est de ne se rencontrer jamais, quoique prolonges l'infini. La positive est d'tre toujours galement distantes l'une de l'autre. On a ainsi essay de faire la thorie des parallles en les dfinissant par l'quidistance: la difficult ne serait que dplace. DSORIENT Un lve commenait une dmonstration du premier livre de gomtrie en disant: je prends le milieu de la droite AB..., lorsqu'il fut interrompu par cette objection: Vous n'tes pas cens savoir prendre le milieu d'une droite, c'est une construction du second livre. SYSTMES DE NUMRATION Le systme dcimal est adopt par tous les hommes, cause des dix doigts de la main. Leibniz admirait beaucoup le systme binaire. Il a t publi une arithmtique ttractique, c'est--dire base quatre. Le Prote d'Homre comptait par cinq les phoques qu'il conduisait. Huit a eu des partisans, mais c'est douze qui a le plus lutt contre dix: on a fait justement remarquer les nombreux facteurs de douze, mais Lagrange a rpliqu plaisamment que si l'on prenait la base onze et en gnral un nombre premier, toutes les fractions auraient le mme dnominateur! ------ Auguste Comte remarque qu'on pourrait, pour compter, tirer meilleur parti des doigts diviss en phalanges et il compare le pouce et les autres doigts au caporal commandant ses quatre hommes. ------ Une arithmtique, dont l'chelle aurait eu le nombre douze pour racine, aurait t bien plus commode, les plus grands nombres auraient occup moins de place, et en mme temps les fractions auraient t plus rondes; les hommes ont si bien senti cette vrit, qu'aprs avoir adopt l'arithmtique dennaire, ils ne laissent pas de se servir de l'chelle duodnaire; on compte souvent par douzaines, par douzaines de douzaines ou grosses; le pied est dans l'chelle duodnaire la troisime puissance de la ligne, le pouce la seconde puissance. L'anne se divise en douze mois, le jour en douze heures, le zodiaque en douze signes, le sou en douze deniers: toutes les plus petites mesures affectent le nombre douze, parce qu'on peut le diviser par deux, par trois, par quatre et par six... BUFFON. ------ On a des exemples d'animaux qui, attachs une meule, un tourne-broche, une corde de puits, etc., apprennent calculer leur tche avec la dernire prcision. Ces animaux n'ont aucun systme de numration, comment donc savent-ils compter? PROUDHON. UN IRRGULIER Que faisiez-vous dans l'alle des soupirs? --Une assez triste figure. --Au sortir de l vous battiez le pav. --D'accord. --Vous donniez des leons de mathmatiques. --Sans en savoir un mot. N'est-ce pas l que vous voulez en venir? --Justement. --J'apprenais en montrant aux autres et j'ai fait quelques bons lves. DIDEROT. ------ Le paradoxal crivain affirme ailleurs qu'il est plus facile d'apprendre la gomtrie que d'apprendre lire. On trouve dans ses oeuvres compltes cinq mmoires de mathmatiques. GOSME _Il me disait:_ Quand vous aurez trouv une nouvelle vrit mathmatique ou la solution d'une question importante, gardez-vous d'en simplifier l'exposition. Prsentez-la, au contraire, avec toute sa complication originelle. Vos contemporains apprcieront d'autant mieux votre dcouverte qu'ils auront plus de peine la bien saisir. Il est vrai que l'avenir lui restituera toujours sa vritable valeur; mais la belle avance, si ceux avec lesquels vous devez vivre, tromps par l'imprudente simplification que vous serez parvenu lui donner, l'accueillent comme une niaiserie! N'imitez donc ni Lagrange, ni Poinsot, suivez plutt l'exemple de Laplace et celui de Poisson, dont la lucidit n'atteignait toute sa perfection que lorsqu'ils exposaient les travaux des autres... ... C'est une vritable duperie que de se livrer des travaux toujours trs pnibles et trs difficiles de concentration et de simplification. Si leur publication a pour effet d'acclrer notablement l'oeuvre scientifique d'une poque, c'est toujours au dtriment de l'auteur qui semble d'autant moins profond mathmaticien qu'on le lit plus facilement. LAM. ------ En d'autres termes: plus on est obscur, plus on parat savant. UN NOUVEL ENSEIGNEMENT Tous les hommes apportent en naissant la facult des mathmatiques. Elle se dveloppe chez quelques-uns et s'atrophie, chez la plupart, par dfaut d'exercice et d'enseignement. Le but de cette facult est la dcouverte successive des lois qui rgissent le monde. Cela pos, cherchons quel mode d'enseignement peut accrotre le nombre de gomtres _inventeurs_, les diriger vers le but signal, et cela le plus promptement possible... Le nouvel enseignement doit essentiellement satisfaire aux deux conditions suivantes: 1 _carter tout jamais la division de la science en Mathmatiques pures et en Mathmatiques appliques._ La premire classe n'existe plus aujourd'hui. L'arithmtique est minemment pratique; la thorie des nombres elle-mme retrouve ses plus beaux thormes dans l'tude des vibrations. La Gomtrie et la Mcanique sont deux branches de la Physique mathmatique qui tudient deux proprits distinctes de la matire, l'tendue et le mouvement. L'Algbre, le Calcul diffrentiel, ne sont que les instruments analytiques, indispensables, insparables, de toutes les thories physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus gnrales des phnomnes qu'on tudie. Le Calcul intgral, trait isolment, est un non-sens, car chacun de ses progrs a son origine naturelle dans une application. 2 _Prsenter toutes les parties de chaque science l'aide de leurs propres mthodes d'invention, en se gardant soigneusement de ne parler que des mthodes d'aprs-coup ou de pure vrification, dites plus rigoureuses, mais compltement striles._ Il ne saurait exister de mthode gnrale pour inventer. Chaque dcouverte a la sienne, qui lui est propre et mme exclusive. Le seul moyen d'exercer l'esprit de recherche consiste retracer toutes les dcouvertes dj connues, telles qu'elles ont t faites. La multiplicit de ces exemples peut seule veiller la facult d'en accrotre le nombre. Et si, dans la srie des mthodes d'invention, l'Analyse et la Gomtrie agissent, tantt runies, tantt isoles, il faut conserver religieusement cet ordre naturel. LAM. ------ C'est en vain qu'on espre un grand profit dans les sciences en greffant toujours sur le vieux tronc que l'on surcharge; il faut tout renouveler, jusqu'aux plus profondes racines, moins que l'on ne veuille toujours tourner dans le mme cercle, avec un progrs sans importance et presque digne de mpris. BACON. ------ Tout ce qu'on peut esprer des bases actuelles a t ressass, et l'on tombera toujours dans la mme ornire. Il faut refaire la science, la placer sur un nouveau pidestal, en tirer toutes les consquences, sauf intercaler les anciens rsultats. On ne peut envisager une thorie sous un nouveau point de vue, sans qu'il en dcoule une foule de rsultats inattendus, et il serait dsirer que ce ft un homme nouveau, qui ft tranger au mouvement et au progrs des sciences et n'en connt que les premiers lments, qui s'en occupt. LAPLACE. MATHMATIQUES DE ROBINSON Nous soumettons M. Tissandier, directeur du journal _La Nature_, une ide qui lui sourira. Il a enseign avec succs la mcanique, la physique et la chimie l'aide d'expriences amusantes. Ne pourrait-il pas, sans thorie abstraite, donner aussi un aperu des mathmatiques, l'aide de problmes faciles et piquants? TROP SCRUPULEUX Quelques savants semblent trouver banales et incompltes les propositions et les dmonstrations habituelles. Ils ont un got maladif pour le difficile, le rare, l'exceptionnel. Ils font penser un naturaliste qui n'tudierait que les monstres et un casuiste qui se chercherait toujours des pchs. BALANCE FAUSSE Chaque jour on pse trs exactement avec une balance fausse, en procdant par la mthode des _doubles peses_, due Borda; aucune pese un peu prcise ne se fait autrement. PHOTOGRAPHIES CLESTES Les cartes clestes exigent un trs grand nombre de mesures prcises. On se borne maintenant, grce aux frres Henry, photographier le ciel avec toutes ses toiles. Un congrs d'astronomes s'est runi l'Observatoire de Paris pour rgler tous les dtails de l'ingnieuse opration. Voir _La carte photographique du ciel_, par Ch. Trpied, dans les n^{os} du 30 aot et du 15 septembre 1892 de la _Revue gnrale des sciences_. MESURE DE LA SIMPLICIT Voici en gros comment M. Em. Lemoine procde cette mesure qui semble paradoxale. La simplicit d'une _dmonstration_ dpend du nombre des syllogismes par lesquels on dduit des vrits premires le thorme considr. La simplicit d'une _construction_ dpend du nombre des constructions lmentaires l'aide desquelles on rsout le problme propos. Ne pas considrer toujours une dmonstration et une construction comme d'autant plus simples qu'elles s'expriment dans un langage plus simple. MOUVEMENT PERPTUEL Supposons qu'une machine ait t mise en mouvement d'une manire quelconque, et que les forces mouvantes viennent disparatre. Alors cause des rsistances passives qu'on ne peut viter, la vitesse de la machine ira en diminuant et finira par devenir nulle. Il est chimrique de chercher construire une machine qui puisse se passer de moteur. VRAI MAXIMUM En mathmatiques, le maximum peut ne pas tre la plus grande de toutes les valeurs et le minimum peut tre plus grand que le maximum: c'est qu'on compare chaque valeur seulement aux valeurs infiniment voisines de part et d'autre. Ainsi les mathmaticiens diront que le carr inscrit dans un carr donn n'a pas de maximum et cependant il est clair qu'il ne peut surpasser le carr primitif. D'ABORD LA SPHRE C'est par la sphre qu'il conviendrait, parat-il, de commencer la gomtrie, parce que son tude est indpendante du postulatum d'Euclide (?). De la gomtrie et de la trigonomtrie sphriques, on dduirait ensuite la gomtrie et la trigonomtrie planes. MOINS QUE RIEN Cet homme possde moins que rien est une locution populaire, pour dire qu'il a des dettes.--_Retirer_ 4 fois une _dette_ de 12 fr. c'est _ajouter_ 4 fois 12 francs, ce qui correspond (-12) (-4) = + (12 4).--On a rappel aussi pour justifier la rgle moins par moins que deux ngations valent une affirmation. LOUPS Dans un prochain avenir, le fantme des imaginaires aura disparu des coles franaises, comme autrefois les loups furent chasss d'Angleterre. J.-F. BONNEL. ------ L'imaginaire tend absorber le rel, de mme que le gnral comprend le particulier. Peut tre faudrait-il changer des dnominations troites et vieillies? SERRURIER La collection des thormes peut-tre compare une sorte de trousseau de clefs que l'on essaye aux serrures _ secret_ des problmes, mais un habile serrurier n'essaye que quelques-unes des clefs. ERRATUM M. Poincar vient de dmontrer que les sries servant calculer les perturbations, en Mcanique cleste, sont divergentes, quoique leurs premiers termes forment des suites convergentes. Ces sries permettent bien de prvoir les mouvements et les positions des astres, plusieurs annes l'avance, mais elles n'assurent plus la stabilit indfinie du systme du monde. (Voir _Les Mthodes nouvelles de la Mcanique cleste_.) PROCD SINGULIER Pour trouver le rapport de la circonfrence au diamtre, tracez des parallles quidistantes, prenez une aiguille cylindrique de longueur moindre que l'quidistance des parallles et jetez-la, au hasard, _un grand nombre de fois_, sur les parallles. Comptez combien de fois l'aiguille rencontre l'une quelconque des parallles et multipliez le rapport de ce nombre au nombre total des jets par le double du rapport de la longueur de l'aiguille l'quidistance des parallles. RFORMONS coutez: Jeunes lves, on vous trompe! La meilleure sphre n'est pas la sphre d'Archimde! Disons plus et disons mieux: il n'y a pas de sphre, il n'y a que l'quidomode! C'est--dire que la sphre n'a pas droit une existence indpendante, elle n'est que le corollaire de l'quidomode. L'quidomode est le gnrateur polygonal de la sphre. crivons et mditons ceci: quidomode : sphre :: prisme : cylindre. L. HUGO. ------ L'auteur appelle quidomode un cristallode dont les onglets sont concaves vers l'axe. CALCUL INFAILLIBLE Nos calculs n'ont pas tant besoin que l'on pense d'tre clairs; ils portent avec eux une lumire propre et c'est d'ordinaire de leur sein mme que sort toute celle que l'on prtend rpandre sur eux.... Ce n'est pas le calcul qui nous trompe, quand il est bien fait; il n'a pas besoin d'tre appuy par des raisonnements; mais, d'ordinaire, ce sont les raisonnements qui nous trompent, et qui ne doivent nous dterminer qu'autant qu'ils sont appuys par le calcul. SAURIN. ------ Le calcul est un raisonnement abrg et il ne vaut que par le raisonnement qu'il condense. CIT MODLE Savez-vous pourquoi Platon exige que sa ville idale se compose de cinq mille quarante citoyens libres, ni plus ni moins? C'est que cet heureux nombre est exactement divisible par les dix premiers nombres! PERRUQUIERS Grce une ingnieuse prparation des formules et un systme de vrification rciproque des calculs, de Prony est parvenu faire excuter, par des hommes fonctionnant comme des machines, les magnifiques tables de logarithmes du cadastre. Il put employer, dit-on, ce travail peu rcratif les garons perruquiers que la suppression de la poudre et des queues avait laisss sans ouvrage, dans le cours de la Rvolution. W. DE FONVIELLE. MESURES SUBTILES Buffon dit dans la prface de son Arithmtique morale: La mesure des choses incertaines fait ici mon objet: je vais tcher de donner quelques rgles pour estimer les rapports de vraisemblance, les degrs de probabilit, le poids des tmoignages, l'influence des hasards, l'inconvnient des risques, et juger en mme temps la valeur relle de nos craintes et de nos esprances. VUE DIRECTE L'esprit de calcul mousse toujours le gnie: or, c'est le gnie qui fait les vritables dcouvertes; le calcul, la vrit, facilite les choses, aide dvelopper, tendre, puiser ce que l'on a dj trouv; mais il y a beaucoup de mcanique tout cela, et pour ce qui s'appelle dcouvrir, il faut voir, pntrer, ce qui est l'affaire du gnie. LE P. CASTEL. ALLGORIE On peut comparer le calcul dans la Gomtrie, aux troupes auxiliaires dans les Armes romaines. Tant que ces troupes ne furent qu'auxiliaires et le tiers tout au plus d'une Lgion, Rome s'agrandit et conquit l'Univers. Mais la Paresse gagna les Lgions avec les richesses des Nations. On dposa donc le casque, la cuirasse et le courage; et les troupes trangres et barbares, les Huns, les Goths, les Visigoths, les Arabes sous le nom d'Auxiliaires, gagnrent les Armes, les remplirent, les anantirent, et, le tiers, devenant le tout, le tout fut rduit rien et il n'y eut plus d'Empire romain. C'est le train que prend la Gomtrie, depuis qu'elle est mtamorphose en calcul arabe et presque ostrogoth et que le tiers y est devenu aussi le tout. La tte presque dlivre du soin de penser, devient paresseuse et l'esprit laisse aller les doigts: on se repose de tout sur les formules. LE P. CASTEL. TOUTES LES SOURCES l'Association Britannique pour l'Avancement des Sciences, en 1868, il y eut un curieux dbat entre deux professeurs clbres. Le naturaliste Huxley, suivant l'opinion traditionnelle, affirma que la Science Mathmatique est seulement dductive et qu'elle n'emprunte rien l'observation, rien l'exprience, rien l'induction. Alors le mathmaticien Sylvester rpliqua, avec vivacit et humour, que l'Analyse mathmatique invoque constamment le secours de nouveaux principes, d'ides nouvelles et de nouvelles mthodes; qu'elle fait un appel incessant aux facults d'observation et de comparaison; que son arme principale est l'induction; enfin qu'elle offre un champ illimit l'exercice des plus hauts efforts de l'imagination et de l'invention. l'appui de sa thse hardie, Sylvester cita l'exemple de Lagrange, si profondment convaincu de l'importance, pour le mathmaticien, de la facult d'observation; celui de Gauss appelant les Mathmatiques la science de l'oeil; celui de Riemann considrant l'espace, non comme une forme de l'entendement, mais comme une ralit physique objective. Il dit avoir trouv lui-mme jusque dans ses conceptions les plus abstraites, un fond gomtrique et finit par conclure que la plupart, sinon la totalit, des grandes ides mathmatiques, ont leur origine dans l'observation. PARTAGE Un chasseur, riche et affam, rencontre deux bergers; l'un avait _cinq_ fromages et l'autre _trois_ qu'ils allaient manger. Le chasseur djeune avec les bergers puis il leur donne _huit_ pices d'or, pour payer les _huit_ fromages. Il s'agit de partager cet or inattendu. Le premier berger dit qu'il prendrait _cinq_ pices et laisserait les _trois_ autres son camarade.--Ce dernier rpliqua qu'il fallait d'abord partager galement les pices, quatre chacun, et que, lui, il rembourserait le prix d'un fromage.--L'instituteur dut les mettre d'accord: Vous avez partag chaque fromage en trois parts gales, et vous avez mang, le chasseur et vous, chacun huit parts. Vous, le premier berger qui aviez cinq fromages ou quinze parts, vous en avez cd sept au chasseur. Vous, le second berger, qui n'aviez que trois fromages ou neuf parts, vous n'avez pu qu'en donner une au chasseur. Le premier de vous a donc gagn _sept_ pices d'or et le second _une_ seule.--Qu'aurait fait le juge de La Fontaine? Il se serait fait d'abord remettre les huit pices; il en aurait cd une au greffier qui aurait pay les fromages aux bergers et gard la monnaie. Quant lui, le juge, il se serait pay avec les sept autres pices d'or. SIMULTANMENT J'ai abandonn la distinction d'usage entre la gomtrie plane et la gomtrie dans l'espace. Outre qu'elle n'est pas dans la ralit des choses, puisque la nature ne nous offre que des figures dans l'espace, elle met un long intervalle entre la thorie de la ligne droite et celle du plan, dont chacune cependant est ncessaire la parfaite intelligence de l'autre; elle ncessite mme une interruption dans l'tude de la ligne droite. Enfin, elle est encore plus nuisible dans l'enseignement professionnel, car la pratique des arts rclame bien plus la connaissance des principales combinaisons de droites et de plans, que celle de propositions thoriques comme les proprits des scantes du cercle. Ces inconvnients m'ont paru surpasser de beaucoup les avantages que cette mthode peut avoir comme artifice didactique; si elle divise et aplanit un peu les premires difficults de la Gomtrie, on ne peut nier qu'elle soit pour beaucoup dans la lenteur que mettent les lves acqurir la facult de _lire dans l'espace_. C. MRAY. PARAPLUIES Un marchand de parapluies, de la Xaintrie (Corrze), meurt en laissant trois fils et un testament ainsi conu: Je lgue 17 parapluies mes trois fils et je stipule que l'an en aura la moiti, le second le tiers et le troisime le neuvime.--Grand embarras des fils qui ne savent comment rduire des parapluies en fractions. On s'en rapporte au notaire qui, aussi malin que Salomon, commence par emprunter un 18e parapluie, puis effectue ainsi le partage: l'an reoit la moiti de 18, soit 9 parapluies; le second le tiers, soit 6; le troisime le neuvime, soit 2; total 17. L'opration faite, le notaire rend le parapluie qu'il avait emprunt et les hritiers ont la satisfaction d'avoir reu plus qu'il ne leur revenait. SERPENT D'GLISE La vrit d'une proposition est absolument indpendante du trac de la figure. Ce n'est jamais cette figure, bien ou mal excute, que s'applique le raisonnement ou la dmonstration, mais toujours au contraire la figure idale dont le trac est et ne peut tre qu'une reprsentation grossire, propre aider l'intelligence et soulager la mmoire... L'un de mes principaux soins dans mes leons, c'est d'viter cette erreur mes lves... Je repousse comme une peste, les rgles, les querres, les compas et je trace des figures trs informes et en pleine contradiction avec l'nonc. Je fais des lignes droites grosses de toute la largeur de la craie et droites comme un serpent d'glise. DELEZENNE. ------ Ne pas suivre ce mauvais exemple. LIGNES DE L'QUERRE Un jour, Delezenne, professeur Lille, montrant une querre ses lves, leur demanda combien de lignes elle offrait. Les rponses se croisrent: trois, six, neuf. Faidherbe, le futur gnral, trouva qu'en ajoutant aux neuf lignes de l'querre, considre comme un volume, les deux circonfrences du trou, on obtenait onze lignes. C'tait la rponse que le professeur attendait et il augura bien de l'avenir scientifique du jeune Faidherbe. IRRATIONNEL Je ne connais rien de plus insupportable en mathmatiques que les nombres irrationnels; leur introduction en arithmtique est un vritable scandale; dans ce domaine si lmentaire, ct de cette notion du nombre entier qui est la plus claire du monde, ct de ces propositions si prcises, de ces dmonstrations si nettes que les plus grands mathmaticiens ont pris coeur d'accrotre et de simplifier, et qui ont toute la beaut, toute la perfection de celles que les Grecs nous ont lgues, voici venir tout le cortge du transcendant et de l'infini. C'est l, non ailleurs, que sont condenses toutes les difficults des ides de limite, de convergence, de continuit. Que faire pourtant si l'on veut seulement crire [[V]2] + [[V]3]? Nous n'y pouvons rien, et c'est en vain qu'on se rvoltera: cette ide de l'infini est dans la ncessit des choses; on la rduira si l'on veut ses termes les plus simples, dire qu'aprs un nombre entier il y en a un autre, on ne s'en dbarrassera pas, pas plus en Arithmtique qu'ailleurs. vrai dire, la sagesse est de reconnatre les difficults l o elles sont, et l'honntet dans l'enseignement ne consiste pas dire tantt _on verra plus tard_, tantt _on a dj vu_, sans jamais rien montrer..... chaque longueur est attach un nombre rationnel ou non; chaque nombre rationnel ou non, une longueur est attache: cette longueur sert dfinir l'galit, comme l'addition et la soustraction: d'ailleurs, on montre comment on peut se passer de cette considration concrte, au moyen d'oprations arithmtiques effectues sur des nombres rationnels, et poursuivies jusqu' l'infini. J. TANNERY. OBJECTIONS MOYEU DE LA ROUE Mairan, successeur de Fontenelle comme secrtaire de l'Acadmie des Sciences, eut, nous l'avons dj dit, une discussion avec Madame du Chtelet sur les forces vives et ce fut Madame de Geoffrin qui le calma: Que pensera-t-on de vous, si vous tirez l'pe contre un ventail? Nous lisons dans un loge de cet estimable savant quelques lignes sur un vieux paradoxe: On savait bien qu'un cercle qui avance en ligne droite sur un plan, et qui tourne en mme temps autour de son centre, dcrit sur ce plan une ligne droite gale sa circonfrence. Lorsque ce cercle emporte avec lui un plus petit cercle qui lui est concentrique, et qui n'a pas d'autre mouvement que celui qu'il emprunte au premier (ce qu'on voit dans une roue de carrosse, qui emporte son moyeu), celui-ci dcrira une ligne droite gale non sa circonfrence, mais celle de la roue, puisque c'est le mme centre qui avance en ligne droite, dans l'un et l'autre cas. Mais comment concevoir que la petite roue, quoique plus petite, puisse parcourir autant de chemin que la grande? Aristote avait senti cette difficult sans la rsoudre; Galile... l'avait tent en vain; elle va s'vanouir devant le gnie de Mairan. Il dmontrera que la petite roue a un autre mouvement que le roulement, le mouvement de glissement ou de razion; mouvement qui ne doit point paratre puisqu'il est ml avec le roulement _per intim_, et qu'il l'affecte chaque instant infiniment petit. Ainsi, Mairan parvint rsoudre ce problme qui avait paru insoluble Aristote et tous les savants. MOINS PAR MOINS Il ne faudra plus dire que _moins par moins_ donne _plus_, fausse rgle qui a toujours choqu l'oreille et la raison, mis en droute les plus fameux calculateurs, occasionn des contestations et des disputes interminables sur les quantits ngatives, les racines imaginaires, le cas irrductible, les exposants et les logarithmes ngatifs, etc. PORRO. ------ L'oreille est peut-tre choque, mais non la raison, puisqu'on constate le fait, dans la multiplication algbrique. OBJECTION Dans la proportion -1/1 = 1/-1, le premier terme est plus petit que le second, tandis que le troisime est plus grand que le quatrime, ce qui est contradictoire. D'ALEMBERT. ------ On peut tirer de la proportion prcdente [[V]-1]/[[V]1] = [[V]1]/[[V]-1] d'o ([[V]-1])^{2} = ([[V]1])^{2} -1 = 1. Un nombre positif gal un nombre ngatif! Continuons et ajoutons 2 aux deux membres -1 + 2 = 1 + 2 ou enfin 1 = 3. Conclusion visiblement fausse. Variante: Partons de 4 - 10 = 9 - 15 Nous en concluons (2 - 5/2)^{2} = (3 - 5/2)^{2} donc 2 = 3! IMAGINAIRE GAL AU REL D'aprs les rgles ordinaires du calcul, on aurait [[4V]_a_][[V]-1] = [[4V]_a_][[4V](-1)^{2}] = [[4V]_a_], rsultat contradictoire, puisque, si _a_ est positif, le premier membre est imaginaire et le second rel. TOUS LES NOMBRES SONT GAUX Posons _a - b = c_, multiplions les deux membres par _a - b_, il vient (_a - b_)(_a - b_) = _ca - cb_ d'o _a_(_a - b - c_) = _b_(_ a - b - c_) et enfin _a = b_. LE CAS IRRDUCTIBLE On doit Cardan (qui l'avait drobe Tartaglia) une formule exprimant les trois racines de l'quation du troisime degr, mais, dans le cas o les trois racines sont relles, la formule, les prsentant sous une forme complique d'imaginaires, n'est plus utile. ASYMPTOTES Je lui rpliquay lors que j'aimois mieulx suyvre les effects que la raison. Or ce sont choses qui se chocquent souvent: et l'on ma dict qu'en la gomtrie (qui pense avoir gaign le hault poinct de certitude parmi les sciences), il se trouve des dmonstrations invitables, subvertissant la vrit de l'exprience: comme Jacques Peletier me disoit chez moy, qu'il avoit trouv deux lignes s'acheminant l'une vers l'autre pour se joindre, qu'il vrifioit toutesfois ne pouvoir jamais, jusques l'infinit, arriver se toucher. MONTAIGNE. ------ Il n'y a aucun mystre dans l'existence des asymptotes. DEMI-CIRCONFRENCE Ayant divis le diamtre d'une demi-circonfrence en un certain nombre de parties gales, et dcrit sur chacune des parties comme diamtre une demi-circonfrence, il est facile de voir que la grande demi-circonfrence est gale la somme des autres. Cela est vrai, quelque nombreuses que soient les divisions du diamtre, et par suite vrai encore la limite, lorsque la somme des petites demi-circonfrences s'est rduite au diamtre de la demi-circonfrence primitive.--Donc toute demi-circonfrence est gale son diamtre. Paradoxe analogue suivant lequel un ct d'un triangle serait gal la somme des deux autres. L'explication consiste en ce que la limite d'un nombre _infini_ de parties peut ne pas tre gale la somme des limites. Ainsi, divisez un rectangle en petits rectangles gaux trs minces dont vous augmenterez indfiniment le nombre, alors chaque rectangle tendra vers zro et pourtant leur somme ne sera pas nulle, puisqu'elle gale toujours le rectangle total. SRIE TRANGE Posons _x_ = 1 - 1 + 1 - 1 + ..... Il vient successivement _x_ = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + .....) = 1 - _x_ d'o 2_x_ = 1 _x_ = 1/2 Ainsi, en additionnant ou en soustrayant des nombres entiers, on obtiendrait une fraction. La faute provient de ce que la srie n'est pas convergente; la somme des termes est alternativement 1, 0, 1, 0, etc. TORTUE D'ACHILLE Le sophiste Znon prouvait ainsi qu'Achille ne rattrapera jamais la tortue, qui a une lieue d'avance, quoiqu'il marche dix fois plus vite: lorsqu'Achille a fait la premire lieue, la tortue a fait 1/10 de lieue et garde ainsi une avance de 1/10 de lieue; lorsqu'Achille fait ce 1/10 de lieue, la tortue fait un 1/10 de ce dixime de lieue et garde ainsi une avance de un centime de lieue; lorsqu'Achille fait ce centime de lieue, la tortue fait 1/10 de ce centime et garde ainsi une avance de un millime de lieue, etc., indfiniment. La tortue ne sera jamais atteinte, puisqu'elle aura toujours une avance gale au dixime du chemin qu'aura parcouru Achille. Quiconque connat la limite de la somme des termes d'une progression gomtrique dcroissante voit le vice de ce singulier raisonnement. Consulter le mmoire de M. Brochard sur les arguments de Znon contre le mouvement. Outre l'Achille, il y en a trois autres: la Dichotomie, la Flche, et enfin le Stade. Voir aussi l'tude de M. Frontera sur le mme sujet. DIMINUER EN MULTIPLIANT Tous les arithmticiens dclarent qu'en multipliant un nombre par une fraction proprement dite on le diminue. M. Berdell propose de remplacer les mots multiplier et multiplication par les mots _prorater_ et _proratation_. L'HEURE EN EUROPE La France a conserv, jusqu' nouvel ordre, son heure nationale, d'aprs le mridien de Paris. Les autres nations europennes viennent d'adopter le systme amricain des fuseaux, d'aprs lequel il y a, partir de Greenwich, trois zones d'heure, celles de l'ouest, du centre et de l'est. Par suite, en passant maintenant de France en Suisse, l'heure avance brusquement de 50 minutes 30 secondes. Un Franais allant Constantinople a le plaisir de changer trois fois d'heure. Il parat vieillir par soubresauts. La vitesse de l'_Express-Orient_ est surpasse dans le cas suivant, o le paradoxe s'aiguise outrance. ------ Sans tlgraphe ni chemin de fer, Alexandre Dumas fils voyage trs vite: Si avec une voiture deux chevaux je vais de Paris Saint-Cloud en une demi-heure, avec quatre chevaux j'y serai en un quart d'heure, avec huit chevaux j'y serai tout de suite, avec seize chevaux me voil revenu avant d'tre arriv et mme avant d'tre parti. ANTIPODES Jamais vous ne persuaderez un ignorant que d'autres hommes marchent les pieds et la tte opposs ses propres pieds et sa propre tte. Le pote Lucrce, quoique sans prjugs, affirme que la doctrine des antipodes est une folie. JOUR PERDU OU GAGN Voici quelques dtails sur l'erreur de date que commirent leur retour les premiers navigateurs qui firent le tour du monde. Le Portugais Magellan, parti le 20 septembre 1519, traversa l'Atlantique, rencontra la cte orientale de l'Amrique, dcouvrit au sud de ce continent le dtroit qui porte son nom, aborda aux les Philippines, et fut tu dans l'une d'elles, l'le Zbu, par les naturels. L'expdition fut continue par l'un de ses compagnons, Sbastien del Cano, qui ramena les matelots par le cap de Bonne-Esprance. leur retour en Europe, le livre de bord marquait le 5 septembre 1522, et cependant la vritable date tait le 6 septembre. C'est que les navigateurs, ayant fait le tour de la terre vers l'ouest, c'est--dire en sens contraire de la rotation du globe, avaient accompli une rvolution de moins autour de la ligne des ples que s'ils taient rests en place; ils avaient vu un lever et un coucher de soleil de moins. De mme les voyageurs qui font le tour du monde vers l'est tournent une fois de plus qu'un point fixe du globe autour de l'axe terrestre, et comptent un jour de plus. Pour viter les erreurs de ce genre, il est de rgle dans la navigation d'avancer ou de retarder la date d'un jour lorsqu'on franchit le 180e degr de longitude vers l'ouest ou vers l'est: le mridien qui rpond cette longitude s'appelle _ligne de dmarcation_. ------ On lit dans _Le tour du monde en 80 jours_, de Jules Verne: Philas Fogg avait sans s'en douter gagn un jour sur son itinraire,--et cela uniquement parce qu'il avait fait le tour du monde en allant vers l'_Est_, et il et au contraire perdu ce jour en allant en sens inverse, soit vers l'_Ouest_. En effet, en marchant vers l'Est, Philas Fogg allait au-devant du soleil, et, par consquent, les jours diminuaient pour lui d'autant de fois quatre minutes qu'il franchissait de degrs dans cette direction. Or on compte trois cent soixante degrs sur la circonfrence terrestre, et ces trois cent soixante degrs multiplis par quatre minutes, donnent prcisment vingt-quatre heures,--c'est--dire ce jour inconsciemment gagn. En d'autres termes, pendant que Philas Fogg, en marchant vers l'est, voyait le soleil passer _quatre-vingts fois_ au mridien, ses collgues rests Londres ne le voyaient passer que _soixante-dix-neuf_ fois. C'est pourquoi, ce jour-l mme, qui tait le samedi et non le dimanche, comme le croyait M. Fogg, ceux-ci l'attendaient dans le salon de Reform-Club. CONTOURS TROMPEURS Des gographes ont t repris par les gomtres, pour avoir cru que la dimension des les tait suffisamment indique par le circuit de la navigation. En effet, plus une forme est parfaite, plus elle a de capacit. Si donc le contour figure une circonfrence, qui est la courbe plane la plus parfaite, elle embrassera un plus grand espace, que si elle trace un carr d'gale longueur; son tour le carr en renfermera plus que le triangle, et le triangle cts gaux, plus que le triangle cts ingaux. QUINTILIEN. SOPHISMES SIMPLES 1 _Le tas de bl:_ un grain de bl ajout un autre grain de bl ne fait pas un tas; un autre grain ajout ne le fait pas non plus, et ainsi de suite; donc on ne fera jamais un tas de bl avec des grains de bl. 2 _Le chauve:_ en tant un cheveu une tte garnie de cheveux, on ne rend pas un homme chauve; en en tant deux, trois, pas davantage; donc on peut lui ter tous les cheveux de la tte sans le rendre chauve. COLOMBE Les corps lancs de haut en bas, tandis que la terre tourne et s'loigne, ne devraient pas retomber au point d'o ils sont partis. Cette objection des ignorants en mcanique a t potise par Buchanan dans son pome sur _La Sphre_: La tourterelle n'oserait quitter son nid et s'lever dans l'air dans la crainte de ne plus revoir ses petits. MOUVEMENT SINGULIER On tablit, trs simplement et trs exactement, que dans l'hypothse de l'attraction inversement proportionnelle au cube de la distance, un mobile dcrirait une spirale logarithmique: Bien que le mobile dcrive une infinit de rvolutions autour du centre, le temps au bout duquel il l'atteindra est fini. (Faye, Cours d'Astronomie. T. II, page 120.) On se fait difficilement une ide du temps _fini_, suffisant pour accomplir un nombre _infini_ de rvolutions autour d'un centre. D'ailleurs, rassurons-nous. Il s'agit d'un _point matriel_ parcourant une trajectoire asymptotique un point. Tout peut se passer aisment dans le domaine de la thorie. DESIDERATA DMONTRER Fermat affirme, sans dmonstration, qu'au-dessus du carr, la somme des puissances semblables de deux nombres n'est jamais la puissance semblable d'un troisime nombre. La proposition est-elle vraie? Fermat en possdait-il une dmonstration? Quoi qu'il en soit, les plus habiles mathmaticiens n'ont pu dmontrer, d'une manire gnrale, le _Thorme de Fermat_. Il ne faut pas, bien entendu, confondre le thorme prcdent avec un autre du mme savant, qu'on tablit dans les Cours. NOMBRE DE PLATON Ce nombre mystrieux, sur lequel les traducteurs et les commentateurs sont loin d'tre d'accord, parat li l'galit 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}, analogue celle de Pythagore 3^{2} + 4^{2} = 5^{2}. Il s'agirait d'une priode rglant les mariages et les naissances (d'o le nom de nombre nuptial) ou de la grande anne au bout de laquelle le soleil, la lune et les plantes reprennent les mmes positions relatives dans le ciel. Voici quelques-unes des valeurs proposes; 12960000; 1728; 8128; 216; 5040; 864; 7500; 2700; 760000. (Voir les mmoires de M. J. Dupuis sur _Le nombre gomtrique de Platon_.) UN GRAND NOMBRE On lit dans une lettre au Pre Mersenne: Vous me demandez si le nombre 100895598169 est premier ou non, et une mthode pour dcouvrir dans l'espace d'un jour, s'il est premier ou compos. cette question, je rponds que ce nombre est compos et se fait du produit de ces deux: 898423 et 112303 qui sont premiers. Je suis toujours, mon rvrend Pre, votre trs humble et trs affectionn serviteur, _Fermat_. La question pourrait embarrasser nos contemporains, et on ignore la mthode suivie par Fermat. ------ Parlons d'un autre grand nombre. Lorsqu'on place bout bout les dominos, de faon que deux conscutifs quelconques se touchent par des points quivalents, le dernier lment est toujours gal au premier. Le problme de Reiss consiste trouver le nombre de combinaisons, lorsque la range se termine un double indiqu. M. G. Tarry a rsolu la question assez simplement, et il trouve jusqu'au double-huit, ce nombre de combinaisons. 10.752.728.122.249.860.612.096.000 MOQUERIE Quel est cet an quarante dont on se moque tant? Pourquoi se moque-t-on aussi du tiers et du quart? PRIHLIE Le mouvement anormal du prihlie de Neptune attend encore une explication. La loi de Newton n'a pas permis, jusqu' prsent, d'en rendre compte. Il en est de mme, depuis Clairaut, du mouvement du prige de la lune. En deux sicles, la lune s'carte progressivement de la position calcule, mais sans que la diffrence dpasse une seconde de temps. LANGUE, LITTRATURE ET BEAUX-ARTS GARGANTUA En ce moyen entra en affection d'icelle science numrale, et touts les jours aprs disner et souper y passait temps aussi plaisantement qu'il soulait, en dez ou s chartes. tant sceut d'icelle et thoricque et practicque, que Tunstal Anglois, qui en avait amplement escript, confessa que vrayement en comparaison de luy il n'y entendoit que le hault Alemant. RABELAIS. INCOMMENSURABLE Beaucoup de personnes voulant parler d'un trs grand nombre disent un nombre incommensurable. La locution est mauvaise, puisqu'il y a des nombres incommensurables petits et grands, ainsi [[V]2] vaut 1,4142..., et [pi] vaut 3,141592..., etc. LES INCONNUES Les anciens Indiens dsignaient toutes les inconnues par la mme syllabe _ya_ (initiale du mot), mais diversement colore. ESTHTIQUE Le problme de l'esthtique des formes revient videmment celui-ci: quelles sont les lignes les plus agrables? Mais d'abord qu'est-ce qu'une ligne? Jamais nous n'avons vu de lignes; nos yeux ne connaissent que des directions. Ce que nous appelons une ligne est la synthse de deux sens parallles et contraires. La ralit, c'est la direction, ce sont ce que les gomtres contemporains appellent des _demi-droites_. Je ne vois pas de cercles mais je vois des cercles dcrits dans un sens ou dans un autre, ce que l'on appelle des _cycles_. Par exemple, le cercle eucliden, le cercle abstrait, peut avoir quatre tangentes parallles entre elles; le cercle rel, le cycle, ne peut en avoir que deux. Donner quatre tangentes parallles entre elles un cercle, c'est faire une figure dtestable, parce que cette figure oblige l'oeil changer deux fois de direction; donner deux tangentes au cycle, c'est faire une figure agrable. C. HENRY. ------ Les nombres harmoniques sont ceux qui sont forms uniquement des facteurs premiers 2, 3 et 5 et dont la formule est par suite 2^{_a_} 3^{_b_} 5^{_c_}. Nombres harmoniques: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30... Nombres qui ne sont pas harmoniques: 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31... Tout est harmonie dans la nature, tout s'y rgle par des nombres harmoniques. Exemples: cristallographie, acoustique, etc. Telles sont les affirmations du vieil Euler, d'aprs l'ide vague de la simplicit dans la nature. Helmholtz a rfut ces opinions quant la musique et, d'aprs un thoricien nouveau, Charles Henry, elles sont aussi inexactes pour l'esthtique des formes. la conception primitive d'un ordre trs simple partout, succde peu peu celle d'un ordre plus savant et plus dlicat. MESURE DE L'NE Il parat que cette mesure est le kilomtre, auquel, tromps par une faute d'orthographe, nous attribuons la signification de mille mtres. Quant au kilomtre, disent MM. Brachet et Dussouchet, on peut hsiter pour son tymologie entre mesure de l'ne (killos-metron) ou mesure du foin (chilos-metron). Le vrai mot et t _chiliomtre_, mille mtres. ARGOT DES COLES Deux camarades qui vivent et travaillent dans la mme salle sont deux _binomes_. Les lves de mathmatiques spciales s'appellent des _taupins_, sans doute parce qu'ils sont presque tous myopes comme des taupes. En premire anne, ils sont _bizuth_, puis ils deviennent _carrs_, et quelquefois, hlas, _cubes_ et mme _bicarrs_. Les candidats font, ensemble, aprs les examens de l'cole polytechnique, une promenade travers Paris. Cette longue file qui serpente en chantant, c'est le joyeux _monome_! Les lves de l'cole polytechnique sont des _x_, la tangente au ct. Nous signalons ici avec plaisir un curieux livre illustr, _L'Argot de l'X_, par Albert Lvy et G. Pinet. TIRADE Gomtrie! algbre! arithmtique! Zone O l'invisible plan coupe le vague cne, O l'asymptote cherche, o l'hyperbole fuit; Cristallisation du prisme dans la nuit; Mer dont le polydre est l'affreux madrpore; Nue o l'univers en calculs s'vapore. VICTOR HUGO (_Toute la lyre._) Nous ne donnons qu'un chantillon. Le discours continue hardi et obscur... PROFESSEUR DE TRIANGLE (MONOLOGUE) Je suis professeur!--Professeur, de quoi?--De quoi? Je vous le donne en mille... Eh bien, je suis professeur de triangle..., oui, de triangle! J'ai toujours ador le triangle; cela doit venir de ce que, en nourrice, on m'avait fait un petit triangle avec des faveurs roses et des grelots, pour m'amuser; je m'en souviens encore, comme si j'y tais, de mon petit triangle. Lorsque je commenais marcher, je m'amusais tracer des triangles sur le sable. Plus tard au collge, lorsqu'on jouait aux billes, je ne jouais jamais qu'au triangle. En gomtrie, je ne savais que ce qui avait rapport aux triangles. Ah! que de douces heures il m'a fait passer mon triangle, mon cher triangle; grce lui, je suis devenu chef de fanfare, chef d'orchestre, etc., etc. OEUF Prenons un oeuf en nos mains. Cette forme elliptique, la plus comprhensive, la plus belle, celle qui offre le moins de prise l'attaque extrieure... Les choses inorganiques n'affectent gure cette forme parfaite. MICHELET. ------ Rien n'est rond dans la nature, except le globe de l'oeil... et, encore, il n'est pas rond. BUSES GRAVES Tel est le titre d'une parodie des _Burgraves_, de Victor Hugo. On y lit: Je possde zro, prenez-en la moiti. STATUE PRIODIQUE Un sculpteur doit faire la statue de Charlemagne, assis sur son trne, couronne en tte, tenant d'une main le globe du monde, de l'autre le sceptre surmont d'une rduction _exacte_ de la mme statue _avec tous ses accessoires_. L'artiste a consenti n'tre pay que lorsqu'il aura compltement termin le travail... BERDELL. ------ Le vrai symbole de l'infini, dit le mme auteur, c'est l'enseigne du barbier factieux: Ici on rasera gratis demain. PARURE Qui le croirait? c'est par des lignes arides, c'est par l'austre gomtrie que doit commencer l'tude de la parure. Cette jolie femme est enferme son insu dans un rseau de parallles, comme le serait un oiseau dans sa cage, un invisible treillis de verticales et d'horizontales emprisonne sa beaut mouvante et libre. CHARLES BLANC. COULEURS On suppose le plan d'un territoire divis en autant de parcelles que l'on voudra. Quel est le minimum de couleurs distinctes qu'il faudra employer pour colorier ces parcelles, sans qu'aucune des parcelles contigus ne possde la mme couleur? Rponse: quatre. Ainsi, avec quatre couleurs seulement, on peut colorier une carte quelconque de France en dpartements ou en arrondissements, ou en communes ou mme le plan cadastral de la France. Les personnes auxquelles on pose cette question brle-pourpoint ont toujours quelque peine concevoir que quatre couleurs seulement puissent suffire. RAISON SOCIALE Ce nouveau venu tait une raison sociale. Nous nous amusions, en ce temps, crire propos d'Erckmann-Chatrian et des frres de Goncourt: Les _deux_ romanciers peut-tre les plus remarquables de ce temps, sont _quatre_. J. CLARETIE. PERDU! Dans ses crits mathmatiques, Sylvester est parfois loquent. Son style est fleuri. Ses mmoires sont frquemment coups de courtes pices de posie, cites d'autrui ou de sa propre composition. Ainsi dans son article dans _Nature_, janvier 1886, il y a un court pome sur un terme perdu dans une famille de groupes de termes d'une formule algbrique. REBUFFADE propos des visites des candidats l'Acadmie franaise, M. Jules Simon raconte l'anecdote suivante: Il y avait des rebuffades clbres. Celle entre autres d'un acadmicien qui dit un auteur dramatique: Je ne vais pas dans ces thtres-l! Le pauvre auteur avait pourtant t jou la Comdie franaise. Je me rappelle mme, aprs soixante-trois ans, trois de ces vers qui taient clbres l'cole normale: lve distingu d'une clbre cole, Charle est ingnieur et dans tout ce qu'il dit De la polytechnique on reconnat l'esprit CONTRADICTIONS L'auteur d'un livre sur les vnements de 1870 raconte qu'il sortit vers deux heures du matin de la Chambre aprs la sance de nuit du 4 septembre o fut prononce la dchance de l'Empire: Au bout du pont de la Concorde, j'aperois M. Thiers pench la portire de sa voiture, il raconte Sedan.... et l-bas, dans le fond, derrire les tours de Notre-Dame et derrire la flche de la Sainte-Chapelle, derrire les clochetons du Palais-de-Justice, dans l'azur plein d'toiles glisse doucement la lune. Or le 4 septembre, ds 11 heures du soir, la lune se trouvait dans la direction du Champ-de-Mars l'oppos de la Sainte-Chapelle, rplique un astronome. Menu dtail, est-ce que les peintres se proccupent de placer comme il faut les cornes de la lune? Lamartine a dit: Vnus _se lve_ l'horizon... Dans un roman: La lune, son znith, annonait minuit. son znith! Puis, l'heure du passage de la lune au mridien varie chaque jour. Ces navets astronomiques ont t releves par des membres de la Socit d'astronomie de M. Vinot. CHEMINS L'homme n'arrive jamais une ide simple et vraie qu' force de dtour; pour lui, la ligne courbe est le chemin qui conduit la ligne droite. SAINTINE. RGULIER Pour moi, ne consulter mme que mes yeux, je ne vois rien de si beau qu'une figure qui seule renferme toutes les autres, qui n'a rien de coup par des angles, rien qui aille de biais, rien de raboteux, point d'ingalit, point de bosse, point de creux. Ainsi les deux figures les plus estimes, savoir le globe parmi les solides, et le cercle parmi les planes, sont les seules dont toutes les parties soient semblables entre elles, et o le bas et le haut soient galement loigns du centre. Que peut-on imaginer de plus juste? CICRON. ABRGEONS Un professeur connu disait, pour abrger, _perpenculaire_ et on l'appelait lui-mme le _pre pencu_. Un autre prononait _portionnel_ pour proportionnel. Un troisime rejetant paralllipipde et paralllpipde prfrait _parlipde_; pourquoi pas _spath_, comme les Allemands, d'aprs la cristallographie? PROTESTATION S'il n'en est plus que mille, eh bien! j'en suis; si mme Ils ne sont plus que cent, je brave encor Scylla; S'il en demeure dix, je serai le dixime, Et s'il n'en reste qu'un, je serai celui-l! VICTOR HUGO (_Les Chtiments_). CLAIR-OBSCUR On sait ce que fut la rvolution cartsienne: le Nombre prenant possession de la Gomtrie, acceptant l'hritage des Anciens, mais sous bnfice d'inventaire et comme pour soumettre toutes les vrits reues ses vrifications; poussant ensuite au-del, avec nous, tantt menant et infaillible, tantt men et n'oubliant rien derrire soi; nous abandonnant, il est vrai, le choix de nos problmes, se rservant, lui, pour les rsoudre: admirable gomtre qui, portant la gomtrie une impossible perfection, la supprimait du mme coup si, capable comme il l'est de rpondre toutes nos questions, il ne devenait muet la fin, se refusant nous suppler davantage et nous laissant l'interprtation de ses oracles. Ainsi fait le Nombre. Ce qu'il sait le mieux, c'est encore son commencement. Toutes les obscurits dont il nous dlivre, de prime abord, il nous les laisse pour la fin, accumules en un mme point: quelquefois plus transparentes, s'il s'agit d'une chose simple, ou dj connue, ou seulement suppose; plus opaques d'autres fois et d'une densit telle que, mme en connaissant d'avance ce que l'on cherche, on ne le retrouve point. P. SERRET. PAN! Nous jouons compter, dit Charlotte, attention! Je commence de droite gauche: vous comptez! Chacun son chiffre! mesure que le tour lui vient, celui qui hsite ou qui se trompe, un soufflet! et ainsi de suite jusqu' mille. C'tait amusant voir. Elle parcourait le cercle le bras tendu. Le premier dit: Un.--Deux, fit le second.--Trois, poursuivit l'autre; et toujours ainsi. Mais bientt elle commena d'aller plus vite: il y en eut un qui se trompa, pan! un soufflet et tous de rire; le suivant aussi, pan! et toujours plus vite... GOETHE. TOUT ET MOITI Je ne connais de biens que ceux que l'on partage. Coeurs dignes de sentir le prix de l'Amiti, Retenez cet ancien adage: Le tout ne vaut pas la moiti. FLORIAN. DIX-HUIT En argot, un _dix-huit_, c'est un habit dgraiss, un chapeau retap, etc. tymologie: dix-huit, c'est deux fois neuf. BATAILLE OU RANON? On lit, dans _Le Sige de Paris_, par le vicomte d'Arlincourt: Pour chasser de ces murs les farouches normands, Le roi Charles s'avance avec vingt mille francs. VERS NOMBREUX Un vers nombreux est un vers bien rythm, on dit des vers nombreux lorsqu'il s'agit de beaucoup de vers, nous nous permettons de qualifier ici de _nombreux_ des vers qui contiennent des nombres. Boileau surtout avait le got du numrique et celles de nos citations dont les auteurs ne sont pas nomms doivent tre attribues Nicolas. LE NOMBRE 1. Qu'en 1 lieu, qu'en 1 jour, 1 seul fait accompli Tienne jusqu' la fin le thtre rempli. Brontin tient 1 maillet, et Boirude 1 marteau. (On pourrait continuer longtemps ces citations.) ------ LE NOMBRE 2. Que Rheinberg et Wesel, terrasss en 2 jours, D'1 joug dj prochain menacent tout son cours. Sur 1 pont en 2 jours trompa tous tes efforts. C'est donc trop peu, dit-il, que l'Escaut, en 2 mois, Ait appris couler sous de nouvelles lois. 2 marmitons crasseux, revtus de serviettes, Lui servaient de massiers, et portaient 2 assiettes. 2 nobles campagnards, grands lecteurs de romans. 1 lit et 2 placets composaient tout son bien. Qui des 2, en effet, est le plus aveugl? 1 ais sur 2 pavs forme un troit passage. O sont ces 2 amants? Pour couronner ma joie, Dans leur sang, dans le mien, il faut que je me noie. (J. RACINE.) 2 voyageurs jeun rencontrrent une hutre. Tous 2 la contestaient, lorsque dans leur chemin La Justice passa, la balance la main. Devant elle grand bruit ils expliquent la chose: Tous 2 avec dpens veulent gagner leur cause. (LA FONTAINE.) ------ LE NOMBRE 3. Dans 3 jours nous verrons le phnix des guerriers. Elle a vu 3 guerriers, ennemis de la paix. Mais les 3 champions, pleins de vie et d'audace. Si dans les droits du roi, sa funeste science Par 2 ou 3 avis n'et ravag la France. Et que l'1 des Capets, pour honorer leur nom, Ait de 3 fleurs de lys dot leur cusson. 3 longueurs de trait, tayaut, voil d'abord Le cerf donn aux chiens. J'appuie et sonne fort. (MOLIRE.) Mais 3 fois plus heureux le jeune homme prudent. (GILBERT.) Il faut voir ce marchand, philosophe en boutique Qui, dclarant 3 fois sa ruine authentique, 3 fois s'est enrichi d'un heureux dshonneur, Trancher du financier, jouer le grand seigneur. (GILBERT.) Que vouliez-vous qu'il ft contre 3?--Qu'il mourt.... (CORNEILLE.) ------ LE NOMBRE 4. 4 boeufs attels, d'un pas tranquille et lent, Promenaient dans Paris le monarque indolent. 1 valet le portait, marchant pas compts Comme 1 recteur suivi des 4 facults. Bientt 4 bandits, lui serrant les cts. Les 4 contenaient 4 choeurs de musique. (CORNEILLE.) Laissez-leur prendre 1 pied chez vous, Ils en auront bientt pris 4. (LA FONTAINE.) ------ LE NOMBRE 5. J'avais pris 5 bateaux pour mieux tout ajuster. (CORNEILLE.) De 5 autres beauts la sienne fut suivie. (CORNEILLE.) ------ LE NOMBRE 6. Sur 1 livre flanqu de 6 poulets tiques S'levaient 3 lapins, animaux domestiques. 6 chevaux attels ce fardeau pesant Ont peine l'mouvoir sur le pav glissant. Il n'est fort, entre ceux que tu prends par centaines, Qui ne puisse arrter un rimeur 6 semaines. Vous saurez seulement qu'en ce lieu de dlices On servit 12 plats, et qu'on fit 6 services. Cependant que les eaux, les rochers et les airs Rpondaient aux accents de nos 4 concerts. (CORNEILLE.) Dans cette cage resserre On peut former jusqu' 6 pas. (GRESSET.) 6 brins de paille dlabre Tresss sur 2 vieux chalas. (GRESSET.) ------ LE NOMBRE 7. Ni sans raison d'crire en quel affreux pays Par 7 bouches l'Euxin reoit le Tanas. 5 et 4 font 9, tez 2, reste 7. ------ LE NOMBRE 8. Je n'ai rien fait en vers; mais j'ai lieu d'esprer Que je pourrai bientt vous montrer en amie 8 chapitres du plan de notre acadmie. (MOLIRE.) ------ LE NOMBRE 9. Les 9 trompeuses soeurs dans leur douce retraite Ou de 30 feuillets, rduits peut-tre 9, Parer demi-rongs les rebords du Pont-Neuf. ------ LE NOMBRE 10. Firent plus en 10 ans que Louis en 10 jours. De ces gens qui, suivis de 10 hourets galeux Disent Ma meute, et font les chasseurs merveilleux. (MOLIRE.) ------ LE NOMBRE 15. C'est elle qui, m'ouvrant le chemin qu'il faut suivre M'inspira, ds 15 ans, la haine d'un sot livre. Un clerc, pour 15 sous, sans craindre le hol. ------ LE NOMBRE 20. Et le teint plus jauni que de 20 ans de hle. 20 fois sur le mtier remettez votre ouvrage. Voulez-vous sur la scne taler des ouvrages O tout Paris en foule apporte ses suffrages Et qui, toujours plus beaux, plus ils sont regards, Soient au bout de 20 ans encore redemands? En vain pour te louer ma muse toujours prte 20 fois de la Hollande a tent la conqute. ce triste discours, qu'un long soupir achve, La Mollesse, en pleurant, sur un bras se relve, Ouvre un oeil languissant, et, d'une faible voix, Laisse tomber ces mots qu'elle interrompt 20 fois. Ils atteignaient dj le superbe portique O Ribou, le libraire, au fond de sa boutique Sous 20 fidles clefs garde et tient en dpt L'amas toujours entier des crits de Hainaut. Ainsi recommenant un ouvrage 20 fois, Si j'cris 4 mots, j'en effacerai 3. Je me suis vu 20 fois prt quitter la table. La Seine, au pied des monts que son flot vient laver Voit du sein de ses eaux 20 les s'lever, Qui partageant son cours en diverses manires, D'une rivire seule y forment 20 rivires. Et maudissant 20 fois le dmon qui m'inspire. C'est encor pis 20 fois en quittant la maison. 20 carrosses bientt arrivant la file. Je saute 20 ruisseaux, j'esquive, je me pousse. Achille mit 20 fois tout Ilion en deuil. Et 20 fois, comme ouvrages nouveaux J'ai lu des vers de vous qu'il n'a point trouvs beaux. (MOLIRE.) 20 familles enfin couleraient d'heureux jours. (GILBERT.) ------ LE NOMBRE 30. L, depuis 30 hivers, un hibou retir Trouvait contre le jour un refuge assur. Par ses soins cependant 30 lgers vaisseaux. Et que tantt, aux yeux du chapitre assembl, Il soit sous 30 mains en plein jour accabl. Elle a d'une insolence nulle autre pareille Aprs 30 leons, insult mon oreille. (MOLIRE.) ------ LE NOMBRE 32. Et tel est le sublime sige D'o, flanqu des 32 vents, L'auteur de l'Almanach de Lige Lorgne l'histoire du beau temps. (GRESSET.) ------ LE NOMBRE 40. Puisqu'ainsi dans 2 mois tu prends 40 villes, Assur des bons vers dont ton bras me rpond, Je t'attends dans 2 ans au bord de l'Hellespont. Qu'au bout de 40 ans, Cinna, Pompe, Horace Reviennent la mode et retrouvent leur place. (CORNEILLE.) ------ LE NOMBRE 50. 50 rats mon oreille Ronflent en faux bourdon. (GRESSET.) ------ LE NOMBRE 100. N'avons-nous pas 100 fois, en faveur de la France, Comme lui dans nos vers pris Memphis et Bysance. Horace eut 100 talents; mais la nature avare Ne vous a rien donn qu'un peu d'humeur bizarre. J'aime mieux mettre encore 100 arpents au niveau. Tu pourras les rpandre et par 20 et par 100. Ce pays o 100 murs n'ont pu te rsister. Nous l'avons vu, dit-il, affronter la tempte De 100 foudres d'airain, tourns contre sa tte. Il voit 100 bataillons qui, loin se dfendre, Attendent sur des murs l'ennemi pour se rendre. 100 guerriers s'y jetant signalent leur audace. Bientt victorieux de 100 peuples altiers. De morts et de mourants 100 montagnes plaintives. En 100 lieux contre lui les cabales s'amassent. Balzac en fait l'loge en 100 endroits divers. De 100 coups de marteau me va fendre la tte. Entre 100 vieux appuis dont l'affreuse grand'salle Soutient l'norme poids de sa vote infernale. Et ses ruses perant et digues et remparts, Par 100 brches dj rentrent de toutes parts. Thmis a vu 100 fois chanceler sa balance. Et leur art, attirant le culte des mortels, sa gloire en 100 lieux vit dresser des autels. Comme on voit qu'en un bois que 100 routes sparent. D'Hozier lui trouvera 100 aeux dans l'histoire. Aussitt 100 chevaux, dans la foule appels. 100 francs au denier 5 combien font-ils?--20 livres. Non; mais 100 fois la bte a vu l'homme hypocondre. Dont les noms en 100 lieux, placs comme en leurs niches. Qui, sans sujet, courant chez 100 peuples divers. En transposant 100 fois et le nom et le verbe. Et j'en ai refus 100 pistoles, crois-moi. (MOLIRE.) N'as-tu pas d 100 fois te le faire redire? (J. RACINE.) Aux filles de 100 rois je vous ai prfre. (J. RACINE.) On me menace Si je ne sors d'ici, de me bailler 100 coups. (MOLIRE.) L, 100 figures d'air en leurs moules gardes. (LA FONTAINE.) Le peuple rentre et sort en 100 parts divis. (LA FONTAINE.) Un mourant qui comptait plus de 100 ans de vie. (LA FONTAINE.) Eh! n'as-tu pas 100 ans? Trouve-moi dans Paris 2 mortels aussi vieux; trouve-m'en 10 en France. (LA FONTAINE.) Prenez ces 100 cus; gardez-les avec soin, Pour vous en servir au besoin. Le savetier crut voir tout l'argent que la terre Avait, depuis plus de 100 ans Produit pour l'usage des gens. (LA FONTAINE.) Rendez-moi, lui dit-il, mes chansons et mon somme, Et reprenez vos 100 cus. (LA FONTAINE.) Et 100 brimborions dont l'aspect importune. (MOLIRE.) Et 100 portes d'airain s'ouvrent ses regards. (VOLTAIRE.) Dans cette pdantesque rue O 30 faquins d'imprimeurs Avec un air de consquence Donnent froidement audience 100 famliques auteurs. (GRESSET.) Et tous ces demi-dieux que l'Europe en dlire A depuis 100 hivers l'indulgence de lire. (GILBERT.) ------ LE NOMBRE 1000 1000 oiseaux effrayants, 1000 corbeaux funbres. Lorsqu'un cri tout coup suivi de 1000 cris. Et de 1000 remparts mon onde environne. Je fais 1000 serments de ne jamais crire. Malheureux 1000 fois celui dont la manie Veut aux rgles de l'art asservir son gnie. 1000 de ces beaux traits, aujourd'hui si vants Et 1000 autres qu'ici je ne puis faire entrer. Au pied du mont Adule, entre 1000 roseaux. Mieux que vous 1000 fois, dit le noble en furie. Venez de 1000 aeux; et, si ce n'est assez, Feuilletez loisir tous les sicles passs. Son coeur, toujours flottant entre 1000 embarras. Au comble de son art, est 1000 fois mont. Le pote s'gaye en 1000 inventions. Et qui de 1000 auteurs retenus mot pour mot. S'est couvert 1000 fois d'une noble poussire. Eh bien! je m'adoucis. Votre race est connue; Depuis quand? Rpondez: Depuis 1000 ans entiers, Et vous pouvez fournir 2 fois 16 quartiers. Va par 1000 beaux faits mriter son estime. Enfin sous 1000 crocs, la maison abme Entrane aussi le feu, qui se perd en fume. Et pour 1 que je veux, j'en trouve plus de 1000. 1 stupide animal, sujet 1000 maux. En vain il a reu l'encens de 1000 auteurs. De possder enfin 1000 dons prcieux. On a vu 1000 fois des fanges Motides Sortir des conqurants goths, vandales, gpides. Sans le secours des vers, leurs noms tant publis Seraient depuis 1000 ans avec eux oublis. Tu viens m'embarrasser de 1000 autres vertus. peine dans Gombaut, Maynard et Malleville, En peut-on admirer 2 ou 3 entre 1000. La Fable offre l'esprit 1000 agrments divers. Et sur son bois dtruit btit 1000 procs. Dcouvrir la nature en 1000 expriences. (MOLIRE.) Aprs 1000 ans et plus de guerre dclare. (LA FONTAINE.) La Seine au flot royal, la Loire dans son sein Incertaine, et la Sane, et 1000 autres enfin. (GILBERT.) Aprs qu'on eut mang, 1000 et 1000 fuses. (CORNEILLE.) Il nous faudrait 1000 personnes Pour plucher tout ce canton. (LA FONTAINE.) Au sein de ses amis rpandre 1000 choses. (LA FONTAINE.) ------ LE NOMBRE 6000 Fuyez le Char glac des 7 astres de l'Ourse: Embrassez dans le cours de vos longs mouvements 200 sicles entiers par del 6000 ans. (VOLTAIRE.) ------ LE NOMBRE 100 000 J'ai 100 000 vertus en louis bien compts. ------ LE NOMBRE 1000000 Qu' 1000000 comptant par ses fourbes acquis, De clerc, jadis laquais, a fait comte et marquis. ------ LES FRACTIONS Rien ne me fche tant que les crmonies, Et si l'on m'en croyait, elles seraient bannies. C'est un maudit usage, et la plupart des gens Y perdent sottement les 2/3 de leur temps. (MOLIRE.) ------ Les trop nombreuses citations prcdentes sont empruntes aux seuls classiques. Qu'on nous permette de citer encore le premier vers du Cromwel de Victor Hugo et trois vers de son Ruy Blas. Demain 25 juin mil six cent cinquante-sept. La maison de la reine, ordinaire et civile, Cote par an six cent soixante-quatre mille Soixante-six ducats: c'est un pactole obscur. CURIOSITS ET TRANGETS COURBE RENAISSANTE Lorsqu'on transforme la _spirale logarithmique_, pour construire sa _dveloppe_ et sa _caustique_, on retrouve la premire courbe. Jacques Bernoulli voyait l comme un symbole de la rsurrection et aurait voulu qu'on gravt la courbe sur son tombeau avec ces mots: _Eadem mutata resurgo._ CARRS MAGIQUES On donne ce nom tout carr divis en cases o sont inscrits des nombres tels qu'en les prenant dans une colonne verticale, une range horizontale ou une diagonale, on ait toujours le mme total. Voici par exemple un carr magique neuf cases et la somme constante 15; il est form des neuf premiers nombres. =============== || 4 | 3 | 8 || ||---|---|---|| || 9 | 5 | 1 || ||---|---|---|| || 2 | 7 | 6 || =============== Remarquons que le carr reste _magique_ si l'on ajoute un mme nombre tous ses nombres ou si on les multiplie par un mme nombre. On a donn dans l'Antiquit une importance symbolique ces combinaisons qu'on retrouve dans presque tous les talismans. Les carrs magiques deviennent _diaboliques_, s'ils sont tels que si on divise le carr en deux rectangles gaux ou ingaux et qu'on change les deux parties, le carr reste magique. Exemple: ======================= || 15 | 6 | 9 | 4 || ||----|----|----|----|| || 10 | 3 | 16 | 5 || ||----|----|----|----|| || 8 | 13 | 2 | 11 || ||----|----|----|----|| || 1 | 12 | 7 | 14 || ======================= CHARLES XII Quelques personnes ont voulu faire passer ce prince pour un bon mathmaticien; il avait sans doute beaucoup de pntration dans l'esprit, mais la preuve que l'on donne de ses connaissances en mathmatiques n'est pas bien concluante; il voulait changer la manire de compter par dizaines et il proposait la place le nombre soixante-quatre, parce que ce nombre contenait la fois un cube et un carr et, qu'tant divis par deux, il tait enfin rductible l'unit. Cette ide prouvait seulement qu'il aimait en tout l'extraordinaire et le difficile. VOLTAIRE. NOMBRES GOMTRIQUES On appelle nombres triangulaires des nombres tels que * * * * * * * * * * * * * * * * * * * etc. 3 6 10 C'est ainsi ranges que voyagent les grues. Il y a aussi les nombres _quadrangulaires_, _pyramidaux_, etc. On croit tous les nombres semblables, mais Leibniz insiste sur leurs dissemblances. COURBE BANALE Malgr son nom savant, la cyclode est banale. En effet, chaque clou de chaque roue de voiture dcrit la courbe en question, lorsque la voiture roule. PLANTES HABITES Il y a d'abord la terre sur laquelle nous vivons. Quant aux autres plantes, elles sont peut-tre occupes par des tres plus ou moins analogues aux hommes. C'est l l'objet d'hypothses en l'air, sur lesquelles Fontenelle badine agrablement. LES AUTRES ET SOI Aimer, c'est prfrer autrui soi-mme. La grandeur de l'amour est une fraction dont le numrateur,--mes prfrences, mes sympathies pour autrui,--ne dpend pas de moi, tandis que mon amour pour moi-mme peut tre agrandi ou rduit par moi l'infiniment petit, suivant l'importance que j'attache mon individualit... Les raisonnements du monde sur l'amour et ses degrs sont des raisonnements sur la valeur des fractions, selon les numrateurs seuls, sans tenir compte des dnominateurs. TOLSTO. GOMTRIE DES ABEILLES C'est le titre d'un ouvrage anglais de Taylor dans lequel sont expliqus les divers problmes auxquels donne lieu la construction des ruches. Les remarquables proprits gomtriques des alvoles des abeilles ont t dcrites par plusieurs observateurs: Pappus (IVe sicle av. J.-C.); Maraldi (1712), Raumur (1702-1739); Mac-Laurin; Castillon et Lhuillier (1781); Lord Brougham (1858); Terquem (1856-1860); Hultman (1868); Mullenhoff (1883); Hennessy (1885). PAIR OU IMPAIR Il vaut mieux parier pour impair, parce qu'on dmontre que, dans un nombre donn de combinaisons, il y en a une de plus o les choses sont prises en nombre impair. En matire de rythme potique, Verlaine n'est pas moins affirmatif: De la musique avant toute chose, Et pour cela prfre l'Impair, Plus vague et plus soluble dans l'air, Sans rien en lui qui pse ou qui pose. NOMBRES PARFAITS Ce sont les nombres entiers qui sont gaux chacun la somme de leurs diviseurs. Exemples: 6, 28, 496, etc. On ne connat actuellement que neuf nombres parfaits: 2 x 3, 4 x 7, 16 x 31, 64 x 127, 4096 x 8191, 65536 x 131071, 262144 x 524287, 1073741824 x 2147483647 et 2^{60}(2^{61}-1). On sait, depuis Euclide, que les nombres parfaits sont de la forme 2^{n}(2^{n + 1} - 1), condition que _n + 1_ et 2^{n + 1} - 1 soient des nombres premiers. NOMBRES AMIABLES On dit que deux nombres sont amiables lorsque chacun est gal la somme des diviseurs de l'autre. On en connat trois paires: 234 et 220; 17296 et 18416; 9363584 et 9437056. ARITHMOMANIE M. de W... est g de 45 ans. Il est presque continuellement renferm dans son cabinet o on le croit adonn de srieux travaux... En ralit, il passe tout son temps compter combien de fois les mmes lettres tantt l'S, tantt le T, tantt le G, tantt le Z, etc., sont rptes dans la _Gense_, dans l'_Exode_, dans le _Lvitique_, etc.; combien de pages dans telle dition commencent par un P, combien par un B, combien par un A, etc.; combien finissent par un P, combien par un G, etc. Dr TRLAT. ------ Il lui vint l'esprit l'ide de la fatalit du nombre 13 et quelquefois, avant de se coucher, il touchait 13 fois sa table de nuit ou 13 objets diffrents pars dans sa chambre. Peu peu, il lui est arriv de rpter plusieurs fois de suite ces 13 contacts et finalement il passait des nuits entires pour satisfaire cette obsession. Le nombre 13 le domine de plus en plus: il vite de mettre 13 mots dans une phrase et s'il en a crit 12, sans complter le sens, il se hte d'en ajouter au moins deux pour dpasser 13, par crainte que le treizime ne soit cause d'un malheur. Il en est de mme pour le langage, il compte de manire viter les phrases de 13 mots. Ce travail fatigant et ridicule le dtourne de toute occupation srieuse. Dr MAGNAN. RSOLUTION LECTRIQUE M. Flix Lucas se sert de l'lectricit pour rsoudre, l'aide d'un seul graphique et sans calcul, une quation numrique de degr quelconque. (Comptes-rendus de l'Acadmie les sciences du 5 mars et du 9 avril 1888 et aussi du 22 dcembre 1889.) Le moyen est fond sur la production de figures par l'lectrolyse. CSARINE ... Cette petite, servant d'grie au vieux licenci et plus _trapue en x_ que les candidats Polytechnique et Normale, cette petite est Csarine en personne... ... Vacquant lui-mme, dit-il, Vacquant (c'est le professeur de spciales) n'est que de la gnognotte auprs d'elle. ... Certains ouvrages qu'elle seule peut lire couramment... Elle est si tonnante, un gnie mathmatique. Son pre tait fort lui-mme, seulement trop imbu de Wronski[5]. Tout se rsout en somme, dans la vie, mme les actes les plus extraordinaires, par des quations bien faites. (Mot de Csarine)... De ces quations morales, je n'ai vu moi que les _inconnues_ dgages, je veux dire les faits... je ne puis ainsi que noter des _points_, en laissant de plus perspicaces le soin de retrouver les _coordonnes_ psychologiques. RICHEPIN. [Note 5: Lagrange et Laplace ont jug incomprhensible la philosophie des mathmatiques de Wronski.] PASSIONS L'_amiti_ et l'_amour_, qui agissent dans une sphre circonscrite, qui se proccupent exclusivement de la gnration prsente, d'un nombre limit d'individus, sont reprsents par le _cercle_ et l'_ellipse_, courbes finies, fermes, embrassant un espace nettement circonscrit. La _parabole_ et l'_hyperbole_, au contraire, sont des courbes qui ne se terminent pas, qui s'allongent indfiniment, comme le _familisme_ qui songe aux arrire-neveux, comme l'_ambition_ qui rve la postrit. Dans le groupe d'_amiti_ rgnent l'galit et la confusion des rangs. Dans le cercle tous les rayons sont gaux, tous partent du centre et se rflchissent au centre. L'ellipse prsente deux foyers. Tout ce qui part de l'un se rflchit l'autre, image exacte de ce qui se passe entre deux coeurs unis par l'_amour_. Si le plan de l'ellipse s'incline de plus en plus sur une des artes du cne, un des foyers s'loigne et va se perdre l'infini. Alors l'ellipse se transforme en une parabole. C'est ainsi que l'amour dgnre insensiblement et conduit au _familisme_, c'est ainsi que l'affection qui rayonnait sur un seul tre tend s'largir, en embrasser plusieurs, l'infini, dans le temps, comme les rayons de la parabole qui vont chercher le second foyer l'infini dans l'espace. Le rayon parti du foyer de l'hyperbole remonte en s'loignant de l'axe, aprs avoir t rflchi sur la courbe; il remonte d'autant plus qu'il a atteint dj, du premier jet, un point plus lev. C'est ainsi que l'_ambitieux_ tend toujours dpasser le point o il est parvenu et que ses dsirs se grossissent de tous ses succs prcdents. L'hyperbole, comme l'ellipse, a pour limite la parabole, parce que l'ambition, comme l'amour, conduit au familisme. L'ambitieux, quand il n'a plus rien esprer pour lui-mme, songe ses descendants, sa maison, son nom qu'il veut remettre aux ges futurs. H. RENAUD. IMPT CUBIQUE Un socialiste a imagin ce systme d'impt unique d'aprs lequel chaque citoyen ne payerait plus qu'une somme base sur le nombre des mtres cubes qui lui seraient ncessaires pour se loger, faire un commerce, etc. SYSTME BINAIRE Leibniz crut voir l'image de la cration dans son arithmtique binaire o il n'employait que les deux caractres zro et l'unit. Il imagina que Dieu pouvait tre reprsent par l'unit, et le nant par zro; l'tre suprme avait tir du nant tous les tres, comme l'unit avec le zro exprime les nombres dans ce systme d'arithmtique. Cette ide plut tellement Leibniz, qu'il en fit part au jsuite Grimaldi, prsident du Tribunal de mathmatiques de la Chine, dans l'esprance que cet emblme de la cration convertirait au christianisme l'empereur qui aimait particulirement les sciences. UNE CHENILLE Les naturalistes ont nomm chenille gomtre une chenille qui, en marchant, semble mesurer ou arpenter le terrain avec la longueur de son corps. LAPUTA De l nous entrmes dans l'cole de Mathmatiques dont le Matre enseignait ses disciples une mthode que les Europens auront de la peine s'imaginer. Chaque proposition, chaque dmonstration tait crite sur du pain chanter, avec une certaine encre de teinture cphalique. L'colier jeun tait oblig, aprs avoir aval ce pain chanter, de s'abstenir de boire et de manger pendant trois jours, en sorte que le pain chanter tant digr, la teinture cphalique pt monter au cerveau et y porter avec elle la proposition et sa dmonstration. SWIFT. ------ Les philosophes, disait Bacbuc Panurge, prescheurs et docteurs de vostre monde, vous paissent de belles paroles par les aureilles, ici nous ralement incorporons nos prceptions par la bouche. Pourtant je ne vous di lisez ce chapitre, entendez ceste glose: je vous di goustez ce chapitre, avalez ceste glose. Jadis un antique mangea un livre et fut clerc jusques aux dents; prsentement vous emboirez un, et serez clerc jusques au foye. Venez, ouvrez les mandibules. RABELAIS. ------ Nous ne parlerons pas de certains prparateurs au baccalaurat, dits marchands de soupe. PARLER DE CE QU'ON SAIT Voici trois citations tranges de Chateaubriand: 1 Le _trois_ est une fraction qui n'est point engendre et qui engendre toutes les autres fractions. 2 Le calcul dcimal peut convenir un peuple mercantile, mais il n'est ni beau ni commode, dans les autres rapports de la vie et dans les quations clestes. La nature l'emploie rarement, il gne l'anne et le cours du soleil; et la loi de la pesanteur ou de la gravitation, peut-tre l'unique loi de l'univers, s'accomplit par le carr et non par le quintuple des distances. 3 Ce globe la longue anne (Jupiter) qui ne marche qu' la lueur de quatre torches plissantes; cette terre en deuil (Saturne) qui, loin des rayons du jour, porte un anneau comme une veuve inconsolable... ------ Le mme Chateaubriand dit dans ses _Mmoires d'Outre-tombe_: Je fis des progrs rapides en mathmatiques o j'apportai une clart de conception qui tonnait l'abb Leprince..... J'appris par coeur mes tables de logarithmes... GOMTRES AU POUVOIR La France doit devenir un tat rpublicain et que les gomtres gouverneront, en soumettant toutes les oprations au calcul infinitsimal. FRDRIC II. ------ Le grand Frdric de Prusse n'aimait pas les mathmatiques suprieures et il a crit contre elles une longue et lourde satire. Il est amusant dans sa dernire lettre Voltaire: Euler calcula l'effort des roues pour faire monter l'eau dans un bassin d'o elle devait retomber, par des canaux, afin de jaillir _Sans-souci_. Mon moulin a t excut gomtriquement, et il n'a pas pu lever une goutte d'eau cinquante pas du bassin. Vanit des vanits! Vanit de la Gomtrie! NOMBREUSE FAMILLE Vauban, dans ses _Oisivets_, commence un petit chapitre sous ce titre: La cochonnerie ou calcul estimatif pour connatre jusqu'o peut aller la production d'une truie pendant dix annes de temps. MATHMATIQUES EN VERS .... Une convention Explique avec clart la Numration. la gauche d'un autre, un chiffre a l'avantage; Sa valeur est dcuple, ainsi le veut l'usage. Alors, quand _cinq_ se place la gauche de _huit_, Il vaut _cinquante_, plus le chiffre qui le suit. ------ La perpendiculaire se pique D'tre plus courte que l'oblique. ------ L'angle dont le sommet la courbe se rend A moiti des degrs de l'arc qu'il comprend. ------ Le carr de l'hypotnuse Est gal, si je ne m'abuse, la somme des carrs Construits sur les autres cts. ------ l'abri de l'envie, en compagnes fidles, On voit marcher de front, deux droites parallles. ------ .... Deux camps bien ordonns Rangent, en force gaux, leurs groupes enchans; Voici qu'une inconnue entre avec eux masque, Souvent multiple, en plus d'un endroit embusque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il s'agit d'une quation et de la poursuite de l'inconnue. La conclusion est un peu dure mais philosophique: .... en ce grand domaine L'impossible est possible, et le sort nous amne Tantt le positif, ou son signe oppos Ou l'incommensurable ou le sens prcis, Tantt c'est l'infini, tantt l'imaginaire. _On joue avec cela._ Chose extraordinaire, Ce qui n'existe pas est soumis nos lois! DROITE BIZARRE On ne peut pas la tracer avec la rgle; la distance de deux quelconques de ses points est nulle; elle fait un angle constant avec une nouvelle droite quelconque; elle est perpendiculaire sa propre direction, etc. (On dit que l'quation x + y [[V]-1] = 0 reprsente une droite _imaginaire_: elle jouit des proprits indiques.) On peut demander aussi de trouver sur une conique un point tel que la tangente et la normale en ce point se confondent. (C'est un point _imaginaire_ de rencontre de la courbe et d'une de ses directrices.) ------ La droite de l'infini, la circonfrence de l'infini, les deux ombilics du plan ou points circulaires l'infini possdent aussi des proprits qui semblent contradictoires. TITRE SINGULIER J'ouvre, dit le P. Gratry, le livre de Saint Augustin qui porte ce titre trange: Des dimensions de l'me. J'aperois des figures de gomtrie mles au texte... Herbart a orn sa philosophie de cercles, de carrs, de chiffres et de signes algbriques. SCANTE La justice et la misricorde de Dieu sont deux parallles qui peuvent s'unir par une scante appele le repentir. LACORDAIRE. TOILE AVALE L'toile bleue avale une autre toile trs petite et, bientt aprs, elle la rend. Voil comment les Sibriens interprtent l'clipse d'un satellite de Jupiter. Nos paysans de Vivarais dsignent sous le nom de _casserole_ la constellation de l'Ourse, cause de sa forme. PRIX DU BL On a cherch si les taches solaires produisent sur la terre des effets notables: c'est ainsi que W. Herschel essaya d'tablir un rapport entre le prix du bl et le nombre des taches. ROND ET TRIANGULAIRE Le monde, dit un prdicateur du XVIe sicle, ne saurait remplir le coeur de l'homme par la raison que le monde tant rond et le coeur triangulaire, un rond inscrit dans un triangle ne le remplit pas. Nous lisons, dans un crit moderne, qu'en affaires il faut tre rond et carr. INCOMPRHENSIBLE D'aprs Pythagore, l'me est un nombre qui se meut sur lui-mme; la vertu, un nombre carr, et la justice, une proportion gomtrique. HENRI IV Ce diable quatre qui eut le triple talent..., est n le 14 dcembre, 14 sicles, 14 dcades et 14 ans aprs Jsus-Christ. Il est mort le 14 mai. Son nom tait compos de 14 lettres (Henri de Bourbon). Il a vcu 4 fois 14 ans, 4 fois 14 jours, et 14 semaines. Il a t roi de France et de Navarre trois fois 14 ans. Il a t bless par Chtel 14 jours aprs le 14 dcembre, en l'anne 1594. Entre ce jour et celui de sa mort, il y a eu 14 ans, 14 mois et 5 fois 14 jours. Il a gagn la bataille d'Ivry le 14 mars. Le dauphin est n 14 jours aprs le 14 septembre et a t baptis le 14 aot. Henri a t assassin le 14 mai, 14 sicles et 14 olympiades aprs l'Incarnation. Le crime a eu lieu 2 fois 14 heures aprs l'entre de la reine Saint-Denis. Ravaillac a t excut 14 jours aprs la mort du roi, et dans l'anne 1610, qui est divisible par 14. FIN DU MONDE On a essay d'appliquer le calcul l'apprciation des tmoignages historiques. Un gomtre anglais, Jean Craig, persuad que, par la nature mme des faits de l'ordre politique ou moral, leur crdibilit s'affaiblit mesure qu'ils se transmettent d'une gnration l'autre, a cru prouver que certains vnements, qui remontent au commencement de notre re vulgaire, cesseront tout fait d'tre croyables l'an de cette mme re 9153 et en consquence il a indiqu cette anne-l comme l'poque assure de la fin ou de la rnovation du monde. LE SPHRIQUE Froebel, le pdagogue, a publi en 1811 son _Trait du sphrique_; on y lit: La sphre apparat comme le prototype, comme l'unit de tous les corps et de toutes les formes. Pas un angle, pas une ligne, pas un plan, pas une surface ne se montre en elle, et cependant elle a tous les points et toutes les surfaces. cette obscure gomtrie, succdent des vues sur les rapports mystrieux de la sphre et de la vie morale. Travailler consciencieusement au dveloppement de la nature sphrique d'un tre, c'est faire son ducation. Comprendra qui pourra! TESTAMENT ASTRONOMIQUE On lit dans le testament de Madame Guzman, morte Pau, en juin 1891: Un prix de 100.000 francs est lgu l'Institut de France (section des sciences) pour la personne de n'importe quel pays qui trouvera le moyen, d'ici dix annes, de communiquer avec un astre (plante ou autre) et d'en recevoir rponse. La testatrice dsigne spcialement la plante Mars, sur laquelle se portent dj l'attention et les investigations de tous les savants. ------ Voici le commentaire de M. Flammarion: Pour entrer en communication avec les habitants de Mars, il faut leur photophoner: tes-vous l? Et puis.... il faut aussi qu'ils y soient et qu'ils comprennent. Dj Mars communique avec la Terre, par l'attraction et par la lumire. Les astronomes analysent ces deux ordres de communication. Ce que l'on pourrait souhaiter maintenant et ce qui arrivera probablement quelque jour, ce serait un mode plus subtil, plus humain. L'ide n'a rien d'absurde en elle-mme, et elle est peut-tre moins hardie que celle du tlphone, du phonographe, du photophone et du cintographe. Elle a t mise, pour la premire fois, propos de la lune. Un triangle trac sur le sol lunaire, par trois lignes lumineuses, de douze quinze kilomtres chacune, serait visible d'ici, l'aide de nos tlescopes. Nous observons mme des dtails beaucoup plus petits, par exemple les singuliers dessins topographiques remarqus dans le cirque lunaire auquel on a donn le nom de Platon. Donc, un triangle, un carr, un cercle de cette dimension, construits par nous sur une vaste plaine, l'aide de points lumineux, soit pendant le jour en rflchissant la lumire solaire, soit pendant la nuit, l'aide de la lumire lectrique, seraient visibles pour les astronomes de la Lune, si ces astronomes existent, et s'ils ont des instruments d'optique quivalents aux ntres. La suite du raisonnement est des plus simples. Si nous observions sur la lune un triangle correctement construit, nous en serions quelque peu intrigus, nous croirions avoir mal vu, nous nous demanderions si le hasard des formations gologiques et slnologiques peut avoir donn naissance une figure rgulire. Sans doute finirions-nous par admettre cette possibilit exceptionnelle. Mais si, tout d'un coup, nous voyions le triangle se changer en carr, puis, quelques mois plus tard tre remplac par un cercle, alors nous admettrions logiquement qu'un effet intelligent prouve une cause intelligente, et nous penserions avec quelque raison que de telles figures rvlent, n'en pas douter, la prsence de gomtres sur ce monde voisin. De l chercher la raison du trac de pareils dessins la surface du sol lunaire, de l nous demander pourquoi et dans quel but nos frres inconnus formeraient ces figures, il n'y a qu'un pas, bien vite franchi. Serait-ce dans l'ide d'entrer en relations avec nous? L'hypothse n'est pas draisonnable. On l'met, on la discute, on la repousse comme arbitraire, on la dfend comme ingnieuse. Et pourquoi pas, aprs tout? Pourquoi les habitants de la Lune ne seraient-ils pas aussi curieux que nous, plus intelligents peut-tre, plus levs dans leurs aspirations, moins emptrs que nous dans la glu des besoins matriels? Pourquoi n'auraient-ils pas suppos que la terre peut tre habite aussi bien que leur monde, et pourquoi ces appels gomtriques n'auraient-ils pas pour but de nous demander si nous existons? D'ailleurs il n'est pas difficile d'y rpondre. On nous montre un triangle: reproduisons-le ici. On nous trace un cercle: imitons-le. Et voil une communication tablie entre le ciel et la terre, pour la premire fois depuis le commencement du monde. La gomtrie tant la mme pour les habitants de tous les mondes, deux et deux faisant quatre dans toutes les rgions de l'infini, et partout les trois angles d'un triangle tant gaux deux angles droits, les signaux ainsi changs entre la terre et la lune n'auraient mme pas l'obscurit des hiroglyphes dchiffrs par Champollion, et la communication tablie deviendrait vite rgulire et fconde. ------ On a propos de communiquer avec les habitants des plantes en traant et en illuminant sur la terre une immense figure du _carr de l'hypotnuse_. ------ M. Fvre, dans sa pice _L'toile rouge_, a tent de transporter ces ides sur le thtre. ONZE MILLE Sainte Ursule fut martyrise avec sa compagne _Undecimilla_, dont le nom a donn lieu la lgende des onze mille vierges. FANTAISIES L'GE DU CAPITAINE Sous ce nom l'on dsigne tout problme ridicule et compltement indtermin. Il parat, en effet, difficile, connaissant la vitesse d'un vaisseau, la hauteur du grand mt, la latitude et la longitude, d'en conclure l'ge du capitaine. On causait de cette nigme, lorsque tout coup, Lon Gozlan assura que le problme venait d'tre rsolu Marseille. Stupfaction de tous.--Pas possible!--C'est comme je vous l'affirme.--Contez-nous cela.--Ce fut l'occasion d'un navire qui paraissait suspect au conseil de salubrit; l'quipage fut mis en quarantaine; le capitaine supporta sa claustration pendant quelques jours; mais enfin l'impatience le gagna, et il quitta le lazaret en transgressant la consigne. Ici le narrateur s'arrta tout court, au grand tonnement de la galerie.--Eh bien?... fit quelqu'un.--H bien, dit Gozlan, le problme tait rsolu.--Comment cela? Comment cela? demandrent plusieurs voix.--C'est tout simple: le capitaine avait franchi la quarantaine. L'UNIT EST UN NOMBRE Un major de place avait indiqu l'exercice pour telle heure. Il arrive et ne voit qu'un trompette: Parlez donc, messieurs, pourquoi n'tes-vous qu'un? CHAMPFORT. ------ En arrivant Melun, Nous tions un; En arrivant Carcassonne, Nous tions personne. R. PONCHON. ------ Victor Hugo avait dj rim des nombres moins problmatiques: En partant du golfe d'Otrante, Nous tions trente; Mais en arrivant Cadix, Nous tions dix. ------ propos de cette discussion: _si l'unit est un nombre_, voir la Logique de Port-Royal, o l'opinion de Stevin est combattue. FONCTIONS TRANSCENDANTES Si je nomme un logarithme, une exponentielle, un cosinus, une diffrentielle, une intgrale, on me demandera quels sont ces tres inconnus? Vont-ils deux ou quatre pieds? Cela vole-t-il, rampe-t-il ou nage-t-il dans la mer ou dans l'eau douce? Sont-ce des tres saisissables nos sens, pesants, sonores, blancs ou noirs, chauds ou froids? Si ce sont des tres mtaphysiques, que peuvent-ils faire dans le monde matriel auquel ils sont trangers? La pense ne transporte point les montagnes et ce n'est pas avec des formules mathmatiques que la nature meut et conserve le monde. BABINET. ------ Propos ironique. AUX ENCHRES Dernirement un astronome allemand a fait annoncer dans les journaux qu'ayant dcouvert une nouvelle plante, il lui donnerait le nom de la personne qui lui offrirait la plus forte somme d'argent. Ajoutons que le savant dsirait acheter des instruments plus puissants pour son observatoire. MOITI PLUS UN Aujourd'hui le nombre est une religion. Le droit est une question d'arithmtique. La moiti plus un est persuade qu'elle est la raison et la justice, par cela seul qu'elle est la moiti plus un. PAUL LAFITTE. ------ L'arithmtique est un procd trop sec de gouvernement. ROMIEU. BOUTADES On raconte que le roi Alphonse, fatigu de cette complication de cercles et d'picycles qui figuraient dans les conceptions de Ptolme, s'cria: Si Dieu m'et consult au moment de la cration, je lui eusse donn de bons avis. On a bien tort tax d'impit cette boutade qui visait les hypothses de l'astronome grec. ARAGO. ------ Laplace n'tait pas un athe comme Lalande. Il ne faudrait pas prendre au pied de la lettre la rponse qu'il fit, dit-on, Napolon lui demandant pourquoi il n'avait pas nomm Dieu dans sa Mcanique cleste: Sire, je n'ai pas eu besoin de cette hypothse. (Voir la prface de la _Vie de Cauchy_, par Valson). NORD ET SUD Le Nord et le Sud sont les points les plus diamtralement opposs l'horizon. (_Extrait d'un dictionnaire._) ------ Voici un vers assez drle, qui date du premier empire: Et du ple glac jusqu'au ple brlant. SEMAINE DES TROIS JEUDIS Quoi qu'on en pense, il peut y avoir trois jeudis dans une mme semaine, mais pour trois personnes diffrentes. Il suffit de supposer qu'il est jeudi dans un port, le lendemain et la veille du retour de deux vaisseaux qui ont parcouru la terre, l'un d'Orient en Occident, l'autre en sens contraire, raison de trois degrs de longitude par jour. AVOCAT Les donnes des problmes algbriques sont ncessairement antrieures et suprieures l'Algbre. Pour les gomtres, mcaniciens, astronomes, physiciens et autres, ces donnes ne sauraient tre arbitraires. Pour les algbristes proprement dits, toutes les donnes qui peuvent tre mises en quation sont galement bonnes. ce titre, il en est de l'algbriste comme de l'avocat, qui est prt plaider toutes causes. J. A. LANGLOIS. ------ J'ai eu des relations avec les premiers mathmaticiens du sicle, et il me semble qu'il y avait presque chez tous un petit grain de folie. Les calculs ont beau ne prsenter aucune erreur, ils ne justifient pas les donnes imparfaites: or, les donnes ne sont assises que sur l'observation, l'exprience et le jugement. Sur une donne que l'on croit vraie et qui ne l'est pas, on fait des calculs en l'air. J. B. SAY. ------ Le raisonnement algbrique n'accuse pas toujours la fausset des prmisses. FINANCIERS Quand on sait bien les quatre rgles, on est un aigle en finances. MIRABEAU. ------ Prends-moi le bon parti. Laisse l tous les livres. Cent francs au denier cinq, combien font-ils? vingt livres. C'est bien dit. Vas, tu sais tout ce qu'il faut savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C'est ainsi qu' son fils un usurier habile Trace vers la richesse une route facile: Et souvent tel y vient qui sait pour tout secret, Cinq et quatre font neuf, tez deux: reste sept. BOILEAU. CE PAUVRE ROTHSCHILD Il fait le compte, ciel! de ses deux milliards, Cette somme en dmence, Et si le malheureux s'est tromp de deux liards, Il faut qu'il recommence. DE BANVILLE (_Occidentales._) AU BACCALAURAT --Quelle est la ligne la plus courte d'un point un autre? Le candidat, aprs un instant d'hsitation: --C'est une ligne de chemin de fer. Le professeur:--Vous oubliez la ligne tlgraphique. HUMOUR Si vous tes du nombre de ces esprits positifs qui ne se contentent que des vrits absolues, et qui ne recevraient pas une ide frappe au coin de Montaigne et de Platon sans lui faire subir l'preuve du trbuchet... Si vous faites plus de cas d'une bonne addition que d'une similitude ou mme que d'une comparaison... Eh, mon Dieu! vous n'avez qu' parler! Il faut seulement s'entendre sur un point de dpart, c'est--dire sur le calcul de Diocls de Smyrne qui reprsente l'esprit de l'homme par le nombre _mille_. Valeur en compte........................... 1000 Passons l'analyse: Soit Thodore, ou mon imagination.......... 0 Soit don Pic de Fanferluchio ou ma mmoire. 1 Soit Breloque, ou mon jugement............. 999 Je n'ai pas besoin de faire la synthse devant vous; mais vous pouvez la vrifier facilement avec votre professeur de mathmatiques, ou avec votre intendant, ou avec votre blanchisseuse. Je pose donc hardiment le total!.. 1000. CH. NODIER. DANSEUR On pense moi pour une place, mais par malheur j'y tais propre: il fallait un calculateur, ce fut un danseur qui l'obtint! BEAUMARCHAIS. VIN Diogne avait demand Platon quelques bouteilles de vin, Platon lui en envoya trois douzaines. Diogne le rencontrant le lendemain, lui dit _quand on vous demande combien font deux fois deux, au lieu de rpondre quatre, vous rpondez vingt_: en faisant semblant de le remercier, il lui reprochait la longueur de ses dialogues. CUISINE Combien de grains de sel faut-il mettre dans un oeuf? demande Argand, dans Molire.--Six, huit, dix, par les nombres pairs, rpond Diafoirus, comme dans les mdicaments par les nombres impairs. Voici, d'autre part, une fire dclaration que Hugues Le Roux met dans la bouche de nos matres queux: Mais patience! La cuisine aura son Chevreul. Un homme de gnie dmontrera que les saveurs, comme les sons, comme les couleurs sont des vibrations. Toutes les vrits mathmatiques qui rglent les combinaisons musicales et lumineuses seront appliques aux saveurs. On verra des lves de l'cole normale crire au tableau des formules de sauces inconnues, que nous autres nous chercherons dans notre creuset, dans la casserole. Le sicle ne sera pas tourn que l'on ne pourra plus tre un grand cuisinier si l'on n'est un grand mathmaticien. Avant dix ans, notre corps se recrutera parmi les anciens lves de l'cole polytechnique. ------ Charles Dupin indique srieusement quelque part le profit que les cuisiniers peuvent retirer des mathmatiques. IMPERTINENCE On demandait Galile quoi servait la Gomtrie. _ peser, mesurer et compter_, rpondit-il, peser les ignorants, mesurer les sots et compter les uns et les autres. PREMIER VENU Un solliciteur demande un emploi et cherche se faire valoir: --Croyez bien, dit-il, que je ne suis pas le premier venu... --En effet, vous tes le douzime depuis ce matin... PROBLMES CURIEUX ET HUMORISTIQUES Nos anctres gotaient les _rcrations mathmatiques_ et en particulier les problmes plaisants et dlectables (sic) de Bachet de Mziriac. Nous proposons ici quelques questions de ce genre, en avertissant qu'un nonc qui parat facile conduit parfois une quation suprieure. ARITHMTIQUE Combien faut-il de chiffres pour crire les 10, les 100, les 1000, les 10000 premiers nombres, etc.? Si l'on crit bout bout les nombres successifs, quel sera le chiffre occupant dans la suite un rang donn?--On trouvera, par exemple, que le 75872e chiffre est 4. tendons la question: on a crit par ordre tous les nombres de 1 99999. Combien a-t-on crit de chiffres en tout? Quel est le 40000e chiffre crit? quel nombre appartient-il? Enfin, combien y a-t-il de 0, de 1, de 2..... et de 9 dans la suite considre? Vaincus par les Romains, quarante juifs et l'historien Josphe se rfugirent dans une caverne, bien dcids se tuer plutt que de se rendre. Ils se mirent sur un seul rang, se comptrent trois par trois, et turent chaque fois le troisime. On demande quelle place choisit Josphe pour chapper au massacre? Josphe se plaa au 16e ou au 31e rang et il resta finalement avec un seul homme qui devait se laisser tuer son tour, mais qui prfra se rendre l'ennemi. Un navire est menac de sombrer. Il faut sacrifier la moiti de l'quipage. Il y a 32 marins, 16 blancs et 16 noirs. Le capitaine les fait ranger sur une seule ligne pour les _dcimer_. Dans quel ordre, pour sauver les 16 blancs? Parmi les nombres 1; 11; 111; 1111... uniquement forms avec le chiffre 1, quels sont ceux qui sont _composs_, c'est--dire qui ne sont pas premiers? Rendre compte de la particularit que prsentent les produits de 12345679 par 9 et chacun des multiples de 9 jusqu' 81. Combien faut-il de temps pour compter jusqu' un trillion, en supposant qu'on compte 200 nombres la minute? _Rponse:_ 9512 ans. 3 ouvriers mettent 5 heures pour aller de Paris Versailles. Combien d'heures mettront 7 ouvriers pour faire le mme voyage? Le 26 mai 1876, l'ge de Louis tait les 55/71 de l'ge de son frre Jean. Le 26 juillet suivant, il n'en tait plus que les 7/9. Trouver la date de la naissance de chacun d'eux. Faire crire, par exemple, 7 nombres de 5 chiffres, puis en crire soi-mme, immdiatement, 7 autres de faon que la somme des 14 nombres gale (7 99999 ou) 499993. Expliquer pourquoi tous les produits de 37 par 3 et ses multiples sont chacun forms de plusieurs fois le mme chiffre.--De mme, pour les produits de 12345679 par 9 et ses puissances. Une fontaine tait forme d'un lion en bronze, portant cette inscription: Je puis jeter de l'eau par les yeux, par la gueule et par le pied droit. Si j'ouvre l'oeil droit, je remplirai mon bassin en deux jours et, si j'ouvre le gauche, en trois jours; avec mon pied il me faudrait quatre jours et avec ma gueule six heures. Dites combien il me faudrait de temps pour remplir le bassin en jetant de l'eau la fois par les yeux, par la gueule et par le pied. Deviner la date de la naissance d'une personne. Faites crire bout bout les nombres obtenus en ajoutant respectivement 30, 60 et 50 au quantime, au numro du mois et l'ge, puis retranchez 306050 du nombre obtenu, il suffit ensuite de lire le reste. Exemple: 18 mars 1842, alors 18 + 30 = 48, puis mars tant le 3e mois, 3 + 60 = 63 et enfin puisque, en 1890, l'ge est 48, 48 + 50 = 98; on crit 486398 dont on retranche 306050, il reste 18348, soit le 18 du 3e mois et la personne est ge de 48 ans. Trouver la racine carre de 2/3 1/3 prs, de 3/4 1/4 prs, de 5/6 1/6 prs, etc., en gnral de _n - 1/n_ _1/n_.--Mme question pour la racine cubique, la racine quatrime, etc. Une femme doit partager un hritage de 350000 fr. avec son enfant natre: si elle a un fils, elle ne recevra que la moiti de la part de ce fils, mais si elle a une fille elle prendra au contraire le double de la part de sa fille. Il advient que la femme a deux jumeaux, un fils et une fille. Comment rpartira-t-on l'hritage? _Rponse._-- la mre 100 000 fr., au fils 200 000 fr., la fille 50 000 fr. Montrer que la diffrence des deux escomptes gale l'escompte en dehors de l'escompte en dedans et qu'elle gale aussi l'escompte en dedans de l'escompte en dehors. On appelait _rgle d'or_ notre vulgaire _rgle de trois_, qui est un problme et non une rgle, et o il s'agit gnralement de plus de trois nombres. Voir dans Taine (_De l'Intelligence_, t. 1) la philosophie de la rgle de trois. J'ai un jardin enclos de haies, et on me vole mes fruits; je me dcide l'entourer d'un mur, je prends ce que je trouve d'ouvriers dans le village, quatre par exemple et je vois au bout d'un jour qu'ils m'ont fait ensemble seulement douze mtres. J'envoie chercher six autres ouvriers au village voisin... Le _fameux_ 45 peut tre divis en 4 parties telles qu'on obtienne le mme rsultat, en ajoutant 2 la premire, en retranchant 2 la seconde, en multipliant la 3e par 2 et enfin en divisant la 4e par 2. (Question analogue pour 75 et 4.) En second lieu, on a: 987654321 45 123456789 45 --------- 864197532 45 Trouver _m_ nombres entiers conscutifs dont aucun ne soit premier. Former N = 2 3 4 5 6... _m_ (_m_ + 1), puis prendre N + 2, N + 3, N + 4,... N + _m_ + 1. D'un nombre de trois chiffres, on retranche le nombre renvers et on donne le nombre des units de la diffrence. Deviner les deux autres chiffres. _Rponse:_ Dans la diffrence, le chiffre des dizaines est toujours 9 et la somme des deux autres chiffres est toujours 9. Combien y avait-il de pches dans un panier que j'ai distribu mes trois enfants? Le premier a reu la moiti du tout plus la moiti d'une pche; le second la moiti du reste plus la moiti d'une pche; enfin le 3e la moiti du reste plus la moiti d'une pche. Il m'est alors rest quatre pches et je n'ai eu couper aucune pche. _Rponse:_ 39.--Autres solutions, lorsqu'on n'indique plus le nombre des pches restantes: 7; 15; 23; 34; 47... Gnralisation pour _n_ enfants. Les enfants _montrent_ que 6 et 7 font 9; que 6 et 3 font 8; que 4 et 2 font 1, etc. Pour cela, ils tracent autant de petits traits verticaux que l'indique le premier des trois nombres et ils les joignent convenablement par autant de traits horizontaux ou inclins que l'indique le second nombre, de faon crire, en lettres capitales, le troisime nombre. Sur le bord d'une rivire se trouvent trois rois et trois valets. Ces derniers ont projet de tuer les rois. Il n'y a qu'un bateau si petit que deux personnes seules peuvent y tenir. Il s'agit d'oprer l'embarquement de telle sorte que les valets ne soient jamais sur une rive en nombre suprieur aux matres. Trouver un nombre de trois chiffres sachant qu'il est divisible par 5 et que le quotient est le nombre form par les deux derniers chiffres du nombre demand. Les seules solutions sont 125, 250 et 375. Trouver deux nombres sachant que l'un d'eux surpasse l'autre de 13-1/2 et le contient 13 fois 1/2. Vous demandez mon ge et mon prnom? Mon ge est gal son tiers plus le produit de son neuvime par les deux tiers de son septime. Quant mon prnom, vous le trouverez dans le calendrier si la moiti du nombre des jours couls depuis le commencement de l'anne vous ajoutez le tiers des jours courir du jour de ma fte jusqu' la fin de l'anne ordinaire. Trouver un nombre de 4 chiffres gal au carr du nombre form par ses deux derniers chiffres. _Rponse:_ 5776. De combien de marches se compose un escalier quand en le montant de deux en deux, il en reste une; de trois en trois, il en reste deux; de quatre en quatre, il en reste trois; de cinq en cinq, il en reste quatre; de six en six, il en reste cinq; et de sept en sept il n'en reste pas. Trouver un nombre gal au cube de la somme de ses chiffres. _Rponse:_ 6859; 4913; 1; 512; 17576; 19683. Dans son Monte-Christo, Alexandre Dumas demande d'tablir une addition compose de tous les neuf premiers chiffres sans les rpter et sans employer le zro, de faon que le total soit cent. _Rponse:_ 74; 25; 3/6; 9/18. Les nombres 49; 4 [48/] 9; 44 [48/] 89; 444 [48/] 889 etc., obtenus en insrant 48 au milieu du prcdent sont des carrs parfaits. Trouver un nombre entier _x_ tel que la somme des _x_ premiers nombres entiers se compose de 3 chiffres gaux. _Rponse:_ seulement _x = 36_ et alors la somme des 36 premiers nombres est 666. Un nombre quelconque tant donn, si on le rcrit en plaant le 1er chiffre sous le 4e et si l'on ajoute, on a le nombre primitif multipli par 7 11 13. Dans un compte, on trouve l'article suivant: _{*}1 2^{f},_{*}8 ci............ _{*}98^{f},38. Les astrisques indiquent des chiffres effacs ou illisibles qu'il s'agit de rtablir. Trois frres ont 30 ans, 20 ans et 6 ans; dans combien d'annes la somme des ges des deux plus jeunes galera-t-elle l'ge de l'an? Combien faut-il de chiffres pour paginer un livre de 1645 pages? Il en faut 5473. Quel est le nombre de pages d'un dictionnaire dont la pagination a ncessit 15321 chiffres? 4107 pages. On demande le nombre de 3 chiffres dont le double reprsente le nombre des chiffres de tous les nombres non suprieurs au nombre cherch. _Rponse:_ 108. Trouver deux nombres entiers tels que leur somme gale leur produit.--Mme question pour trois nombres. _Rponses:_ 1 2 et 2; 2 1, 2 et 3. Trouver un nombre entier de deux chiffres qui soit gal au double produit de ses chiffres. _Rponse:_ 36. Une brebis, un agneau et deux lapins mangeraient l'herbe d'un enclos, la premire en 30 jours, le 2e en 45 jours et les deux derniers en 90 jours, si cette herbe ne poussait pas; mais l'herbe se renouvellerait en 60 jours. Dans combien de jours, l'herbe de l'enclos sera-t-elle puise? Quels sont les nombres gaux la somme des chiffres de leurs cubes? Ce sont 1, 8, 17, 18, 26 et 27. Un escargot grimpant le long d'un poteau de 12 mtres fait 3 mtres le jour et redescend 2 mtres la nuit. Au bout de combien de jours et de nuits aura-t-il atteint le sommet du poteau? Une ficelle a 30m de long; chaque jour, d'un coup de ciseau, on en coupe un mtre. Dans combien de jours aura-t-on fini? Un arabe laisse ses trois fils 17 chameaux. Le premier doit en avoir la moiti, le second le tiers et le troisime le neuvime. Comment rpartir les 17 chameaux? Le cadi appel arrive mont sur son chameau, il y a alors 18 chameaux, le premier des frres en reoit 9, le deuxime 6 et le troisime 2. Le cadi remonte sur son propre chameau et rentre sous sa tente. Y a-t-il sur le globe deux hommes ayant le mme nombre de cheveux? Soit 100 000, par exemple, le nombre de cheveux maximum sur une seule tte, alors il n'y a pas plus de 100 000 individus ayant un nombre de cheveux diffrent, or la terre compte plus de 100 000 habitants... Question propose par Nicole la duchesse de Longueville.--Auguste Comte en parle aussi. Trouver 6 fois 13 en 12. crire les 12 premiers nombres, prendre les produits des extrmes et ceux des nombres qui en sont quidistants. Les trois Grces, portant chacune le mme nombre de couronnes, rencontrent les neuf Muses et leur distribuent des couronnes de faon que chaque Grce et chaque Muse en ait autant l'une que l'autre. On demande combien chaque Grce portait d'abord de couronnes? Extrait de l'_Anthologie grecque_. Sur le bord d'une rivire se trouvent un loup, une chvre et un chou; il n'y a qu'un bateau si petit, que le batelier seul et l'un d'eux peuvent y tenir. Il s'agit de les passer tous les trois, de telle sorte que le loup ne mange pas la chvre, ni la chvre le chou en l'absence du batelier. Ce problme de Bachet a peut-tre donn lieu la locution: Mnager la chvre et le chou, moins qu'il n'ait t inspir par elle. Trois pitons, marchant ensemble, ont fait 24 lieues; combien chacun a-t-il fait de lieues? Nous empruntons aux _Rcrations scientifiques_ de M. Lagarrigue, le problme suivant: Trois femmes vont au march pour vendre des oranges; la 1re en a 50, la 2e 30 et la 3e 10. Comment pourront-elles faire pour vendre leurs oranges au mme prix et pour rapporter cependant chacune la mme somme? _Rponse._--Les femmes vendent leurs moins belles oranges 7 pour 5 centimes autant de fois que possible, puis le reste 15 centimes pice. Un cuisinier donne la moiti de ses oeufs et la moiti d'un oeuf, son 1er aide; au 2e aide, la moiti du reste des oeufs et la moiti d'un oeuf; au 3e aide, encore la moiti du reste des oeufs et la moiti d'un oeuf. Combien le cuisinier avait-il d'oeufs et comment a-t-il pu procder, pour ne pas casser d'oeufs? _Rponse._--39 oeufs, par exemple, et il en reste ensuite 4 au cuisinier. GOMTRIE Diviser un triangle en deux parties qui aient la fois mme primtre et mme surface. Construire un triangle, un pentagone, et plus gnralement un polygone d'un nombre impair de cts, connaissant les milieux de tous les cts. Quelle est la graduation de l'arc qui a la mme longueur que le rayon? Tout triangle dont deux des bissectrices sont gales est isoscle. Connaissant le rayon d'un rouleau de papier peint et le nombre des feuilles, dterminer la longueur du rouleau. Dcrire une route circulaire quidistante de quatre points. tant donn un point sur une sphre impntrable, construire le point diamtralement oppos, en se servant du compas sphrique. Trouver avec le compas seulement les points de division d'une circonfrence en quatre parties gales.--De mme, en cinq, huit, douze, etc. parties gales. On peut rsoudre des problmes avec le compas seul; on peut aussi en rsoudre avec la rgle seule. On a ainsi la _gomtrie du compas_ et la _gomtrie de la rgle_. Inscrire dans un cercle un polygone rgulier de dix-sept cts. _Gauss_, dans ses _Disquisitiones arithmetic_, dmontre qu'on peut construire, avec la rgle et le compas, le ct de tout polygone rgulier inscrit dont le nombre des cts est premier de la forme _2^{m} + 1_. Il y a de curieuses relations entre les quations binomes et l'inscription des polygones rguliers. Le triangle de Pythagore a pour cts les nombres conscutifs 3, 4 et 5 et, en multipliant ces nombres par un nombre entier quelconque, on obtient une infinit de triangles rectangles, cts entiers. Ce triangle simple permet d'lever, l'aide de trois cordeaux, la perpendiculaire en un point d'une droite. On dduit du triangle de Pythagore un autre triangle rectangle cts entiers, qui ne lui est pas semblable, en prenant pour cts de l'angle droit la diffrence des carrs des deux cts primitifs et le double produit de ces mmes cts. On trouve 7, 24 et 25. Si les cts de trois polygones semblables sont proportionnels 3, 4 et 5, la surface du plus grand vaut la somme des surfaces des deux autres. Proposition analogue pour quatre polydres semblables dont les cts sont proportionnels 3, 4, 5 et 6. On considre alors les volumes. Deux villages occupent des positions connues des deux cts d'un ruisseau, tablir un pont qui soit quidistant de chacun d'eux. tant donn un triangle isoscle, construire un second triangle isoscle de mme surface et de mme primtre que le premier. Un gourmet paye un franc une botte d'asperges, entoure d'une ficelle; le lendemain, il demande pour deux francs une botte des mmes asperges, qui soit entoure d'une ficelle double. Est-ce quitable? Couper une pyramide quadrangulaire quelconque suivant un paralllogramme. Couper un cube suivant un hexagone rgulier. Couper un prisme suivant un triangle quilatral. On propose de recouvrir entirement une portion de plan avec un carrelage form de polygones rguliers de mme espce, ou d'espces diffrentes. Montrer qu'on peut excuter un pavage avec des triangles quilatraux, ou avec des carrs, ou avec des hexagones rguliers, mais qu'on ne le peut avec des pentagones rguliers ou des polygones rguliers de plus de six cts. M. X... laisse sa mort un pr carr dont on doit donner le quart aux pauvres, puis partager le reste entre les quatre enfants du dfunt, en quatre parties de mme surface et de mme forme. Trouver un triangle rectangle dont les cts soient des nombres entiers et dont l'aire soit exprime par le mme nombre que le contour. _Rponses:_ 5, 12 et 13; 6, 8 et 10. Dcrire une circonfrence tangente trois circonfrences donnes. Dcrire trois circonfrences telles que chacune touche les deux autres et soit tangente un ct d'un triangle donn. MALFATTI. Construire un triangle connaissant ses trois mdianes ou ses trois hauteurs. Tracer sur le terrain l'_ovale de jardinier_ avec trois piquets et un cordeau. Inscrire un carr un triangle.--Sur lequel ct s'appuie le plus grand carr? Dcomposer un pentagone rgulier en sept parties, de faon qu'assembles convenablement, elles forment un carr. Trouver la surface d'une figure qu'il est impossible de dcomposer en figures gomtriques calculables.--Mme question pour le volume. Trouver la distance des centres de deux sphres donnes, en ne se servant que de la rgle et du compas. 1 Mener la bissectrice d'un angle dont on ne peut pas prolonger les cts jusqu' leur point de rencontre. 2 Mener par un point donn une droite qui irait passer par le sommet de l'angle prcdent. 3 Distance d'un point un point inaccessible. 4 Distance de deux points inaccessibles. 5 Hauteur d'une tour dont le pied est accessible. 6 Hauteur d'une tour ou d'une montagne dont le pied est inaccessible. 7 Rayon d'un bassin inaccessible. 8 Prolonger une droite au-del d'un obstacle. 9 Dterminer la largeur d'une rivire qu'on ne peut traverser. 10 Reconnatre si quatre points sont dans un mme plan, puis s'ils sont sur une mme circonfrence. Au grand soleil, je viens de mettre La lance de mon tendard; Sa longueur vaut trois fois le mtre; Son ombre a cinq mtres un quart. Vois aussi la tour de l'glise: Par son nombre elle marque cent. Calcule la hauteur prcise Du vieux clocher retentissant. VITREY. Dcomposer un carr en portions telles, qu'en les runissant convenablement, on forme: 1 huit carrs gaux, 2 cinq carrs gaux, 3 trois carrs gaux. Un jour d't, une pie aperoit de l'eau dans un trou conique de 3 pouces de diamtre au fond. Elle accourt et constate que l'eau a une surface de 6 pouces de diamtre et s'lve une hauteur de 2 pouces. La pie ne pourrait atteindre l'eau que si sa surface avait 8 pouces de diamtre. Elle vole vers un trsor qu'elle a dcouvert, combien faudra-t-il qu'elle y prenne de pices de monnaie d'une ligne d'paisseur et de 16 pouces de diamtre pour qu'en les portant dans l'eau elle puisse boire son aise? Cette pie n'tait pas curieuse du systme mtrique. Un tang a la forme d'un carr; au sommet de chacun des angles est plant un arbre extrieur. Donner l'tang une surface double sans changer sa forme et sans dplacer les arbres qui doivent toujours rester en dehors de l'tang. Faire un dodcagone quilatral et rectangulaire. (Il est concave: c'est la croix de Genve.) Au milieu d'une pice d'eau carre de 10 pieds de longueur et de largeur pousse un roseau qui s'lve d'un pied au-dessus de l'eau. En le tirant vers le milieu d'un ct, il atteint juste le bord. Quelle est la profondeur de l'eau? La rponse ce trs ancien problme chinois est 12 pieds. Partager un cercle en un nombre donn quelconque de parties ayant toutes le mme primtre et la mme surface. tant donns deux sommets d'un carr, dterminer les deux autres l'aide du compas seul. ALGBRE Passant, sous ce tombeau repose Diophante, Et quelques vers tracs par une main savante Vont te faire connatre quel ge il est mort; Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixime marqua le temps de son enfance; Le douzime fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie une encore s'coula, Puis, s'tant mari, sa femme lui donna Cinq ans aprs un fils, qui, du destin svre, Reut de jours, hlas! deux fois moins que son pre. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survcut: Dis, si tu sais compter, quel ge il mourut. SOLUTION Reprsente par _x_ le nombre en question Et, sans rien oublier, pose une quation O dans le premier membre on trouve le sixime, Puis le douzime d'_x_, augments du septime. Ajoutes-y neuf ans: le tout galera La moiti d'_x_. Transpose, ajoute... et ctera. Tu verras aisment, sans qu'on puisse en rabattre, Que l'ge du bonhomme est bien quatre-vingt-quatre. Un mulet et un ne portent des charges de quelques quintaux. L'ne se plaint de la sienne et dit au mulet: il ne me manque que de porter encore un quintal de ta charge pour que la mienne soit le double de la tienne. Le mulet rpond: et moi, si je prends un quintal de ta charge, la mienne sera triple de la tienne. On demande combien de quintaux ils portent chacun. EULER. En supposant qu'il faille 24 clous, pour ferrer un cheval, et que le marchal prenne un centime pour le 1er clou, 2 centimes pour le 2e, 4 centimes pour le 3e, etc., en doublant toujours. combien reviendront le 24e clou et tous les clous ensemble? _Rponse:_ 83.886 fr. 08 et 167.772 fr. 15. Quelqu'un a un vase de douze litres plein de vin; il veut faire un cadeau de six litres ou de la moiti, mais il n'a pour mesurer les six litres que deux vases, l'un de huit litres, l'autre de cinq. Comment s'y prendre pour mettre les six litres dans le vase de huit? Un gentilhomme fait faire deux habits, l'un bleu et l'autre carlate, mais il n'en fait garnir qu'un en or. Le bleu vaut 84 fr., sans le galon. Si l'on pose le galon sur le bleu, son prix est double de celui de l'autre. Si, au contraire, le galon est mis sur l'habit carlate, le prix de celui-ci sera triple de celui du bleu. Calculer sparment le prix de l'habit carlate et le prix du galon. Il y a actuellement prs d'un milliard trois cents millions d'hommes et l'augmentation annuelle de la population est d'environ 1/200. Combien y a-t-il d'annes que vivaient Adam et ve? _Rponse:_ 4.100 ans. Bacchus, ayant vu Silne Auprs de sa cuve endormi, Se mit boire sans gne Au dpens de son ami. Ce jeu dura pendant le triple du cinquime Du temps qu' boire seul Silne eut employ; Il s'veille bientt, et son chagrin extrme Dans le reste du vin est aussitt noy. S'il et bu prs de Bacchus mme, Ils auraient, suivant le problme, Achev six heures plus tt; Alors Bacchus et bu, pour son cot, Deux tiers de ce qu' l'autre il laisse. Ce qui maintenant m'intresse, Est de savoir exactement, Le temps qu' chaque drle il faut sparment Pour vider la cuve entire, Sans le secours de son digne confrre. Voici la rponse, par un lve du lyce Charlemagne: Dans cette occasion Silne eut tout l'honneur. En quinze heures, Bacchus acheva la besogne; Il n'en fallut que dix au digne prcepteur: J'en conclus qu'il tait de moiti plus ivrogne! Un matre promet son valet 360 fr. par an et une livre; il le renvoie au bout de 10 mois et en lui donnant 290 fr. et la livre. Combien valait cette livre? Combien doit-on un maon qui s'tait engag creuser un puits de 20 mtres de profondeur et qui tombe malade aprs avoir creus le dixime mtre? _Rponse:_ 125 francs, si l'on suppose qu'on paye cinq francs pour creuser une profondeur d'un mtre et pour emporter la terre. Construire avec un carton carr, la bote de capacit maximum.--Cas o le carton est rectangulaire. Construire avec une toile carre la tente rgulire carre de capacit maximum. quelle distance du pied de la colonne Vendme, un vieux soldat doit-il se placer pour voir son Empereur sous le plus grand angle possible? Une dame, ayant laiss tomber un bijou dans le lac de Genve, promet 100 fr. aux plongeurs qui le lui rapporteront. Trois socits de bateliers se prsentent, l'une de Genve, la 2e de Suisse et la 3e de Savoie. Les bateliers de la socit qui fera la dcouverte recevront 5 fr. par tte et le reste sera partag galement entre les autres. Si les Genevois russissent, les autres auront 2^{f}(1/4); si ce sont les Suisses, les autres auront 1^{f}(2/3); enfin si ce sont les Savoisiens, les autres auront 1 fr. par tte. On demande de combien de bateliers se compose chaque socit. Deux horloges A et B sonnent l'heure en mme temps; A avance de 3 secondes sur B. Les coups de l'horloge A se succdent 5 secondes d'intervalle, ceux de B 4 secondes, d'ailleurs lorsque l'intervalle qui spare deux coups ne surpasse pas une seconde, l'oreille ne peroit qu'un son. On a entendu 14 coups; quelle heure est-il? _Rponse:_ 10 heures. Comment deviner un nombre pens? 1 Du carr du nombre immdiatement suprieur, faites retrancher le carr du nombre; on vous dit la diffrence, vous retrancherez un, puis vous prenez la moiti. 2 Vous pouvez aussi faire multiplier le nombre immdiatement suprieur par le nombre immdiatement infrieur; on vous dit le produit, vous ajoutez un, puis vous prenez la racine carre. 3 Autrement: faites tripler le nombre pens, retranchez ensuite un, triplez le nouveau rsultat et ajoutez ensuite le nombre pens; demandez ce qu'on a ainsi obtenu, ajoutez 3 au rsultat et prenez les dizaines du nombre obtenu. 4 On peut encore faire tripler le nombre, prendre la moiti du triple, tripler cette moiti et enfin prendre le neuvime du rsultat: en doublant ce neuvime, on aura le nombre primitif. Dans une cage de lapins et de faisans, il y a en tout 35 ttes et 94 pattes. Combien y a-t-il d'animaux de chaque espce? Lorsqu'un ouvrier travaille tous les jours, mme le lundi, il conomise 5 francs par semaine; mais quand il ne travaille pas le lundi, il se met en retard de 3 fr. Au bout de 12 semaines il a pargn 36 fr.; combien a-t-il eu de bonnes semaines? Combien un piton fait-il de kilomtres l'heure, sachant qu'ayant fait 24 kilomtres, s'tant repos une heure et ayant fait ensuite 15 kilomtres en marchant deux fois moins vite, son voyage a dur 14 heures et demie? Archimde, voulant connatre la composition en or et en argent de la couronne du roi Hiron, constata qu'elle pesait 20 livres dans l'air et qu'elle perdait une livre 1/4, lorsqu'on la pesait dans l'eau. Les densits de l'argent et de l'or sont 10,5 et 19. Quelle tait la composition de la couronne? (On sait qu'un corps plong dans un liquide perd une partie de son poids gale celui du liquide qu'il dplace.) C'est Vitruve qui nous a fait connatre l'exprience d'Archimde. Deux localits A et B tant distantes de 225 kilomtres, le quintal de charbon cote 3 fr. 75 en A et 4 fr. 25 en B et le transport 0 fr. 08 par tonne et par kilomtre. On demande le point entre A et B o le charbon revient au mme prix, qu'on le fasse venir de A ou de B.--Montrer que c'est en ce point que le charbon revient le plus cher. On vous nomme un nombre, faites crire la suite le nombre renvers et diviser le nombre total successivement par 7, par 11 et par 13. Deviner le dernier quotient. Un vieillard, fin spculateur, qui a ses trente-deux dents, fait le march suivant: les sommes qu'il touchera pour chaque _dent extraite_ de sa bouche seront en progression gomtrique de premier terme et de raison 2. Mais pour chaque dent _non extraite_ de la mme bouche, les sommes payer au dentiste seront en progression gomtrique de premier terme et de raison 3. Contrairement ses prvisions, le vieillard se trouve mal aprs l'extraction de la dix-neuvime dent et renonce continuer. Calculez: 1 la somme qui et t gagne si l'extraction des trente-deux dents avait t complte; 2 la somme payer au dentiste par suite des treize dents non arraches. (Ce problme de dentiste est baroque.) 18 boeufs ont mang en 2 jours l'herbe contenue dans 55 ares de terrain, plus l'herbe qui y a pouss pendant ces 5 jours.--15 boeufs ont mang en 8 jours l'herbe contenue dans 70 ares de terrain, plus l'herbe qui y a pouss pendant ces 8 jours.--Combien faudra-t-il de boeufs pour manger en 20 jours l'herbe contenue dans 385 ares de pr, plus l'herbe qui y pousserait pendant ces 20 jours? _Rponse:_ 39 boeufs. NEWTON. Un banquier qui fait pour 10 millions d'affaires par an, veut savoir ce qu'il gagne renouveler le placement de ses capitaux 2 fois, 3 fois, 4 fois, etc., par an et enfin en les replaant _ chaque instant_. (Les intrts se composent 6%.) _Rponse:_ Au lieu de 10600000 fr., le banquier a au bout de l'anne 10612080 fr., etc., etc., et enfin 10618365 fr. Trouver entre 1000 et 2000 deux nombres conscutifs dont la diffrence des cubes soit un carr? M. L. Thomas trouve 1455 et 1456. Un marchand de bestiaux achte 40 moutons 32 fr. pice; il en perd un certain nombre et revend les autres en augmentant par tte le prix d'achat d'autant de francs qu'il a perdu de moutons. Il gagne ainsi 15 fr. sur son march. Combien avait-il perdu de moutons? Mme question, en supposant que le marchand ne gagne ni ne perd sur son march. Mme question encore, en supposant que le marchand perd 20 fr. sur son march. Un voyageur, d'une taille de 1m,80, s'avance vers un phare allum; au dbut son ombre est de 3m et, lorsqu'il a avanc de 100 mtres, son ombre est de 2m,20; quelle distance est-il du phare dans sa seconde position et quelle est la hauteur du phare?--Mme question lorsqu'on ne donne pas la taille de l'homme et qu'on ne demande pas la hauteur du phare. Trouver l'ge, en 1892, d'une personne, sachant qu'il est gal la somme des chiffres de l'anne de la naissance. _Rponse:_ 19 ans. Une montre trois aiguilles marque deux heures; quelle heure l'aiguille des secondes sera-t-elle bissectrice de l'angle des deux autres?--Les pointes des trois aiguilles peuvent-elles former un triangle quilatral? D'aprs l'article 757 du Code civil, le droit de l'enfant naturel est d'un tiers de la portion hrditaire qu'il aurait eue s'il et t lgitime. Partager en consquence la succession d'une personne qui laisse _l_ enfants lgitimes et _n_ enfants naturels. _Rponse._--En prenant l'hritage pour unit, M. Catalan trouve pour la part d'un enfant lgitime: (1/_l_)-(_n_/3_l_(_l_+1))+(_n_(_n_+1)/3^{2}_l_(_l_+1)(_l_+2))-... (_n_(_n_-1)...3.2.1/3^{_n_}_l_(_l_+1)...(_l_+_n_)_) Un renard poursuivi par un lvrier a 60 sauts d'avance; le renard fait 9 sauts pendant que le lvrier en fait 6, mais trois sauts du lvrier en valent 7 du renard. Aprs combien de sauts le lvrier atteindra-t-il le renard? Un lvrier vient d'atteindre un livre qui avait 77 sauts d'avance. On sait que 12 sauts du lvrier en valent 17 du livre et que pendant que le lvrier aurait fait autant de sauts qu'en a fait le livre, celui-ci en aurait fait 216 de plus. Combien le livre avait-il fait de sauts avant d'tre atteint? Un pre a 49 ans et son fils en a 10. Dans combien d'annes l'ge du pre sera-t-il le quadruple de celui du fils? quel prix un bouquiniste avait-il achet un vieux livre, sachant que, l'ayant revendu 171 fr., il a gagn autant pour cent que le livre lui avait cot? Deux bureaux de bienfaisance ont distribu chacun 1200 francs des pauvres; le second en a secouru 40 de plus que le premier, mais il a donn 5 francs de moins chacun. Combien chaque bureau a-t-il secouru de pauvres? Quand les deux orifices sont ouverts, un rservoir est vid en 15 heures; le petit tant seul ouvert, met 16 heures de plus que le grand pour vider le bassin. Combien de temps chaque orifice met-il seul pour vider le bassin? Le roi des Perses ayant demand Sessa, l'inventeur du jeu des checs, quelle rcompense il dsirait, Sessa rpondit qu'il dsirait un grain de bl pour la premire case, deux pour la seconde, quatre pour la troisime, huit pour la quatrime et ainsi de suite, en doublant toujours jusqu' la soixante-quatrime case. Le roi sourit; or, en faisant le calcul, on trouve 2^{64}-1 = 18.446.744.073.709.551.615 grains de bl, huit fois plus que la terre ne produirait en un an, si toute sa surface tait ensemence en bl. Un tonneau contient cinquante litres de vin pur; on en retire deux litres qu'on remplace par de l'eau; du nouveau vin on retire encore deux litres qu'on remplace par de l'eau; on agit de mme une troisime fois, on demande la composition en vin et en eau du mlange final. Combien a-t-on eu de mtres d'toffe pour 180 fr.; sachant que si, pour ce prix on avait eu 2 mtres de plus, chaque mtre aurait cot 3 francs de moins? EULER. Combien une horloge, sonnant les heures, les quarts, les demies, les trois quarts, frappe-t-elle de coups pendant le tour du cadran? Dterminer sur la droite qui joint deux lumires le point galement clair. CLAIRAUT. Trouver un triangle ayant pour cts trois nombres entiers conscutifs et dont le plus grand angle soit double du plus petit. Un arpenteur, aprs avoir mesur un terrain rectangulaire, en a oubli les dimensions, mais il sait que leur somme est 650 mtres et que la superficie du terrain est de 10 hectares 46 ares 45 centiares. Calculer les deux dimensions du champ. Des singes s'amusaient: de la troupe bruyante Un huitime au carr gambadait dans le bois; Douze criaient tous la fois Au haut de la colline verdoyante. Combien taient-ils au total? D'un essaim de mouches miel Prends la moiti, puis la racine; Dans un champ de jasmin, cette troupe butine. Huit neuvimes du tout voltigent dans le ciel. Une abeille solitaire Entend, dans un lotus, son mari bourdonner: Attir par le miel, pendant la nuit dernire, Il s'tait fait emprisonner. De combien est l'essaim, le saurais-tu, ma chre? Ce problme et le prcdent sont traduits par M. L. Rodet du Lilawti, recueil mathmatique en vers que l'hindou Bhscara, vivant au XIIe sicle, ddia sa fille. Trouver les rayons d'un cylindre et d'un cne, de mme hauteur connue, sachant qu'ils sont quivalents en volume et en surface. Le prix du diamant tant proportionnel au carr de son poids, un diamant cass en deux morceaux quelconques perd de sa valeur; dans quel cas la dprciation est-elle la plus grande possible? Quelle annuit faut-il payer pour rduire de moiti, au bout d'un temps donn, une dette contracte intrts composs un certain taux? Dans le trajet d'une voiture, on a remarqu que la roue du devant, qui a 2m,20 de tour, a fait 2000 tours de plus que la roue de derrire, qui a 4 mtres de tour. Quelle est la longueur du trajet? On fait une premire saigne et on pse la partie solide du sang coul; on injecte un poids connu d'eau distille: on fait une seconde saigne de mme poids que la premire et on pse encore la partie solide. Calculer d'aprs ces expriences, le poids du sang circulant dans le corps. VALENTIN. l'aide de donnes numriques que nous omettons, on trouve 14 kilogrammes, nombre un peu trop fort parce qu'on nglige l'eau transsude pendant les cinq minutes ncessaires pour que l'eau se rpartisse dans tout le sang. Pour calculer la profondeur d'un puits, on peut noter, avec une montre secondes, combien de temps il s'coule entre l'instant o on laisse tomber une pierre l'ouverture du puits et l'instant o l'on entend le choc contre le fond. NEWTON. Calculer la vitesse propre d'un bateau, sachant que pour descendre 24 kilomtres sur une rivire dont le courant est de 3 kilomtres par heure et pour remonter ensuite 13 kilomtres, il a fallu en tout 7 heures au bateau. Trouver un nombre de deux chiffres gal au produit de la somme de ses chiffres par leur diffrence. Sur le bord d'une rivire s'lve une colonne surmonte d'une statue; un observateur, plac sur la rive oppose, voit sous un mme angle la statue et un soldat plac au pied de la colonne: on demande, connaissant les hauteurs de la colonne, de la statue et du soldat, de calculer la largeur de la rivire. Voici un joli tour: il s'agit de deviner une carte _pense_. On prend au hasard 21 cartes que l'on range en 3 paquets de 7 cartes, en en plaant d'abord 3 ct l'une de l'autre, puis les 3 cartes suivantes successivement sur les 3 premires et ainsi de suite. On demande une personne de penser une des cartes qu'elle voit ainsi ranger et on lui demande dans quel paquet se trouve la carte pense. On met alors les 3 paquets l'un au-dessus de l'autre, en ayant soin de placer au milieu le paquet contenant la carte pense, les rectos des cartes tant tous du mme ct. On range de nouveau les cartes en 3 paquets de 7 cartes en procdant comme tout l'heure, on demande encore dans quel paquet se trouve la carte pense, on place ce paquet entre les deux autres et on recommence une troisime fois la mme manoeuvre.--Finalement, la carte pense se trouve tre la onzime! MCANIQUE Deux courriers marchant uniformment sur deux droites, quelle position occupent-ils lorsque leur distance est minimum? Faire tourner les deux pieds autour des talons restant fixes, jusqu' ce que la base d'appui soit maximum: c'est alors que la stabilit est la mieux assure. Une marchande de cerises a perdu ses poids; arrive sur le march, elle trouve un grs de 40 livres, le partage en quatre morceaux et vend au dtail la marchandise: Quels sont les poids des quatre fragments qui servent pour les peses entre 1 et 40 livres? deux de ses clients, un marchand pse un mme poids de marchandise, avec une balance bras ingaux. Il intervertit dans les deux cas l'usage des plateaux. Le marchand, en procdant ainsi, gagne-t-il ou perd-il? Il perd. Centre de gravit d'une sphre dans l'intrieur de laquelle est pratique une cavit sphrique; 2 lorsque la cavit est remplie de substance diffrente. Calculer l'heure indique par une horloge, sachant que les aiguilles sont diriges: la petite dans l'intervalle entre les chiffres XI et XII du cadran, la grande dans celui entre les chiffres XII et I et que la marche naturelle du mcanisme peut un autre instant les substituer l'une l'autre. Un commerant se servant d'une balance fausse gagne 11% de plus que si elle tait exacte. Mais s'il changeait de plateau, la marchandise et les poids, son gain serait nul. Quel serait le gain pour cent, si la balance tait exacte? Expliquer la suspension des cerfs-volants sous l'action du vent et de la traction de la corde. Faire voir qu'en orientant convenablement la voile, on peut, sous l'action d'un vent de direction donne, faire prendre un bateau des directions presque en sens contraire. Les deux problmes suivants sont ds M. G. Tarry: 3 ballons se meuvent uniformment en ligne droite; on donne leurs positions 2 instants diffrents. Construire une droite qui puisse tre parcourue uniformment par un ballon, de faon que les trois premiers ballons paraissent immobiles l'aronaute du 4e. 4 trains se meuvent uniformment sur des voies rectilignes; on donne leurs positions 2 instants diffrents. Construire une voie rectiligne qui puisse tre parcourue uniformment par un train de faon qu' tout instant les 4 premiers trains paraissent immobiles aux voyageurs du 5e. ASTRONOMIE On demande combien de kilomtres par minute parcourt un paralytique du Prou, qui se croit clou sur son fauteuil. Les aiguilles concident midi, on demande l'heure exacte de leur prochaine rencontre, puis de leur position en ligne droite.--Qu'arriverait-il si elles marchaient en sens contraire l'une de l'autre? En supposant trois aiguilles, quelle heure l'aiguille des secondes divisera-t-elle en deux parties gales l'angle des deux autres? Trouver, en un point donn, le jour du plus petit crpuscule. NONIUS, 1573. Quel est le dernier jour de la semaine? Quel jour finira le XIXe sicle? Henri Heine, se vieillissant de quelques jours, prtendait tre n le 1er janvier 1800, pour pouvoir se dire le premier homme de son sicle. Faute analogue de calcul de la part de Victor Hugo, n en 1802, lorsqu'il en conclut: Ce sicle avait deux ans... Le XIXe sicle a commenc le 1er janvier 1801, et non en 1800, car aucune anne ne porte le numro zro; il finira le 31 dcembre 1900. Se servir du cadran solaire comme d'un cadran lunaire, connaissant l'_ge_ de la lune. Quelle heure est-il, sachant qu'il reste encore s'couler de la journe les quatre tiers de ce qui s'est coul? quelle distance deux marins dont les vaisseaux marchent en sens contraire cessent-ils de s'apercevoir? On connat leur hauteur commune au-dessus du niveau de la mer. Calculer la diffrence des chemins parcourus par le sommet et le pied de la tour Eiffel, haute de 300 mtres, pendant une rotation de la terre sur elle-mme.--Calculer aussi la surface alors engendre par l'axe de la tour. Quelles seraient les apparences astronomiques pour un observateur situ sur la lune? Un habitant de Nogent-le-Rotrou fait, par son testament, lgataire universel, l'an de ses deux neveux, qu'il ne dsigne pas autrement. L'un est n Nancy six heures du matin et l'autre le mme jour Brest cinq heures et demie du matin (heures locales). Lequel des deux doit hriter? MATHMATIQUES SUPRIEURES Une caisse paralllpipdique, tant remplie d'un trs grand nombre de petites boules gales, on demande quelle partie de la caisse est occupe par les boules. _Rponse:_ [pi]/3[[V]2], environ les 3/4. Mme question, avec des cercles dans le plan. Conclure qu'on ne peut remplir le plan avec des cercles, ni l'espace avec des sphres. Huit personnes, contentes de dner ensemble, se proposent de s'inviter mutuellement, jusqu' ce qu'elles aient puis toutes les faons de se placer table. _Rponse:_ 40 320 dners, soit 110 ans. On casse au hasard une barre en trois morceaux; quelle est la probabilit pour qu'on puisse former un triangle avec les trois morceaux? Disposer 30 prunes et 10 pches, de faon avoir toutes les pches en les prenant de 12 en 12. _Rponse:_ Pches aux places 7. 8. 11. 12. 21. 22. 24. 26. 37. Au jeu d'checs, faire parcourir au cavalier les 64 cases, l'une aprs l'autre, sans le faire passer deux fois dans la mme. Chacun sait qu'un cavalier plac sur une case d'une certaine couleur ne peut passer que sur les cases de l'autre couleur qui sont deux rangs de la sienne. Deux tonneaux de capacit diffrente sont pleins de deux vins diffrents, trouver quel mme nombre de litres il faut prendre dans les deux pour qu'aprs l'change les deux pices aient la mme composition. Mme question en supposant une proportion diffrente de mme vin et d'eau dans les deux tonneaux. Le nombre des dcs tant de 1/42 de la population et le nombre des naissances de 1/35, on demande en combien de temps la population d'un pays sera double. Pierre et Paul sont soumis un scrutin de ballottage; l'urne contient _m_ bulletins favorables Pierre; _n_ favorables Paul; _m_ est plus grand que _n_, Pierre sera lu. Quelle est la probabilit pour que, pendant le dpouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un ordre tel que Pierre ne cessera pas un seul instant d'avoir l'avantage? On tire la cible. L'arme, sans tre parfaite, ne prsente aucun dfaut systmatique; les dviations ont en tous sens la mme probabilit. Quelle est la probabilit pour que le point frapp soit une distance du but comprise entre _r_ et _r + dr_? Donnes insuffisantes. Combien y a-t-il de mots forms de neuf lettres? (les mots peuvent n'avoir aucune signification et mme ne pas tre prononables). _Rponse:_ 98 956 601 600 mots. Trouver l'arc double de sa corde. Ce problme donne lieu une quation transcendante; il ne peut pas tre rsolu avec la rgle et le compas. De mme pour les trois exercices suivants. Partager un demi-cercle en deux parties quivalentes par une parallle au diamtre. Quelle doit tre la longueur de la longe d'un cheval pour qu'en la fixant au contour d'un pr circulaire l'animal ne puisse tondre que la moiti du pr? Percer une vote hmisphrique de quatre fentres gales de faon que le reste de la surface soit exactement carrable. (Fentres de Viviani.) Dans un pays qui compte 10 millions d'lecteurs, on en dsigne 20.000 par un tirage au sort, pour leur faire lire un reprsentant. En supposant que le pays soit partag entre deux opinions, 4.500.000 d'un ct et 5.500.000 de l'autre, quelle est la probabilit pour que le candidat lu appartienne la minorit? Dans la question des _intrts composs continus_, on demande ce que devient, au bout d'un nombre donn d'annes, un capital plac un taux connu, en supposant que l'intrt se capitalise d'_instant en instant_. Trouver le diamtre d'un cercle, tant donnes les longueurs de trois cordes formant un contour ferm termin aux extrmits de ce diamtre. NEWTON. On place, bout bout, _n_ couples de cartes inclines l'une sur l'autre et une carte entre deux couples; par dessus, on met _n - 1_ couples dont on assure la stabilit de mme, et ainsi de suite. Combien faudra-t-il de cartes pour faire ce chteau? Mme question pour un chteau tages carrs, la stabilit tant obtenue en remplaant chaque couple par un nombre de couples gal celui des couples primitifs. Un chien part d'un point en dehors de la route et court vers son matre qui chemine uniformment. tudier la _courbe du chien_. Trouver le lieu du point tel que le produit de ses distances plusieurs droites donnes soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances d'autres droites donnes. Ce problme, qui avait occup les Anciens, est trait par Descartes au commencement de sa Gomtrie. Comment passer successivement sur tous les ponts de Paris, sans passer deux fois sur aucun d'eux? Cas o l'on ne tient pas compte du pont en bois de l'Estacade et cas o l'on en tient compte. Donner un triangle dont les trois cts et la surface soient reprsents par des nombres entiers. Il suffit de prendre pour cts 3, 4 et 5 ou 13, 14 et 15. Voici une autre solution donne par M. Catalan: _a = 12355_, _b = 12363_, _c = 34_, _s = 204204_. Des enfants dansent en rond en se donnant la main, autour d'un autre plac au centre. Comment faut-il disposer les enfants, dans leurs rondes successives, pour que chacun d'eux se trouve une fois au centre, et deux fois voisin de tous ses camarades? Quinze jeunes filles se promnent journellement trois par trois; on demande comment il faut arranger leurs promenades de telle sorte que chaque jeune fille se trouve successivement une seule fois en compagnie avec toutes les autres. On sacrifiait Apollon sur un autel cubique en or. Pendant une pidmie, on fit demander au dieu, pour l'apaiser, ce qu'il dsirait; l'oracle rpondit: Doublez l'autel. Les prtres construisirent un autel de ct double, mais la peste ne cessa point. Le problme de la _duplication du cube_ n'est pas _lmentaire_, c'est--dire qu'il ne peut pas se rsoudre avec la rgle et le compas, en traant seulement des droites et des circonfrences. Diviser un angle en trois parties gales. Problme de la _trisection_. Mme observation que pour la question prcdente: on ne peut que procder approximativement. Construire le carr quivalent un cercle de rayon donn: tel est le problme de la _quadrature du cercle_. Il faudrait savoir d'abord rectifier la circonfrence, c'est--dire tracer la droite de mme longueur qu'une circonfrence de rayon donn, puis prendre la moyenne proportionnelle entre cette droite et la moiti du rayon.--Voici une solution trs approche, due au jsuite polonais Koskanski: aux extrmits du diamtre d'une demi-circonfrence, levez les perpendiculaires gales au triple du rayon et au demi-ct de l'hexagone rgulier, la distance des deux points obtenus a sensiblement mme longueur que la demi-circonfrence. On a dmontr rcemment que le problme de la quadrature du cercle est impossible avec la rgle et le compas. Ce n'est pas seulement parce que [pi] est incommensurable, puisqu'on sait construire rigoureusement certains nombres incommensurables. Les Anciens avaient imagin, pour rsoudre les trois problmes prcdents, les courbes appeles _cissode_, _conchode_ et _quadratrice_. Un jardin circulaire renferme un puits son centre. Le jardinier puise de l'eau dans le puits et s'en sert pour arroser le jardin. Combien mettra-t-il de temps pour l'arroser en entier? Un bon bourgeois fait faire dans sa cave un casier de neuf cases disposes en carrs; la case du milieu tait destine recevoir les bouteilles vides provenant de la consommation de soixante bouteilles pleines, qu'il disposa dans les huit autres cases en mettant six bouteilles dans chaque case des angles et neuf dans chacune des autres cases. Son domestique enleva d'abord quatre bouteilles qu'il vendit, et disposa les bouteilles restantes de manire qu'il y en et toujours vingt et une sur chaque ct du carr. Le matre, tromp par cette disposition, pensa que son domestique n'avait fait qu'une transposition de bouteilles, et qu'il y en avait toujours le mme nombre. Le domestique profita de la simplicit de son matre pour enlever de nouveau quatre bouteilles, et ainsi de suite jusqu' ce qu'il n'y ft plus possible d'en enlever quatre sans que le nombre vingt et un cesst de se trouver sur chaque ct du carr. On demande comment il s'y prit chaque fois et de combien de bouteilles il fit tort son matre. BACHET DE MZIRIAC. L'erreur provenait de ce que les bouteilles places dans les coins comptaient double. Dterminer toutes les manires possibles de placer huit reines sur l'chiquier ordinaire, de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse tre prise par une autre. GAUSS. Faire rapidement la somme des piles de boulets _sphriques_: piles carres, rectangulaires ou triangulaires. Le problme du dblai et du remblai a beaucoup occup les mathmaticiens. Il s'agit de partager la tranche creuser et le remblai lever en volumes lmentaires, se correspondant deux deux, de faon qu'en multipliant la masse de chacun des volumes lmentaires du dblai par le chemin qui le spare du volume quivalent du remblai, la somme des produits obtenus soit la plus petite possible. Les frais de transformation du dblai en remblai seront alors minimums. Discuter l'quation de la _courbe du diable_: _y^{4} - x^{4} + ay^{2} + bx^{2} = 0_. De combien de manires peut-on replier sur un seul une bande d'un nombre donn de timbres-poste? Nous croyons qu'on n'a pas encore pu rsoudre ce problme propos par M. Em. Lemoine. NOTE BIBLIOGRAPHIQUE Aux renseignements sur les livres clbres de mathmatiques, pars dans cet ouvrage, nous allons ajouter les titres seulement de quelques livres sur la philosophie, l'histoire, les applications, l'enseignement et les curiosits des mathmatiques. PHILOSOPHIE DES MATHMATIQUES AMPRE.--Philosophie des sciences, 2 vol. J. F. BONNEL.--De l'imagination dans les principes des sciences exactes. DE BROGLIE (abb).--Influence du 1er livre d'Euclide sur la formation philosophique des esprits. DE CAMPOU.--Thorie des nombres ngatifs. L. CARNOT.--Rflexions sur la mtaphysique du calcul infinitsimal. T.-V. CHARPENTIER.--Descartes. CHASLES.--Gomtrie suprieure. COYTEUX.--Expos des vrais principes des mathmatiques. A. COMTE.--Philosophie positive (fin du premier volume et commencement du second). DELBOEUF.--Prolgomnes philosophiques de la gomtrie. EVELLIN.--Infini et quantit. DE FREYCINET.--Essai sur la mtaphysique du haut calcul. GIGON.--Nombres incommensurables. HOEL.--Essai de critique sur les principes fondamentaux de la gomtrie lmentaire.--Thorie lmentaire des quantits complexes. L. HUGO.--Du symbolisme licite en mathmatiques. JACQUIER.--De l'esprit des mathmatiques suprieures. LAGUERRE.--Recherches sur la gomtrie de direction. LAISANT.--Thorie des quaternions. LIARD.--1 Dfinitions gomtriques et dfinitions empiriques; 2 Descartes; 3 Les logiciens anglais contemporains. MOIGNO (abb).--De l'impossibilit du nombre actuellement infini. MOUREY.--La vraie thorie des quantits ngatives et des quantits prtendues imaginaires. PASCAL.--Presque toutes ses oeuvres. PONCELET.--Trait des proprits projectives. DE TILLY.--Essai sur les principes fondamentaux de la gomtrie et de la mcanique. F. VALLS.--Des formes imaginaires en algbre. WOLF.--Les hypothses cosmogoniques. HISTOIRE ALLEGRET.--Pascal, Vite, Newton et Leibniz. MARIE AGNESI.--Trait de calcul infinitsimal (Traduction de Bossut). F. ARAGO.--Notices biographiques. J. BERTRAND.--Les fondateurs de l'astronomie moderne. BOSSUT.--Histoire des mathmatiques (2 vol., 1810). CHASLES.--Aperu sur les mthodes en gomtrie. CANTOR.--Histoire des mathmatiques (en allemand).--Les deux premiers volumes, jusqu'en 1668. DELAMBRE.--Rapport sur les progrs des sciences mathmatiques (1810). DESBOVES.--tude sur Pascal. ENESTRM.--Programme d'un cours universitaire d'histoire des mathmatiques. Stockholm, 1890. LOUIS FIGUIER.--Vies des savants illustres (cinq volumes). FONTENELLE.--loges des acadmiciens. GARNIER.--Trisection de l'angle (1809). DE FONVIELLE.--La mesure du mtre. SOPHIE GERMAIN.--Mmoire sur les surfaces lastiques. CHARLES HENRY.--Lettres de Lagrange, de Laplace, d'Euler; les deux plus anciens traits franais de mathmatiques; introduction une esthtique scientifique, etc. HERMITE.--Discours l'inauguration de la nouvelle Sorbonne. G. HUMBERT.--Progrs des mathmatiques en France de 1878 1888. (Dans le compte rendu du Congrs bibliographique.) E. LEBON.--Notions sur l'histoire de l'astronomie. (Dans le _Bulletin scientifique_.) MAINDRON.--L'Acadmie des sciences. MANSION.--Prcis de l'histoire des Mathmatiques. MAXIMILIEN MARIE.--Histoire des sciences mathmatiques (12 volumes). MONTUCLA.--Histoire des Mathmatiques (4 volumes). PINET.--Histoire de l'cole polytechnique. SAVRIEN.--Progrs de l'esprit humain dans les sciences exactes. P. TANNERY.--La gomtrie grecque. VALSON.--Essai sur la vie et les travaux de Cauchy. APPLICATIONS AMIGUES.-- travers le ciel. Annuaire du bureau des longitudes. (Petit mmorial indispensable, avec des notes scientifiques.) J. BERTRAND.--Calcul des probabilits. BUFFON.--Essai d'arithmtique politique. CHARLON.--Thorie mathmatique des oprations financires. COLLET.--La carte dite de l'tat-Major. COURNOT.--Recherches sur les principes mathmatiques de la thorie des richesses. DORMOY.--Thorie mathmatique des assurances sur la vie. CHARLES DUPIN.--Gomtrie et mcanique des Arts et mtiers (4 volumes). FLAMMARION.--tudes et lectures sur l'astronomie (9 petits vol.). DE LA GOURNERIE ET E. LEBON.--Arches biaises. GUYOU ET SIMART.--Gomtrie du navire. LABOSNE.--Instruction sur la rgle calcul. LAPLACE.--Exposition du systme du monde; Essai philosophique sur le calcul des probabilits. SBASTIEN LECLERC.--Pratique de la gomtrie sur le papier et sur le terrain (1764). MAURICE LVY.--La statique graphique (4 vol.). DOUARD LUCAS.--Application de l'arithmtique la construction de l'armure des satins rguliers. G. DE LONGCHAMPS.--Essai sur la gomtrie de la rgle et de l'querre. MAHISTRE.--L'art de tracer les cadrans solaires. AMIRAL MOUCHEZ.--La photographie astronomique. PERRY.--Physiologie mathmatique. A. PICARD.--Introduction aux principes mathmatiques du monde physique. LE P. SECCHI.--Le soleil. SONNET.--Dictionnaire des mathmatiques appliques. F. THOMAN.--Thorie des intrts composs et des annuits. ENSEIGNEMENT DAUGE.--Mthodologie mathmatique. DEVELAY.--Arithmtique et algbre d'mile. (Avec cette pigraphe: Que mon lve n'apprenne pas la science; qu'il l'invente). DUHAMEL.--Des mthodes dans les sciences de raisonnement (5 vol.). JOANET.--Trait des rciproques de la gomtrie de Legendre. LACROIX.--Essai sur l'enseignement des mathmatiques. LAGOUT.--Tachimtrie. REDOULY.--ABC de l'X: Grammaire et logique des mathmatiques. PAUL SERRET.--Des mthodes en gomtrie. CURIOSITS BACHET DE MZIRIAC.--Problmes plaisants et dlectables. BALL.--Rcrations et problmes. (En Anglais). BERGERY.--L'arithmtique sans chiffres. BOISSIRE.--Rhythmomachie ou combat des nombres. PRINCE BONCOMPAGNI.--Cinq lettres de Sophie Germain Gauss. BOUCHET (Ch.)--La posie des mathmatiques. BUSSCHOP.--Recherche sur le jeu du solitaire (Bruges, 1879). CALINON.--tude sur la sphre, la ligne droite et le plan. CARLET.--Application des Mathmatiques la Mdecine. Carrs magiques.--Frnicle, Sauveur, Euler, Violle, Thompson, Horner, Laquire, Frolow, etc. CARTAUD.--Penses critiques sur les mathmatiques. CHAM.--Arithmtique illustre. CHAVIGNAUD.--Nouvelle arithmtique mise en vers. CLOAREC.--Dynamique intellectuelle ou application de l'algbre la Thologie. CORIOLIS.--Thorie mathmatique du billard. COSSERAT.--Sur le cercle considr comme lment gnrateur de l'espace. DELBOEUF.--Sur le thorme de d'Alembert. VAN ETTEN.--Rcrations mathmatiques (1633). FLAMMARION.--Lumen. FLEURY.--Cl du taquin (Marseille, 1880). FONTENELLE.--Entretiens sur la pluralit des mondes. FOUCHER.--La gomtrie mtaphysique. La gomtrie en vers techniques (1807). GAUKES.--De medicin ad certitudem mathematicam evehenda. GUYOT.--Nouvelles rcrations mathmatiques. DU HAYS.--Sur le jeu du loto. Intgration de God save the queen. JACOBY.--Henri Mondeux. DE LABOURDONNAYE.--Trait du jeu des checs (1833). LAISANT.--Gomtrie des quinconces. LAMBERG.--Courbe algbrique reproduisant les traits d'un visage. DE LA LANDELLE.--Phylon Binome. LAQUIRE.--Gomtrie de l'chiquier. LEIBNIZ.--Arithmtique binaire. EM. LEMOINE.--Mesure de la simplicit en mathmatiques. DOUARD LUCAS.--Rcrations mathmatiques (4 vol.). LUYA.--Amusements arithmtiques et algbriques de la campagne (Genve, 1799). MARIAGE.--Numration par huit. MASCHERONI.--La gomtrie du compas. LE P. MERSENNE.--Questions inouyes (1633). MEYNIEZ.--Paradoxes contre les mathmaticiens qui abusent la jeunesse. DE MIRVAL.--Thtre scientifique. MONTUCLA.--Histoire des recherches sur la quadrature du cercle. MYDORGE.--Rcrations mathmatiques. OZANAM.--Rcrations mathmatiques (4 vol.). J. B. PRS.--Comme quoi Napolon n'a jamais exist. DE POLIGNAC.--Sur la course du cavalier au jeu des checs. POTT.--Le systme numral quinaire et vigsimal. REISS.--Combinaisons au jeu des 28 dominos. RICARD (DOMINIQUE).--La sphre, pome en huit chants. STOMMA.--Les checs. STUPUY.--Oeuvres philosophiques de Sophie Germain. TARNIER.--Le langage des nombres. THOMSON.--La gomtrie sans axiomes. Trois livres d'arithmtique de Tahiti, en langue indigne (Oahu, 1836). VINOT.--Rcrations mathmatiques. VITREY.--Contes et comptes; 148 problmes en vers. WEIGEL.--Arithmtique ttractique. H. DE WRONSKI.--Technie de l'algorithmie (1811). INDEX Cette table analytique comprend les noms de choses et ceux de _personnes_, ces derniers en italique. On pourra ainsi suivre le mme sujet dans tout le livre, en se reportant aux divers renvois. A _Abdank-Abakonowicz_, 255 Abeilles, 443 _Abel_, 185, 190, 260, 275 _Aboul-Wefa_, 121 _About_, 279 Abrgeons, 427 Abstractions, 20, 365 Absurde (Par l'), 26, 31 Acadmie, 132, 143, 182, 219, 229, 290, 330, 335, 374, 529 Addition, 258, 465 Admiration, 313 _Achille_, 410 ge du capitaine, 460 _Agnesi (Marie)_, 273, 528 _Agripa_, 295 _Ahms_, 121 _Albert Girard_, 47 _Albert-Lvy_, 422 _Alcuin_, 384 _D'Alembert_, 10, 36, 42, 113, 123, 127, 144, 151, 188, 199, 247, 341, 385, 406 _Alexandrie_ (cole d'), 120 Algbre, 297, 493 Algbre morale, 227 Allgorie, 398 _Allegret_, 321, 528 Almageste, 121, 126 Alphabet, 263 Amateurs (Appel aux), 1 me de la terre, 364 L'me et la vie, 350 _Amigues_, 529 Amiti, 160, 443 _A. Ampre_, 14, 145, 191, 198, 316, 352, 372, 527 _J. Ampre_, 198 _Amsler_, 255 Amusettes, 331 Analyse, 4, 24, 33, 42, 113, 168 Anarchie, 259 Anatomistes, 252 _Anaxagore_, 374 Anctres, 324 _D. Andr_, 144 ne (sa mesure), 421 Anecdotes, 177 Anglais (Jeune), 215 _Angoulme_ (Duc d'), 212 Animaux (Savent-ils compter?), 361, 387 Annuaire du Bureau des longitudes, 529 Anonyme, 71, 106, 119, 130, 168 An quarante, 418 Antechrist, 358 Anthologie grecque, 483 Antipodes, 412 Anxit, 260 L'Aperu historique, 130, 383 _Apollonius_, 120, 125, 138, 236, 273 Apologue, 304 _Appell_, 142, 143 Applicable tout, 236 Applications, 12, 63, 529 Approximations, 94, 160 Arabes, 121 _Arago_, 37, 63, 71, 75, 110, 128, 188, 204, 213, 215, 279, 298, 462, 528 _Arbogast_, 132 _Archimde_, 32, 79, 120, 125, 138, 196, 206, 297, 352, 377, 499 Architecte mal pay, 218 Arnaire, 297 Argent (De l'), 193, 353 Argot, 421, 429 Argot de l'X, 422 Argument, 50 _Aristophane_, 373 _Aristote_, 3, 232, 257 Arithmtique, 67, 471, 531 Arithmtique de grand-papa, 252 Arithmtique politique, 256 Arithmomanie, 444 _D'Arlincourt_, 430 _Arnauld_, 295 _Arnoux_, 369 Arpentage, 6, 68, 135, 505 Artillerie, 64 Arts (Beaux), 159, 419 Arts mcaniques, 69 Arts militaires, 70 _Aryabhata_, 121 Assembles dlibrantes, 95 Assurances, 67, 529 Astrologie, 218 Astronomie, 84, 513 Asymptotes, 10, 408 Athnes, 284 Attraction universelle, 123, 281, 288, 303, 418 _Saint-Augustin_, 296, 453 Auteur embarrass, 192 Autobiographie, 182 Autres et soi, 443 Auxerre, 215 Avant Leibniz et Newton, 345 Avatar du nombre, 378 Avenir, 352 Aveugles, 186 Avocat, 166, 464 Axiomes, 21, 102, 341, 347, 356, 367 B _Babinet_, 461 Baccalaurat, 465 _Bacchus et Silne_, 495 _Bach_, 380 _Bachet de Mziriac_, 158, 471, 523, 530 _Bcklund_, 143 _F. Bacon_, 156, 391 _R. Bacon_, 374 _Badoureau_, 318 _Bailly_, 187 Balances, 99, 392, 510, 511 Balistique, 70 _Ball_, 530 Ballottage, 518 _H. de Balzac_, 363, 369 Banques, 67, 501 _De Banville_, 465 _Barbara_, 225 _Bardot_, 254 Barme suffit, 309 _Barrow_, 236 Abb _Barthlemy_, 284, 379 _Barthlemy Saint-Hilaire_, 163 _Bassot_, 143 Bataille ou ranon? 430 _Beaumarchais_, 466 Beaut de la science, 316 Beaux esprits, 310 _Becquerel_, 143 _Bellavitis_, 29, 51 _Beltrami_, 143 Benzine, 366 _Branger_, 55, 226 _Berchoux_, 335 _Berdell_, 411, 424 _Bergery_, 530 _Cl. Bernard_, 316 _Bernardin de Saint-Pierre_, 213 Les _Bernoulli_, 98, 141, 182, 275, 377, 440 _Berthelot_, 143, 241, 292, 316 _Bertrand_ (de Genve), 20 _Joseph Bertrand_, 92, 98, 99, 116, 141, 143, 159, 280, 359, 374, 528, 529 _Bessel_, 266 _Bezout_, 141, 207 _Bhscara_, 121, 297, 506 Bible, 146, 318, 373 Bibliographie, 301, 302, 527 _Bichat_, 358 Billard, 194, 531 _Binet_, 220 _Biot_, 128, 181, 298 _Bjirknes_, 143 _Charles Blanc_, 424 _Blanchet_, 335 Bl (Prix du), 158, 454 _Bowdwich_, 272 _Boileau_, 430, 464 _Boissire_, 531 _Boiste_, 168 _Bol_, 190 _Bolyai_, 293, 386 _de Bonald_, 305 _Prince Boncompagni_, 140, 531 Bonhomie, 195 _J.-F. Bonnel_, 29, 45, 57, 394, 527 Bon sens, 14 _Boole_, 344 _Borda_, 131, 284 _Bordas-Demoulin_, 147 _Borel_, 144 _Borelli_, 252 Born, 352 _Bossuet_, 82 _Bossut_, 13, 127, 140, 184, 273, 528 _Bouchet_, 531 _de Boufflers_, 330 _Bougaev_, 293 _Bouguer_, 130 _Bouquet de la Grye_, 143 _Bourdeau_, 10 _J. Bourget_, 50, 142 _P. Bourget_, 352 Bourse (La), 67 _Boussinesq_, 17, 57, 143, 347, 359 Boutades, 462 Brachistochrone, 373 _Bradley_, 193 _Bramagupta_, 121 Brsil, 378 _Brioschi_, 143 _Brisse_, 142, 144 _Brocard_, 144 _Brochard_, 410 _De Broglie_, 527 Brouette, 279 _Buchanan_, 415 _Budan_, 141 Budget, 67 Le P. _Buffier_, 368 _Buffon_, 60, 351, 387, 397, 529 _Burdeau_, 278 Buses graves, 423 _Busschop_, 531 C Cadastre, 68, 425 Cadrans solaires, 70 Caf, 335 Calcul, 244, 297, 356 Calculateur, 423, 466 Calcul infaillible, 149, 396 Calcul infinitsimal, 123, 128, 139, 345 Calcul mental, 67, 372 Calculs des ouvriers, 243 Calendrier, 70, 320 _Calinon_, 244, 531 _Callandreau_, 143 Calomnie, 271 Cambridge, 208 _de Campou_, 47, 527 Cancre, 220 _de Candolle_, 238 Canoniss, 295 _Cantor_, 140, 295, 528 Caractre des mathmatiques, 3 _Cardan_, 122, 187, 408 Cardinaux (Points), 216, 463 _Carlet_, 531 Carnavalet (Muse), 283 _Laz. Carnot_, 58, 124, 145 Carr de l'hypotnuse, 452, 459 Carr long, 310 Carrer, 229 Carrs diaboliques, 441 Carrs magiques, 440 _Cartaud_, 531 Carte de l'tat-Major, 69, 529 Carte pense, 508 Cartes gographiques, 69 Cas irrductible, 138, 408 Casquette, 190 Casserole, 454 _Cassini_, 275 _Le P. Castel_, 398 _Marchal de Castries_, 202 _Catalan_, 210 _Catulle_, 6 _Cauchy_, 47, 48, 124, 129, 139, 141, 145, 152, 260, 279, 309, 316 _de Caussans_, 379 Caustiques, 301, 440 Centenaires, 144, 277, 278 Cercle, 231, 358, 364 Cercle de Popilius, 380 Certitudes antrieures, 360 _Csarine_, 446 Chaldens, 119 _Cham_, 531 _Champfort_, 461 _Chandos_, 166 Charenton, 187 _Charlemagne_, 130 _Charles VI_, 311 _Charles XII_, 441 _Charlon_, 529 Charpente, 68 _T. V. Charpentier_, 39, 527 _Charraux_, 292 _Chasles_, 30, 41, 124, 130, 136, 266, 278, 316, 527, 528 _Chateaubriand_, 315, 450 Chteaux de cartes, 520 _du Chtelet (Marquise)_, 273, 405 Chats, 191 Chaumire indienne, 213 _Chavignau_, 531 Chemin de fer, 69, 512 Chemins, 69 Chenille, 449 Chercheur, 369 Cheval, 519 _Chev_, 214 Cheveux, 233, 482 Chvre et chou, 483 _Chevreul_, 206 Chicane, 376 Chien (sa courbe), 520 Chiffres, 384, 530 Chinois, 121 Chose, 376 _Christophe Colomb_, 267 Chronologie, 70 _Cicron_, 136, 280, 427 Ciel en cristal, 283 Cinq mille quarante, 397 Cinquime livre, 259 Cit modle, 397 Civilis, 346 Civisme, 276 _Clairaut_, 108, 109, 280, 376, 505 Clair-obscur, 428 _J. Claretie_, 425 Classification, 31 Clefs, 48, 162, 395 _Cloarec_, 531 Club, 215, 222, 380 Code civil, 502 Coefficients de correction, 268 Coeur et raison, 365 _Collet_, 529 _Colnet_, 327 Colombe, 331, 415 Combinaisons, 67, 417 Comtes, 216 Commencements, 361 _Compagnon_, 10 Compas, 225, 532 Complaisances astronomiques, 215 Comptable, 343 Comptes (Vieux), 380, 480 Compteur, 319 _Aug. Comte_, 5, 14, 35, 52, 163, 387, 527 Conceptions, 368 Concepts mathmatiques, 16 Concession, 374 Conciliation, 359 Concours gnral, 208 _Condillac_, 38, 147, 153, 168, 351 Condition ncessaire et suffisante, 117 _Condorcet_, 14, 22, 37, 101, 159, 203 Cne, 506 Coniques, 14, 120, 125, 447 Consciencieuse, 223 Conservation et progrs, 95 Conservatoire des Arts-et-Mtiers, 134 _Benjamin Constant_, 379 Constante, 54 Constantinople, 214 Construction, 20, 239 Constructions civiles et militaires, 69 Constructions navales, 70 Contes et comptes, 532 Continuit, 30, 32, 57, 118, 361 Continu mathmatique, 53 Contours trompeurs, 414 Contradictions, 426 Conversation (Dernire), 181 _Copernic_, 84, 89, 122, 167, 262 _Coriolis_, 194, 531 _Cornu_, 143 Correspondance, 207 Cosmographie, 84, 513 _Cosserat_, 531 Cossistes, 376 Coton et musique, 261 _Cottin_, 330 Couleurs, 420, 424 Coup de foudre, 195 Coupe des pierres, 68, 76 Courbe banale, 442 Courbe du diable, 525 Courbe renaissante, 440 _Cournot_, 4, 9, 46, 66, 116, 529 Courtisans, 180, 288 _Coyteux_, 527 _Craig_, 455 _Cremona_, 143 Critrium, 364 _A. Croiset_, 162 Cuisine, 467, 484, 488 Culture d'Euclide, 242 Curiosits, 440, 530 _Cuvier_, 165 Cyclides, 274 Cyclode, 253, 301, 373, 442 Cylindre, 506 D Dames, 230, 290 Danse en rond, 521 Danseur, 466 _Dante_, 373 _Darboux_, 142, 143 _Daru_, 303 _Dasypodius_, 245 _L. A. Daudet_, 366 _Dauge_, 530 _Daunou_, 289 Dax, 284 Dbat pdagogique, 240 Dblai et remblai, 524 _Debray_, 135 Dcadents, 444 Dcimtre carr, 215 Dcisions judiciaires, 99 Dcouverte aprs coup, 40 _Dedekind_, 143 Dduction, 10, 25, 293 Dfinir (On ne peut pas tout), 17 Dfinition, 29 Dfis, 182 De froid, 187 _Delambre_, 28, 76, 126, 132, 134, 298, 528 _Delaunay_, 374 _Delboeuf_, 164, 360, 362, 527, 531 _Delbos_, 209 _Deleuze_, 250 _Delezenne_, 402 Demi-circonfrence, 409 Dmonstration et syllogisme, 250 Dmonstrations fausses, 382 Dmontrer, 24, 27, 117 Dmontrer (On ne peut pas tout), 16 Dnominateur la maison, 190 _Deprez_, 143 Dputs, 95, 183 Dernire conversation, 181 _Desargues_, 75 _Desboves_, 268, 528 _Descartes_, 3, 12, 30, 32, 39, 123, 127, 139, 141, 144, 153, 175, 182, 287, 377, 527 Desiderata, 416 Dsintressement, 199 Dsorient, 386 Dessins, 68 _Destut-Tracy_, 244 Dterminant, 264 Dterminisme, 226 Deux droits, 459 Deux et deux, 329, 341, 363, 459 _Develay_, 530 Dveloppe, 440 _H. Deville_, 135 Diagonale du carr, 33 Diamant, 506 _Dickens_, 215, 371 Dictionnaire, 70, 463, 530 _Diderot_, 162, 228, 236, 292, 388 _Le P. Didon_, 161 _Dieu_, 85, 91, 146, 147, 236, 303 _Diogne_, 466 _Diophante_, 121, 126, 137, 158, 493 Diplomatie, 329 Discipline, 250 Disquisitiones arithmetic, 486 Distractions, 179, 191 Dites et ne dites pas, 111 Divine proportion, 305 Diviseur et ramasse-tout, 252 Division, 252 Dix (Tout par), 282 Dix-huit, 429 Dix-huitime sicle, 123, 144 Dix mois (A), 219 Dix-neuvime sicle, 124, 144, 514 Dix-septime sicle, 122, 138, 144 Documents, 290 Dodcadre, 271 Dominos, 417 _Dormoy_, 194, 529 Double pese, 392 Douze, 387 Douze fois douze, 184 _Drapeyron_, 70 Droite bizarre, 452 Un duel, 289 _Dufresny_, 239 _Dugald-Stewart_, 239 _Duhamel_, 17, 24, 59, 100, 149, 530 _Du Hays_, 531 _Alexandre Dumas, fils_, 411 _Alexandre Dumas, pre_, 479 _J.-B. Dumas_, 290 _Dupanloup_, 109, 160, 217 _Charles Dupin_, 29, 243, 467, 529 Duplication du cube, 120, 521 _Ch. Dupuy_, 144 _J. D. Dupuis_, 417 _V. Duruy_, 162 _Duval-Jouve_, 11 Dynasties (Deux), 275 E Sur l'chafaud, 187 checs, 193, 517, 524, 532 clipse du colonel, 219 cole normale, 277 cole polytechnique, 209, 246, 263, 276, 529 conomie politique, 66 Efforts glorieux, 197 gal zro, 219 galit circulaire, 231 gosme, 388 gyptiens, 119, 121, 135, 167, 289 Eiffel (Tour), 514 lections, 207, 518 lgance et symtrie, 38 Ellipse, 87 _mile_, 104, 105 _Sextus Empiricus_, 351 En avant, 113 Enchres, 462 _Enestrm_, 140, 528 Enfant terrible, 211 Enfants (Gomtrie des), 103 Enfants et ignorants, 101, 211 Enseignement, 101, 530 Enseignement (Nouvel), 389 Enttement, 213 Enthousiasme, 167 pigramme, 311 pine, 252 quations, 35, 138, 262, 264, 321, 445, 452 quidomode, 396 quipollence, 51 _Erasme_, 350 _Erkmann-Chatrian_, 261, 425 Erratum, 395 rudits, 379 Escalier, 253 Espace, 16 Esprit (Sa mesure), 247 Esprit de finesse et de gomtrie, 149 Esprit mathmatique, 5 Esprit qui s'gare, 156 Esthtique, 420 tapes pdagogiques, 101 toile avale, 453 trangets, 440 tre et nant, 359 tudiants, 202 tymologies, 297 _Euclide_, 32, 120, 125, 169, 180, 229, 242, 246, 280, 376, 394, 444 _Euler_, 64, 97, 123, 141, 158, 186, 203, 245, 281, 451, 493, 505, 531 vanouissement, 304 _Evellin_, 527 volution, 136 Exactes (Sciences), 10 Exagrations, 158 Examen prilleux, 207 Examens (Prparation aux), 110 Examinateur, 202 Exceptions, 97 Exprience, 17, 18 Exprience gomtrique, 253 Exprimentons, 291 Extension du raisonnement mathmatique, 168 F Facties gomtriques, 212 Facile de voir, 181 Facults intellectuelles, 148 Fagots et fagots, 264 _Faidherbe_, 403 Famille (Nombreuse), 451 Fantaisies, 327, 460 _Faraday_, 355 _Fatio de Duillier_, 187 _Faurie_, 310 _Miss Fawcett_, 208 _Faye_, 89, 143, 415 _Fechner_, 358 _Fnelon_, 217 Fentre, 519 _Fergusson_, 272 _Fermat_, 97, 123, 127, 273, 416, 417 _Fronce_, 272 _Fvre_, 459 Fictif et born, 236 _L. Figuier_, 299, 350, 528 Figures, 10, 17, 33, 247, 302 Fil de soie, 325 Finances, 67, 464, 529 Fin de sicle, 349, 514 Fin du monde, 221, 455 _Flammarion_, 265, 356, 456, 529, 531 _H. Fleury_, 531 _Florian_, 429 Fluxions, 123, 301 Fonctions, 8, 45, 54, 55 Fonctions transcendantes, 461 Fontainebleau, 321 _Fontenelle_, 64, 140, 164, 330, 332, 354, 528, 531 _Fonvielle (De)_, 298, 397, 529 Force, 22 _Forsight_, 143 Fort-Noire, 261 Formules, 36, 37, 374 Fort en thme, 209 _Foucher_, 531 _Foucou_, 294 Fougueux, 306 _Fouillie_, 287, 365 _Fouret_, 144 _Charles Fourier_, 346 _Joseph Fourier_, 37, 63, 126, 128, 129 Fous, 187 _Franois Ier_, 130 _Franklin_, 161, 227 _Frdric II_, 451 _Fresnel_, 316 _De Freycinet_, 61, 143, 527 _Froebel_, 456 Fromage, 253, 400 _Frontera_, 410 _Fuchs_, 143 Fuseaux amricains, 411 G _Galile_, 64, 79, 122, 127, 225, 253, 468 _Galle_, 87 _E. Galois_, 289 Gamma (Point), 277 Garde nationale, 334 Gargantua, 419 _Garnier_, 528 Gaufres, 257 _Gaukes_, 531 _Gauss_, 124, 273, 293, 316, 372, 399, 486, 524 _Genaille_, 254 Gnraliser, 29, 47 Gnralit, 249 Gnralits, 3 _Mme de Genlis_, 372 _Genocchi_, 348 Godsie, 69 _Mme Geoffrin_, 405 Gographie, 69 Gomtre (Un), 179 Gomtres, 144, 179, 316 Gomtres au pouvoir, 185, 450 Gomtrie, 33, 68, 480 Gomtrie analytique, 39, 127, 139 Gomtrie des abeilles, 443 Gomtrie des enfants, 103 Gomtrie des chiens, 520 Gomtrie descriptive, 68, 75, 128 Gomtrie et analyse, 33 Gomtrie et morale, 232 Gomtrie infinitsimale, 58 Gomtries non euclidiennes, 346 _Gerbert_, 121, 295 _Gergonne_, 200, 298 _Sophie Germain_, 33, 141, 273, 529, 531 _Grono_, 142, 329 _Gigon_, 527 _A. Girard_, 47 _J. Girardin_, 220 _Glaucon_, 154 Gnomonique, 70 _Goethe_, 429 _De Goncourt_, 425 _Gordan_, 143 _Le P. Goub_, 208 _Goulier_, 268 _De la Gournerie_, 529 _Goursat_, 144 Gouvernement des gomtres, 185, 450 _Gozlan_, 460 _Gradgrind_, 371 Grces, 483 Grandeurs, 4, 5 Grandeurs (Leur mesure indirecte), 5 Grandeurs directives, 47, 50 _Grandidier_, 143 _De Grandsagne_, 235 Graphiques, 68 _Le P. Gratry_, 31, 111 Gravitation (voir Attraction universelle). Grecs, 11, 14, 119, 136, 137, 138, 231, 529 Greenwich, 193 _Pape Grgoire XIII_, 320 _Grgory_, 287 _Le P. Grimaldi_, 448 Grues, 442 _Guiraudet_, 86 _Guyot_, 531 _Guyou_, 143, 529 _Mme Guzman_, 456 _Gyp_, 211 H Habitabilit des plantes, 263, 442 _Hadamard_, 144 Halle ( la), 207 _Halphen_, 112 _Hamilton_, 49, 51, 240 _Hankel_, 37, 136, 140 _H. Harant_, 263 Hardiesse, 293 Harmonie des sphres, 288 Harmonien (L'), 346 Harmoniques (Nombres), 420 _Hariot_, 122 _Haton de la Goupillire_, 143 _Hatt_, 143 _Hegel_, 359 _H. Heine_, 513 _Heiss_, 384 _Henri IV_, 321, 454 _Charles Henry_, 140, 301, 420, 529 _Henry_ (Les frres), 392 _Herbart_, 453 _Hercule_, 81 _Herlinus_, 245 _Hermite_, 143, 144, 157, 529 _Hrodote_, 135 _W. Herschel_, 245, 454 Heure europenne, 411 Heure nationale, 322, 515 Heureux, 316 Hindous, 121, 136, 137, 208 _Hipparque_, 120, 126 _Hippasos_, 271 _Hippocrate_, 377 Histoire, 119, 140, 270, 372, 528 _Hobbes_, 351 _Hoefer_, 125, 345 _Homre_, 6, 386 Homognit, 36 Homo mathematicus, 217 _Mme de l'Hpital_, 299 _Marquis de l'Hpital_, 272, 299 _Hoppe_, 5 Horlogerie, 70, 180, 320, 497, 502, 511 _Hoel_, 102, 528 _Houzeau_, 222, 362 _F. Huet_, 244 _D. Huet_, 310 _L. Hugo_, 396, 528 _V. Hugo_, 312, 422, 423, 428, 482 _Hugues le Roux_, 467 _d'Hulst_, 362 Huit (Les trois), 208 Huit reines, 524 _E. Humbert_, 142 _G. Humbert_, 144, 529 _Hume_, 249 Humilit, 196 Humour, 465 _Huxley_, 355, 399 _Huygens_, 123, 280 _Hypatie_, 273 Hyperespace, 347, 368 Hypothses, 239, 528 I Ibis, 290 Iconologie, 311 Ides gomtriques, 10, 17, 18 Identit, 351 Ignorants, 211 Image, 311 Images lointaines, 356 Imaginaires, 9, 34, 49, 52, 377, 394, 407, 528 Impertinence, 468 Impossible, 47, 51, 260 Impt cubique, 448 Inaccessibles, 490 _Inaudy_, 372 Incommensurables, 33, 45, 148, 331, 419, 527 Incomprhensible, 446, 454 Inconnues, 419 Inde (Dans l'), 208 Indfini, 358 Index alphabtique, 533 Indiens (voir Hindous) Induction, 96 Infini, 56, 61, 424, 453 Infiniment grands, 56 Infiniment petits, 31, 56 Infinitsimale (Dcomposition), 58, 59 Initis, 271 Instrument, 37 Intgraphes, 255 Intgrateurs, 255 Intellectuel (Perfectionnement), 155 Intelligent (Peu), 213 Intrts composs, 354, 501, 523, 530 Intrts composs continus, 519 L'Intermath, 145 Intermdiaire des chercheurs et des curieux, 279 Interprtation, 36, 38 Interversion des facteurs, 136 Intuition, 244 Inventeurs, 290 Invisible, 266 _Iphignie_, 159, 173 Irrationnel, 403 Irrgulier (Un), 388 Isagoge in artem analyticam, 126 Isoprimtres, 212, 257, 414 Italiens, 122 _Ivan_ le terrible, 218 J _Jablonski_, 112 _Jacobi_, 97, 124, 168, 197 _Jacoby_, 531 _E. Jacquier_, 83, 528 _Jamblique_, 203 _P. Janet_, 5, 358 _Janssen_, 143 Jardiniers, 213, 271 Jetons, 297 Jetons Bardot, 254 Le jeu, 66 Jeune anglais, 215 Jeunes filles, 521 Les jeux, 66, 230 _Jevons_, 344 _Joanet_, 530 _De Jonquires_, 143 _C. Jordan_, 31, 142, 143 _J. Jordan_, 272 _Josphe_, 472 _Le P. Joubert_, 144 _J. Joubert_, 314 Jouets mathmatiques, 333 Joueur (La ruine du), 99 Joueurs (Bons), 193 Journal des savants, 299 Journaux de mathmatiques, 142 Jour perdu ou gagn, 412, 463 _Joyau_, 195 _Jubinal_, 200 Jupiter, 86, 453 _Jurien de la Gravire_, 231 K _Kang-Hi_, 270 _Kant_, 9, 239 _Kepler_, 58, 87, 123, 138, 158, 167, 184, 192, 218, 225, 308, 364 _Klein_, 143 _Klumpf_, 343 _Koenigs_, 144 Le Koran, 319 _Le P. Koskanski_, 522 _Mme de Kowalewski_, 274 _Kuang Siu_, 270 L _Labosne_, 530 _De Labourdonnaye_, 531 _La Bruyre_, 330 _La Caille_, 199 _La Condamine_, 130, 330 _Lacordaire_, 453 _Lacroix_, 60, 108, 152, 165, 201, 275, 378, 530 _Paul Lafitte_, 462 _Pierre Lafitte_, 141 _La Fontaine_, 161, 400 _Lagarrigue_, 484 _Lagny_, 184 _Lagout_, 257, 530 _Lagrange_, 36, 82, 123, 129, 131, 144, 157, 181, 185, 189, 205, 280, 399 _Laguerre_, 528 _Laisant_, 144, 145, 302, 528, 531 _Lalande_, 140, 221, 283, 463 _De La Landelle_, 531 _Lalanne_, 254 _Lamartine_, 217 _Lamberg_, 531 _Lam_, 202, 246, 388, 389 _Lande_, 278 Langage (Fautes de), 111 _Langendick_, 299 _J.-A. Langlois_, 464 Langue, 38, 111, 297, 419 Lapins et faisans, 498 _Laplace_, 20, 66, 86, 87, 93, 94, 95, 96, 110, 116, 123, 126, 128, 147, 181, 185, 226, 233, 391, 449, 463, 530 _De Laprade_, 236 _Laputa_, 449 _Laquire_, 531 _Lartet_, 380 _Laugel_, 55 _H. Laurent_, 48, 144, 368 _Mme de Lautr_, 372 _Lavoisier_, 131 _Laut_, 143 _E. Lebon_, 529 _S. Leclerc_, 530 _Leconte de Lisle_, 227 _Lefbure de Fourcy_, 190 _Lefvre_, 272 Lgende, 289 _Legendre_, 170, 185, 205, 259, 275 _Leibniz_, 9, 56, 123, 125, 139, 146, 159, 169, 182, 207, 230, 232, 243, 245, 345, 361, 368, 375, 386, 442, 448, 531 _Lemercier_, 290 _Lemierre_, 328 _Lemoine_, 145, 278, 302 _E. Lemoine_, 393, 525, 531 Lentement, 222 _Lonard de Pise_, 122 _Lonard de Vinci_, 158 _De Lpine_, 254 _Leslie_, 252, 368 Lev des plans, 68 _Le Verrier_, 86, 209, 266, 328 Levier, 79 _M. Lvy_, 143 _Liapounoff_, 143 _Liard_, 4, 18, 250, 351, 528 _Libri_, 188 _S. Lie_, 143 Livres et lvriers, 503 Lignes de conduite, 354 Lignes de l'querre, 403 _Lilawti_, 506 Limite, 31, 46, 56, 59 _Linsteedt_, 143 Lion, 474 _Liouville_, 138, 142, 145, 298 _Lippmann_, 143 Lire dans l'espace, 401 Littrature, 297, 419 _Lobatschewski_, 293, 386 _Locke_, 152 _Loevy_, 143 Logarithmes, 122, 214, 397, 440, 450 Logique, 162 Logique de Port-Royal, 26, 90 Logiques anglaises, 344 Lois sociales et morales, 93 _G. de Longchamps_, 142, 144, 530 Longvit, 223 _Duchesse de Longueville_, 233 _Lordat_, 350 _Loridan_, 201 Loterie, 66, 329 _Louis XVIII_, 223, 288 _Louis XV_, 311 _Loulou_, 211 Loups, 394 Loxodromie, 320 _E. Lucas_, 117, 254, 378, 530, 531 _F. Lucas_, 445 _Lucas de Burgo_, 122, 305 _Lucrce_, 412 Lune, 86, 374, 418, 515 Lunules, 377 _Luya_, 531 M _J. Mac_, 101, 252 Machines, 69, 79 Machines arithmtiques, 254 Machines logiques, 344 _Mac Laurin_, 287, 301, 443 Madrigal algbrique, 328, 330 _Dr Magnan_, 445 _Mahistre_, 530 _Maindron_, 529 _Mairan_, 273, 405 _J. de Maistre_, 235, 247, 256 _X. de Maistre_, 310 _Malebranche_, 148 _Malfatti_, 489 _Malherbe_, 158 _Malthus_, 349 Mandarins (Petits), 206 _Mannheim_, 144, 206, 253, 254 _Mansion_, 141, 143, 529 _Marat_, 271 _Marcellus_, 196 _Marchal de Saxe_, 381 Mariage, 188, 192, 369 _Mariage_, 532 _M. Marie_, 126, 137, 140, 529 _Markoff_, 143 Mars, 456 Marseille, 460 _Mary-Lafon_, 200 _Mascart_, 143 _Mascheroni_, 532 Masse, 22 Matelot et coniques, 14 Mathmaticiens (Les), 299 Mathmaticiens (Les grands), 125 Mathmaticiens de Laputa, 449 Mathmaticiens vivants, 143 Mathmaticiennes, 273 Mathmatique (La), 4, 10, 13, 14, 212 Mathmatique (Esprit), 5 Mathmatiques appliques, 63, 390 Mathmatiques en vers, 451, 531 Mathmatiques de Robinson, 391 Mathmatiques suprieures, 516 Mathsis, 11 _Mauduit_, 201 _Maupertuis_, 377 Maximum, 138, 393, 496, 510 Mayence, 207 _Mazarin_, 216 Mcanique, 21, 79, 127, 129, 510 Mcanique cleste, 128, 271 _Mchain_, 132, 298 Mdecine, 507, 531 Mlanges, 146, 504 _Mray_, 144, 316, 401 Mridien, 215 _Le P. Mersenne_, 182, 417, 532 _Mry_, 332 Mesurages, 68, 211 Mesure, 5, 6 Mesure de l'esprit, 247 Mesures subtiles, 393, 397 Mtagomtrie, 346 Mtaphores, 239 Mtaphysique, 9, 243, 527 Mthodes, 23, 110, 252, 382 Mtre, 71, 211 Mtres carrs, 259 _Meyniez_, 532 _Michelet_, 296, 423 Micromegas, 306 Micron, 318 Militaires (Sciences), 278 _Stuart Mill_, 99, 241, 367 Mille, 466 _Mirabeau_, 324, 464 _de Mirval_, 299, 532 _Mittag-Leffler_, 143 Mnmonique, 383 Modrs, 329 Modestie, 195 Module, 50 Moeurs des savants, 179 _Mohamed ben Musa_, 121 _Abb Moigno_, 353, 528 Moins (Signe), 47 Moins par moins, 394, 406 Moins que rien, 394 Moiti plus un, 462 _Molire_, 216, 297, 327, 467 _Molyneux_, 186 Monde (Soulever le), 79 _H. Mondeux_, 372, 531 _Monge_, 76, 77, 124, 128, 131, 145, 202, 204 Monnaie, 66, 258 Monologue, 422 Monome (Le), 422 _Montaigne_, 146, 408, 465 Monte-Carlo, 99 _Monteil_, 300 _Montesquieu_, 179 _Montucla_, 12, 140, 165, 236, 529, 532 Moquerie, 418 Morale, 146, 160, 243, 314 Morceaux choisis, 1 _Moreri_, 379 _De Morgan_, 344 Mort d'Archimde, 196 Mort de la Science, 227 Morts, 325 Mots et signes, 245 _Mouchot_, 43 _Amiral Mouchez_, 530 Moujik, 380 Moulin, 355 Mourant, 236 _Mouret_, 367 _Mourey_, 528 _Moutard_, 144 Moutons, 501 Mouvement, 16 Mouvement diurne, 87 Mouvement perptuel, 362, 393 Mouvement singulier, 415 Moyeu de la roue, 405 Muhendis, 214 Mulet, 362 Multiplication, 46, 411 _Munito_, 361 Muses, 483 Musique, 274 _Mydorge_, 532 Mystre, 235 N Naf, 223 _Napolon_, 157, 161, 185, 213, 267, 290, 463, 532 Naturalistes, 238 Nature (son tude mathmatique), 63 Navigation, 70, 80, 472, 529 _Neil_, 378 _Nemzetseg_, 384 Nogomtres, 349 _Neper_, 122, 254 Neptune, 86, 328, 418 Nerf de la guerre, 308 _Neuberg_, 143 _Newton_, 85, 110, 123, 128, 139, 141, 144, 157, 167, 183, 191, 196, 206, 281, 345, 418, 500, 520 Nez perdu, 193 _Nictas_, 136 _Nicole_, 233 Nil, 119, 135 Nivellement, 68 _Ch. Nodier_, 465 Nombre (Un grand), 417 Nombre (son avatar), 378 Le nombre! 247 Nombre de Platon, 416 Nombre indispensable, 383 Nombre infini, 353 Nombre mystrieux, 358, 454 Nombre pens, 497 Nombres, 16, 17, 45, 247 Nombres (Thorie des), 417 Nombres amiables, 444 Nombres curieux, 318 Nombres harmoniques, 420 Nombres gomtriques, 442 Nombres ngatifs, 9, 34, 47, 53, 384, 394, 527 Nombres parfaits, 444 Nomographie, 255 _Nonius_, 513 Nord et Sud, 463 Notions primitives, 16 Numration (Systmes de), 386, 441 Numrotage, 384 O Objections, 405, 406 Objet des mathmatiques, 3 Observatoire, 213, 215, 328, 462 _d'Ocagne_, 255 Oeuf, 423 Oiseaux, 332, 362 Oisivets, 451 _Olbers_, 374 _Oll-Laprune_, 291 Omnibus, 226, 279 Onze mille, 459 Oprations (Calcul des), 4, 38 Oprations abrges, 256 Opinions amres, 217 Opinions des savants, 179 Oracle, 149, 428 Ordre et mesure, 3, 4, 5 Ordre mathmatique, 8 Ordre physique, 8 Origine, 18, 135, 248 Oubli, 327 Ourse, 454 _Owen_, 217 _Ozanam_, 195, 532 P _Painlev_, 144 Pair ou impair? 443 _Palitzch_, 272 Pan! 429 Panama (Le), 69 _Mme Pape-Carpentier_, 354 _Pappus_, 121, 137, 443 Parabole, 64, 180 Paradoxes, 339 Parallles, 293, 385 Parapluies, 401 Paresse, 199 Parfaitement, 247 Paris et Dfis, 182 Parler de ce qu'on sait, 450 Parole d'honneur, 212 Partage, 400, 401, 475 Parure, 424 Pas (Faux), 226 _Pascal_, 14, 16, 23, 91, 123, 127, 128, 146, 149, 153, 158, 162, 173, 182, 254, 279, 301, 315, 365, 528 Passions, 368, 446 _Pasteur_, 278, 316 Patience, 318 Paume (Jeu de), 230 Pdant, 346 _Penjon_, 186 Penses, 1 Pentagone toil, 271 Perdu, 425 _J. B. Prs_, 532 _Mme Prier_, 14 Prihlie, 418 Permanence des rgles, 37 _Pre Pencu_, 427 _Gnral Perrier_, 132 Perruquiers, 397 Personnages (Tristes), 188 Perspective, 68, 180 _Petersen_, 143 Perturbations clestes, 87 Petites-Maisons, 329 Phare, 501 Phniciens, 119 _Philolas_, 148 Philosophie, 146, 225, 341 Phobos et Deimos, 306 Photographies clestes, 392 Physique, 8, 9, 66 Pi, 331, 383, 395, 419 _A. Picard_, 530 _E. Picard_, 143, 267 _J. Picard_, 130 Pie, 491 Pierre aiguiser, 376 _Pinet_, 422, 529 _Piron_, 330 Placement (Bon), 332 Placements rpts, 501 Plaidoirie en chiffres, 334 Plaies, 257 Plan et droites (Leur notion), 20, 21 Plantes, 462 Planimtres, 255 _Plateau_, 186 _Platon_, 25, 33, 120, 146, 147, 153, 241, 289, 311, 397, 416, 466 Pluralit des mondes, 265, 442, 457 Plus haut, 246 Plus tard, 235 _Plutarque_, 196, 374 _Poe_, 194, 363 _H. Poincar_, 53, 142, 143, 395 _Poinsot_, 28, 39, 155, 383 _Poisson_, 31, 57, 158, 203, 275, 359 Police, 214 _De Polignac_, 532 Politique, 279, 329 _Poncelet_, 27, 33, 124, 189, 290, 361, 528 _R. Ponchon_, 461 Ponctualit, 203 _Pons_, 272 _Ponsard_, 225, 299 Pont, 9, 153, 179 Pontes, 99 Ponts (Passage des), 521 Ponts et chausses, 69 _Popilius_, 380 Porcs, 451 _Porro_, 406 _Portalis_, 158 Portrait cherch, 284 Portraits, 190 Port-Royal (Logique de), 26, 90 Positifs (Trop), 229 Positivistes, 141, 231 Postillon, 198 Postulatum, 293, 385 Potage, 258 _Potier_, 143 _Pott_, 532 _Le P. Poulain_, 264 Prcision, 267 Prcocit, 279 Prcurseur, 287 Prface, 1 Premier venu, 468 Prsident, 206, 336 Prtres menacs, 283 _Preyer_, 219 Principes (Les), 253 Principes mathmatiques de la philosophie naturelle, 85, 196, 271 _Privat-Deschanel_, 79 Prix, 142, 158 Probabilits (Calcul des), 66, 90, 516, 518, 529 Probable (Plus que), 329 Problmes (En), 268 Problmes curieux et humoristiques, 469 Procd singulier, 395 Professeur de triangle, 422 Professeurs et tudiants, 202 Progrs et conservation, 95 _De Prony_, 397 Proportion, 3 Proportion divine, 305 Proposition (Son tude analytique), 112 Protestation, 428 Prototype, 133 _Proudhon_, 387 _Prouhet_, 304 Providence, 147 _Ptolme_, 111, 121, 126, 273, 462 _Roi Ptolme_, 180 Puits (Problme du), 507 Pyramides, 119, 319 _Pythagore_, 43, 120, 203, 271, 274, 287, 454 Q Quadrateur, 379 Quadrature du cercle, 373, 522 Quadratures, 32, 377 Quadrivium, 111 Quantit, 4 Quarantaine, 460 Quarante-cinq, 476 Quaternions, 49, 51, 528 Quatorze, 454 Quincaillier, 271 _Quinet_, 286, 313 _Quintilien_, 414 R _Rabelais_, 146, 419, 449 _Rabier_, 27 _Racine_, 159, 173 _Racine fils_, 225 Racines, 45 Raideur, 204 Raisonnement, 246 Raison sociale, 425 _Rambaud_, 157 _De Ramsay_, 159 Rapport de la circonfrence au diamtre, 136, 331, 383, 395, 419 Rassurant, 334 _Ratdolt_, 301 _Ravaisson_, 232, 246 Ractifs, 263 Rebuffade, 425 Rciprocit, 203 Rciproques, 117 Rciproque touchante, 203 Recommandation, 275 Rcompens, 202 Reconstruction, 189 _Record_, 376 Rcrations mathmatiques, 195, 531 Rectifications, 377 Rdiger (Bien), 298 _Redouly_, 384, 530 Rduction, 25 Rformons, 396 Refrains (Vieux), 329 Rgle calcul, 530 Rgle d'or ou de trois, 475 Rgle et compas, 522 Rgles de bois, 262 Rgles pour les mathmatiques, 23 _Regnault_, 263 Rgulier, 427 _Th. Reid_, 242 _Reiss_, 417, 532 Relativit, 228 Reliefs, 261 _Rembrandsz_, 272 _Renan_, 352 _H. Renaud_, 446 _Renouvier_, 349 Rep... d'math..., 211 Rpertoire bibliographique, 301 Rsolution lectrique, 445 Responsabilit, 209 Rsultats, 318 Revue scientifique, 226 _C. Rey_, 258 _Reynaud_, 210 _D. Ricard_, 532 _Richepin_, 446 _Richerand_, 253 _Richet_, 383 _Riemann_, 347, 399 Rien ne se perd, 356 _Rigaut_, 273 _Rivarol_, 312 Robinson, 201, 391 _Rodet_, 506 Romains, 231, 472 _Romanus_, 321 _Romieux_, 462 Rond et triangulaire, 454 Rotation de la terre, 87 _Roth_, 254 _Rothschild_ (Ce pauvre), 465 _Rouch_, 77, 125, 130, 143, 144, 259, 293 Roulette (voir cyclode) _J.-J. Rousseau_, 103, 256, 257, 305, 355 Route royale, 180 Royaut (Une), 231 _Royer-Collard_, 85 Rue (Dans la), 383 Ruine du joueur, 99 S _Saigey_, 130 _Sainte-Beuve_, 159 _Saintine_, 427 Saint-Ptersbourg (Paradoxe de), 98 _Saint-Venant_, 359 Salade, 225 _Salmon_, 143 Sang (sa mesure), 507 Sans-Souci, 451 _Sarrau_, 143 _Sarrus_, 141 Saturne, 86, 450 _Saunderson_, 186 _Saurin_, 396 _Sauvage_, 161 Savante (La), 327 Savant modeste, 185 Savants fous, 187 _Savrien_, 529 _J.-B. Say_, 229, 464 Scandale, 99 Scepticisme mathmatique, 362 Sceptiques, 350 _Schopenhauer_, 234 _Schumacher_, 294 _Schwarz_, 143 Science (Premire), 294 Science (Statique ou dynamique), 55 Sciences exactes, 10 Sciences militaires, 278 Sciences ou lettres? 312 Scrupuleux (Trop), 392 _Sebert_, 143 Scante, 453 _Le P. Secchi_, 530 Seizime sicle, 122, 138, 139, 454 Semaine des trois jeudis, 463 _Snque_, 216 Senior Wrangler, 208 Sensations, 358 Sries, 59, 409 Serpent d'glise, 402 _P. Serret_, 428, 530 Serrurier, 395 _Ssostris_, 135 _Sessa_, 504 _Mme de Svign_, 216, 297 _Shaftsbury_, 246 Sibriens, 453 Signes, 47, 245 Silencieux, 335 _Simart_, 529 _Ch. Simon_, 21 _J. Simon_, 425 Simplicit, 28 Simplicit (Mesure de la), 393 Simplification, 36, 116 Simultanment, 401 Singularits, 339 Sirius, 266 Six cent soixante-six, 358 Socialistes, 100, 208, 346, 448 Socit mathmatique, 144 _Socrate_, 153 Soif, 210 Soldat (Problme du vieux), 496 Soleil, 288 _Somerville (Mary)_, 274 _Sonnet_, 70, 530 Sons, 274 Sophismes, 414 Sorcier, 218 Sources ( toutes les), 399 Sourd parlant, 330 Soustraction, 211, 332 Spectacle tournant, 332 Spculation et application, 10, 64 _Herbert Spencer_, 80 Sphre, 394, 532 Sphrique (Le), 456 _Spinoza_, 174 Stabilit du monde, 85, 395 _Mme de Stal_, 162, 311, 330 Statistique, 66, 322, 334 Statue priodique, 424 _Stendhal_, I _Stphanos_, 326 _Stevin_, 461 _Stomma_, 532 Stratgie, 70 _Stone_, 271 _Stupuy_, 532 _Sturm_, 195 _Sully-Prudhomme_, 230, 314, 316 Superposition, 31 Surfaces lastiques, 273 Sursum corda, 286 _Mme Swetchine_, 160 _Swiden_, 133 _Swift_, 449 Syllogismes, 245, 250 _Syllow_, 143 _Sylvester_, 143, 399, 425 Symboles, 4, 38, 45, 48, 129, 367 Syntaxe, 312 Synthse, 25 Syracuse, 136 Systme binaire, 448 Systme mtrique, 71, 130 _Szymanski_, 278 T _Tabarin_, 332 Table des matires, 557 Table ronde, 231 Tables astronomiques, 374 Tachymtrie, 257, 530 Tahiti, 532 _Taine_, 8, 38, 249, 475 Tangentes, 32, 60, 422 _J. Tannery_, 56, 114, 144, 163, 403 _P. Tannery_, 25, 137, 140, 529 _Tarnier_, 532 _G. Tarry_, 417, 512 _Tartaglia_, 408 Tautochrone, 373 _Taylor_, 329, 443 _Tchebycheff_, 254 Temps, 22, 320, 322 Tendances (Deux), 267 Tenue des livres, 67 _O. Terquem_, 142, 160, 214, 228, 252, 443 _Terrasson_, 247 Terre (Notre petite), 233 Testament astronomique, 456 _Thals_, 119 Thtre scientifique, 299, 532 _Thon_, 25, 273 _Thophraste_, 136 Thorme militaire, 326 Thormes, 341 Thermochimie, 66 _Theut_, 290 _Thiers_, 206, 426 _Thoman_, 530 _L. Thomas_, 501 _Thomas (de Colmar)_, 254 _Thomson_, 261, 356 _Thuillier_, 278 Tiers et demi, 331 _De Tilly_, I, 21, 347, 528 Timbre et Enregistrement, 215 Timbres-poste, 525 Tirade, 422 _Tissandier_, 391 _F. Tisserand_, 89 Titre singulier, 453 Toise, 130 _Tolsto_, 380, 443 Tombeau d'Archimde, 280 Tonneau, 184, 329, 517 Topographie, 69, 268 Tortue, 410 Torture, 333 _Toto_, 211 _Tott_, 214 _H. Toussenel_, 346 Tout et moiti, 429 Trajectoire, 327 _Tralls_, 133 Transformations, 39, 266 Travail personnel, 263 Treize, 222, 445 _Dr Trlat_, 444 Trente et un, 300 _Trpied_, 392 Triangle et posie, 230 Triangle de Pythagore, 486 Triangulation, 215, 230, 298 Tribunal, 99 Tribunal des mathmatiques, 270, 448 Tric-trac, 230 Trigonomtrie dramatique, 298 Trigonomtrie pratique, 68 Trisection de l'angle, 522, 528 Tristes personnages, 188 Trivium, 110 Trois dcouvertes depuis les Grecs, 139 Trois-Huit, 208 Trois-Six, 312 Trop court, 211 Tulipes, 354 Turcs, 214 _Tycho Brahe_, 193, 262, 308 U _Undecimilla_, 459 Unification de l'heure, 322 L'Unit est un nombre, 461 Universit (L'), 157 Uranus, 86 Urne, 99 V _Vacquerie_, 333 _Vaillant_, 278 _Valentin_, 507 Valeur relative, 220 _F. Valls_, 51, 528 _J. Valls_, 261 _Valson_, 139, 463, 529 _Van Etten_, 531 Variable, 54, 353 Varits, 177 _Vauban_, 285, 451 _Vaucanson_, 328 Vaudeville, 299 _Vlasquez_, 190 Vnration, 206 Vengeance, 328 _Le P. Verbiest_, 270 Vrification, 9, 73, 136 Vrit historique, 289 _Verlaine_, 444 _Jules Verne_, 298, 306, 413 Vers nombreux, 430 _Vico_, 351 _Vite_, 25, 122, 126, 137, 166, 321 _Villemain_, 315 Vin, 466, 494 _Vinet_, 228 Vingt centimes, 258 _Vinot_, 427, 532 _Violle_, 143 Vis, 253 Vite, 223 Vitre, 215 _Vitrey_, 491, 532 _Vitruve_, 283, 499 _Viviani_ (Fentres de), 519 _Voltaire_, 109, 140, 147, 217, 218, 229, 303, 306, 328, 441, 451 _Vrain-Lucas_, 188 Vue directe, 398 _Vuibert_, 142 W _Wallis_, 182 _J. Wallon_, 343 _Walras_, 66 _Weber_, 143, 358 _Weigel_, 532 _Whewell_, 165, 240 _Wolf_, 135, 143, 266, 528 _Worms_, 248 _Wronski_, 446, 532 X, Y, Z Xaintrie (La), 401 _x, y, z_, 333 _Zchokke_, 289 _Zeb_, 334 Zro, 219, 330, 448 _Zeuthen_, 143 _Zozo_, 200 TABLE DES MATIRES PRFACE 1 MORCEAUX CHOISIS ET PENSES Objet et caractre des mathmatiques (Aristote, Descartes, Cournot, Liard, A. Comte, P. Janet, Kant, d'Alembert, Montucla, Bossut, Condorcet) 3 Notions primitives (Pascal, Duhamel, Boussinesq, Laplace, de Tilly) 16 Mthodes (Pascal, Duhamel, Vite, P. Tannery, Port-Royal, Poncelet, Delambre, Poinsot, Dupin, Bellavitis, Descartes, Chasles, Poisson) 23 Gomtrie et Analyse (Platon, Chasles, A. Comte, Lagrange, Hankel, Condorcet, Arago, J. Fourier, Poinsot) 33 Les nombres, les symboles et les fonctions (Cournot, Cauchy, A. Girard, J. Bourget, A. Comte) 45 La limite, l'infiniment grand et l'infiniment petit (Leibniz, J. Tannery, Poisson, Kepler, Laz, Carnot, Duhamel, Lacroix) 56 Mathmatiques appliques (Arago, J. Fourier, Fontenelle, Euler, Sonnet) 63 Systme mtrique (Anonyme) 71 Gomtrie descriptive (Arago, Delambre, Rouch, Monge) 75 Mcanique (Galile, Lagrange) 79 Astronomie (Copernic, Royer-Collard, Laplace, F. Tisserand, Faye) 84 Probabilits (Port-Royal, Pascal, Laplace, J. Bertrand, Duhamel) 90 Enseignement (Condorcet, Hoel, J.-J. Rousseau, Anonyme, Lacroix, Voltaire, Dupanloup, Arago, Laplace, Newton, d'Alembert, J. Tannery, Cournot, J. Bertrand) 101 Histoire (Rouch, Leibniz, Hoefer, Delambre, M. Marie, J. Fourier, Bossut, Pascal, d'Alembert, Biot, Arago, Rouch, Hrodote, Hankel, Chasles, P. Tannery, Liouville, Cantor, C. Henry, Fontenelle, Sophie Germain) 119 Philosophie et Morale.--Mlanges (Bible, Platon, Leibniz, Rabelais, Montaigne, Pascal, Condillac, Laplace, Voltaire, Malebranche, Duhamel, Locke, Cauchy, Lacroix, F. Bacon, Napolon, Newton, Kepler, Euler, Poinsot, Poisson, Sainte-Beuve, J. Bertrand, Dupanloup, O. Terquem, Franklin, La Fontaine, Duruy, Mme de Stal, Diderot, Barthlemy Saint-Hilaire, A. Comte, J. Tannery, Fontenelle, Cuvier, Whewell, Vite, Copernic, Jacobi, Anonyme) 146 VARITS ET ANECDOTES MOEURS, OPINIONS, DISTRACTIONS DES SAVANTS Un gomtre 179 Route royale 180 Dernire conversation 181 Facile de voir 181 Dfis et paris 182 Autobiographie 182 Dput muet 183 Douze fois douze 184 Le tonneau 184 Gomtre au pouvoir 185 Modestie 185 Aveugles 186 Sur l'chafaud 187 Savants fous 187 Deux tristes personnages 188 Mariage 188 Reconstruction 189 Portraits 190 Une casquette 190 Dnominateur la maison 190 Distractions 191 Auteur embarrass 192 De l'argent 193 Nez perdu 193 Bons joueurs 193 Bonhomie 195 Modestie 195 Coup de foudre 195 Humilit 196 Mort d'Archimde 196 Efforts glorieux 197 Postillon 198 Paresse 199 Dsintressement 199 Zozo 200 Robinson 201 PROFESSEURS ET TUDIANTS Examinateur 202 Rcompens 202 Ponctualit 203 Touchante rciproque 203 Raideur 204 Vnration 206 Petits mandarins 206 Prsident 206 Correspondance 207 la halle 207 Un examen prilleux 207 Senior wrangler 208 Les trois huit 208 Dans l'Inde 208 Responsabilit 209 Fort en thme 209 Grand'soif 210 ENFANTS ET IGNORANTS Enfant terrible 211 Trop court 211 Rep... d'math... 211 Parole d'honneur 212 Facties gomtriques 212 Enttement 213 Peu intelligent 213 Chez les Turcs 214 Police vole 214 Dcimtre carr 215 Jeune Anglais 215 Complaisances astronomiques 215 Comtes 216 Opinions amres 217 Astrologie 218 Architecte mal pay 218 gal zro 219 clipse du colonel 219 dix mois 219 Valeur relative 220 Cancre 220 Fin du monde 221 Treize table 222 Lentement 222 Longvit 223 Vite 223 Naf 223 Consciencieuse 223 PHILOSOPHIE Salade 225 Compas 225 Un faux pas 226 Dterminisme 226 Mort de la science 227 Algbre morale 227 Relativit 228 Trop positif 229 Les jeux 230 Triangle et posie 230 galit circulaire 231 Une royaut 231 Gomtrie et morale 232 Notre petite terre 233 Cheveux 233 Mystre 235 Plus tard 235 Mourant 236 Applicable tout 236 Fictif et born 236 Naturalistes 238 Mtaphores 239 Hypothses 239 Dbat pdagogique 240 Culture d'Euclide 242 Calculs des ouvriers 243 Mtaphysique et morale 243 Intuition 244 Calcul 244 Mots et signes 245 Syllogismes 245 Plus haut 246 Raisonnement 246 Parfaitement 247 Le nombre! 247 Mesure de l'esprit 247 Origine 248 Gnralit 249 Discipline 250 Dmonstration et syllogisme 250 MTHODES Diviseur et ramasse-tout 252 La division 252 Anatomistes 252 Fromage 253 Exprience gomtrique 253 Jetons Bardot 254 Machines arithmtiques 254 Intgrateurs et intgraphes 255 Arithmtique politique 256 Oprations abrges 256 Gaufres 257 Plaies 257 Tachimtrie 257 Vingt centimes 258 Potage 258 Anarchie 259 Mtres carrs 259 Anxit 260 Impossible 260 Reliefs 261 Coton et musique 261 Rgles de bois 262 Alphabet 263 Travail personnel 263 Ractifs 263 Fagots et fagots 264 Pluralit des mondes 265 Transformations 266 Invisible 266 Prcision 267 Deux tendances 267 Problmes (En) 268 Coefficients de correction 268 HISTOIRE Tribunal des mathmatiques 270 Une calomnie 271 Dodcadre 271 Jardiniers, quincailliers, etc. 271 Mathmaticiennes 273 Sons 274 Deux dynasties 275 Recommandation 275 cole polytechnique 276 cole normale 277 Sciences militaires 278 Brouettes et omnibus 279 Bonne politique 279 Prcocit 279 Tombeau d'Archimde 280 Attraction universelle 281 Tout par dix 282 Prtres menacs 283 Ciel en cristal 283 Athnes 284 Portrait cherch 284 Sursum corda 286 Prcurseur 287 Courtisans 288 Un duel 289 Vrit historique 289 Lgende 289 Inventeurs 290 Documents 290 Napolon 290 Exprimentons 291 Hardiesse 293 Premire science 294 Canoniss 295 LANGUE ET LITTRATURE tymologies 297 Trigonomtrie dramatique 298 Bien rdiger 298 Thtre scientifique 299 Un vaudeville 299 Les Mathmaticiens 299 Trente et un 300 Bibliographie 301 Rpertoire bibliographique 301 Figures 302 Gravitation 303 vanouissement 304 Apologue oriental 304 Divine proportion 305 Phobos et Deimos 306 Fougueux 306 Nerf de la guerre 308 Barme suffit 309 Carr long 310 Beaux esprits 310 pigramme 311 Image 311 Iconologie 311 Trois-Six 312 Syntaxe 312 Sciences ou lettres? 312 Admiration 313 En morale 314 Pascal 315 Heureux 316 Beaut de la science 316 RSULTATS Nombres curieux 318 Patience 318 Un compteur 319 Pyramides 319 Loxodromie 320 Calendrier 320 quation du 45e degr 321 Funbre statistique 322 Unification de l'heure 322 Anctres 324 Fil de soie 325 Morts 325 Thorme militaire 326 FANTAISIES La savante 327 Un oubli 327 Vengeance 328 Neptune 328 Madrigal algbrique 328 Plus que probable 329 Vieux refrains 329 Diplomatie et politique 329 Les Modrs 329 Sourd parlant 330 Zro acadmique 330 Tiers et demi 331 Amusettes 331 Bon placement 332 Spectacle tournant 332 Oiseaux 332 Jouets mathmatiques 333 X, Y et Z 333 Rassurant 334 Plaidoirie en chiffres 334 Caf 335 Silencieux 335 PARADOXES ET SINGULARITS PHILOSOPHIE Axiomes et thormes 341 Comptable 343 Logiques anglaises 344 Avant Leibniz et Newton 345 Pdant 346 L'harmonien 346 La mtagomtrie 346 Loi de Malthus 349 L'me et la vie 350 Scepticisme 350 Avenir 352 Born 352 Nombre infini 353 Principes (Les) 353 Tulipes 354 Ligne de conduite 354 Moulin 355 Sans axiomes 356 Images lointaines 356 Loi des sensations 358 Grands et petits 358 Nombre mystrieux 358 tre et nant 359 Conciliation 359 Certitudes antrieures 360 Commencement 361 Continuit 361 Munito 361 Scepticisme mathmatique 362 Deux et deux 363 Critrium 364 me de la terre 364 Coeur et raison 365 Abstractions 365 Benzine 366 Symboles 367 Axiomes 367 Passions 368 Conceptions 368 Hyperespace 368 Chercheur 369 Les marier 369 _Gradgrind_ 370 Valeur variable 371 HISTOIRE Calcul mental 372 Tautochrone et brachistochrone 373 Quadrature du cercle 373 Longues formules 374 Concession 374 Pierre aiguiser 376 Chose 376 Chicane 376 Quadratures et rectifications 377 Avatar du nombre 378 Au Brsil 378 Quadrateur 379 rudits 379 Moujik 380 Club 380 Cercle de Popilius 380 Vieux compte 380 Marchal de Saxe 381 MTHODES Dmonstrations fausses 382 Dans la rue 383 Nombre indispensable 383 Sans chiffres 384 Numrotage 384 Le postulatum 385 Dsorient 386 Systmes de numration 386 Un irrgulier 388 gosme 388 Un nouvel enseignement 389 Mathmatiques de Robinson 391 Trop scrupuleux 392 Balance fausse 392 Photographies clestes 392 Mesure de la simplicit 393 Mouvement perptuel 393 Vrai maximum 393 D'abord la sphre 394 Moins que rien 394 Loups 394 Serrurier 395 Erratum 395 Procd singulier 395 Rformons 396 Calcul infaillible 396 Cit modle 397 Perruquiers 397 Mesures subtiles 397 Vue directe 398 Allgorie 398 toutes les sources 399 Partage 400 Simultanment 401 Parapluies 401 Serpent d'glise 402 Lignes de l'querre 403 Irrationnel 403 OBJECTIONS Moyeu de la roue 405 Moins par moins 406 Objection 406 Imaginaire gal au rel 407 Tous les nombres sont gaux 407 Le cas irrductible 408 Asymptotes 408 Demi-circonfrence 409 Srie trange 409 Tortue d'Achille 410 Diminuer en multipliant 411 L'heure europenne 411 Antipodes 412 Jour perdu ou gagn 412 Contours trompeurs 414 Sophismes simples 414 Colombe 415 Mouvement singulier 415 DESIDERATA dmontrer 416 Nombre de Platon 416 Un grand nombre 417 Moquerie 418 Prihlie 418 LANGUE, LITTRATURE ET BEAUX-ARTS Gargantua 419 Incommensurable 419 Les inconnues 419 Esthtique 420 Mesure de l'ne 421 Argot des coles 421 Tirade 422 Professeur de triangle 422 L'oeuf 423 Buses graves 423 Statue priodique 424 Parure 424 Couleurs 424 Raison sociale 425 Perdu! 425 Rebuffade 425 Contradictions 426 Chemins 427 Rgulier 427 Abrgeons 427 Protestation 428 Clair-obscur 428 Pan! 429 Tout et moiti 429 Dix-huit 429 Bataille ou ranon? 430 Vers nombreux 430 CURIOSITS ET TRANGETS Courbe renaissante 440 Carrs magiques et diaboliques 440 Charles XII 441 Nombres gomtriques 442 Courbe banale 442 Plantes habites 442 Les autres et soi 443 Gomtrie des abeilles 443 Pair ou impair? 443 Nombres parfaits 444 Nombres amiables 444 Arithmomanie 444 Rsolution lectrique 445 Csarine 446 Passions 446 Impt cubique 448 Systme binaire 448 Chenille 449 Laputa 449 Parler de ce qu'on sait 450 Gomtres au pouvoir 450 Nombreuse famille 451 Mathmatiques en vers 451 Droite bizarre 452 Titre singulier 453 Scante 453 toile avale 453 Prix du bl 454 Rond et triangulaire 454 Incomprhensible 454 Henri IV 454 Fin du monde 455 Le sphrique 456 Testament astronomique 456 Onze mille 459 FANTAISIES ge du capitaine 460 L'unit est un nombre 461 Fonctions transcendantes 461 Aux enchres 462 Moiti plus un 462 Boutades 462 Nord et Sud 463 Semaine des trois jeudis 463 Avocat 464 Financiers 464 Ce pauvre Rothschild 465 Au baccalaurat 465 Humour 465 Danseur 466 Vin 466 Cuisine 467 Impertinence 468 Premier venu 468 PROBLMES CURIEUX ET HUMORISTIQUES Arithmtique 471 Gomtrie 485 Algbre 493 Mcanique 510 Astronomie 513 Mathmatiques suprieures 516 NOTE BIBLIOGRAPHIQUE Philosophie des mathmatiques 527 Histoire 528 Applications 529 Enseignement 530 Curiosits 530 INDEX ALPHABTIQUE 533 TABLE MTHODIQUE 557 FIN BAR-LE-DUC.--IMPRIMERIE COMTE-JACQUET. Notes aux lecteurs de ce fichier numrique: Les mots en italique sont encadrs par des tirets bas: _italique_. Signes utiliss pour reprsenter les symboles mathmatiques: --[V]n : Racine carre de n. --[xV]n : Racine x (cubique, etc.) de n. --^{exposant ou lettre suprieure}. --_{indice}. --[nom du signe]. --[>/<] "Suprieur " sur "Infrieur ". --Ligne 1677: La phrase "Les nombres imitent l'espace qui sont de nature si diffrente." a t corrige: "Les nombres imitent l'espace, qui est de nature si diffrente." End of Project Gutenberg's Mathmatiques et Mathmaticiens, by Various License: Share Alike